В каком треугольнике биссектриса является и медианой и высотой?

4 ответов на вопрос “В каком треугольнике биссектриса является и медианой и высотой?”

  1. Mr.Freeze Ответить

    Выясним, какой вывод следует из того, что медиана треугольника является его биссектрисой?
    Утверждение.
    Если медиана треугольника является его биссектрисой, то этот треугольник — равнобедренный.
      Дано:
    ? ABC,
    CK — медиана и биссектриса
    Доказать:
    ? ABC — равнобедренный.
    Проведем анализ задачи.
    На основе каких данных можно утверждать, что треугольник — равнобедренный? Если у него две стороны равны либо два угла равны. Значит, нам нужно доказать либо равенство сторон AC и BC, либо равенство углов A и B. Любое из этих равенств следует из равенства треугольников.
    В треугольниках AKC и BKC биссектриса CK образует равные углы ACK и BCK, медиана CK — равные отрезки AK и BK. Сторона  CK — общая.
    Что мы имеем? Две стороны, но нет угла между ними. Ни к одной из сторон нет двух прилежащих углов. Признаки равенства треугольников применить не можем.
    В таком случае придется выполнять дополнительные построения.
     На луче CK отложим отрезок KE так, чтобы KE=CK, и точки A и E соединим отрезком. Получили еще один треугольник AKE.
    Мы можем доказать, что этот треугольник равен треугольнику BKC (по двум сторонам и углу между ними).
    Из равенства этих треугольников следует равенство сторон AE и BC и углов AEK и BCK.

  2. BIXIQ Ответить

    Определения
    Медиана треугольника – это отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны.
    Биссектриса треугольника – это отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий вершину треугольника с точкой противоположной стороны.
    Высота треугольника – это перпендикуляр, проведенный из вершины треугольника к прямой, содержащей противоположную сторону.
    Теорема
    В любом треугольнике высоты (или их продолжения) пересекаются в одной точке (рис. 1 и 2), биссектрисы пересекаются в одной точке (рис. 3), медианы пересекаются в одной точке (рис. 4).

    Теорема
    В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведённая к основанию, является медианой и высотой.

    Верны и другие утверждения:
    В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является биссектрисой и медианой.
    В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, является биссектрисой и высотой.
    \[{\Large{\text{Медиана}}}\]
    Теорема
    В любом треугольнике медианы точкой пересечения делятся в отношении \(2:1\), считая от вершины.
    Доказательство
    Пусть \(AD\) и \(BE\) – медианы в треугольнике \(ABC\), \(O\) – точка пересечения \(AD\) и \(BE\).

    \(DE\) – средняя линия в треугольнике \(ABC\), тогда \(DE\parallel AB\), значит \(\angle ADE = \angle BAD\), \(\angle BED = \angle ABE\), следовательно, треугольники \(ABO\) и \(DOE\) подобны (по двум углам).
    Из подобия треугольников \(ABO\) и \(DOE\): \(\dfrac{BO}{OE} =
    \dfrac{AB}{DE} = \dfrac{2}{1}\).
    Для других медиан треугольника \(ABC\) требуемое свойство доказывается аналогично.
    Теорема
    Медиана треугольника делит его на два равновеликих треугольника (равновеликие треугольники – это треугольники, у которых площади равны).
    Доказательство
    Площадь треугольника равна половине произведения основания на высоту, проведенную к этому основанию: \(S_{ABC} = 0,5\cdot AC\cdot
    h\).

    Пусть \(BD\) – медиана в треугольнике \(ABC\), тогда \(AD = DC\).
    \(S_{ABD} = 0,5\cdot AD\cdot h\),
    \(S_{BCD} = 0,5\cdot DC\cdot h\).
    Так как \(AD = DC\), то \(S_{ABD} = S_{BCD}\), что и требовалось доказать.
    Теорема
    В прямоугольном треугольнике медиана, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы.
    Верно и обратное: если медиана равна половине стороны, к которой она проведена, то она проведена из вершины прямого угла.
    Доказательство
    1) Докажем, что если \(\triangle ABC\) – прямоугольный, то \(BM=\frac12AC\), где \(M\) – середина гипотенузы \(AC\).

    Достроим треугольник \(ABC\) до прямоугольника \(ABCD\) и проведем диагональ \(BD\). Т.к. в прямоугольнике диагонали делятся точкой пересечения пополам и равны, то \(AC\cap BD=M\), причем \(AM=MC=BM=MD\), чтд.
    2) Докажем, что если в треугольнике \(ABC\) медиана \(BM=AM=MC\), то \(\angle B=90^\circ\).

    Треугольники \(AMB\) и \(CMB\) – равнобедренные, следовательно, \(\angle
    BAM=\angle ABM=\alpha, \quad \angle MBC=\angle MCB=\beta\).
    Т.к. сумма углов в треугольнике равна \(180^\circ\), то для \(\triangle
    ABC\):
    \(\alpha+(\alpha+\beta)+\beta=180^\circ \Rightarrow
    \alpha+\beta=90^\circ \Rightarrow \angle B=90^\circ\), чтд.
    \[{\Large{\text{Биссектриса}}}\]
    Теорема
    Биссектриса треугольника делит его сторону на части, пропорциональные прилежащим сторонам:

    Верно и обратное: если отрезок, проведенный из вершины треугольника к стороне, делит эту сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам, то это биссектриса.
    Доказательство
    Площади треугольников, у которых есть равные углы, относятся как произведения сторон, образующих эти углы, то есть \[\dfrac{S_{ACD}}{S_{BCD}} = \dfrac{AC\cdot CD}{CB\cdot CD} =
    \dfrac{AC}{CB}\]
    С другой стороны, \(\dfrac{S_{ACD}}{S_{BCD}} = \dfrac{0,5\cdot
    AD\cdot h}{0,5\cdot DB\cdot h}\), где \(h\) – высота, проведённая из точки \(C\), тогда \(\dfrac{S_{ACD}}{S_{BCD}} = \dfrac{AD}{DB}\).
    В итоге \(\dfrac{AD}{DB} = \dfrac{S_{ACD}}{S_{BCD}} =
    \dfrac{AC}{CB}\), откуда \(\dfrac{AD}{AC} = \dfrac{DB}{BC}\), что и требовалось доказать.
    Теорема
    Если точка равноудалена от сторон угла, то она лежит на его биссектрисе.
    Верно и обратное: если точка лежит на биссектрисе угла, то она равноудалена от его сторон.

    Доказательство
    1) Докажем, что если \(KA=KB\), то \(OK\) – биссектриса.
    Рассмотрим треугольники \(AOK\) и \(BOK\): они равны по катету и гипотенузе, следовательно, \(\angle AOK=\angle BOK\), чтд.
    2) Докажем, что если \(OK\) – биссектриса, то \(KA=KB\).
    Аналогично треугольники \(AOK\) и \(BOK\) равны по гипотенузе и острому углу, следовательно, \(KA=KB\), чтд.

  3. VideoAnswer Ответить

  4. VideoAnswer Ответить

Добавить ответ

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *