В каком случае множество а называют подмножеством множества в?

10 ответов на вопрос “В каком случае множество а называют подмножеством множества в?”

  1. day TV Ответить

    Даны два множества:
    А = {a, b, c, d, e} и B = {b, d, k, e}. Видим, что элементы b и d принадлежат одновременно множеству А и множеству В. Говорят, что b и d – общие элементы множеств А и В, а сами множества пересекаются.
    Замечание. Если множества не имеют общих элементов, то говорят, что они не пересекаются.
    Рассмотрим теперь множества А = {a, b, c, d, e} и В = {c, d, e}. Они пересекаются, и, кроме того, каждый элемент множества В является элементом множества А. В этом случае говорят, что множество В включено в А или что множество В является подмножеством множества А.
    Определение. Множество В называется подмножеством множества А, если каждый элемент множества В является также элементом множества А.
    Если В – подмножество множества А, то пишут: В I А – и читают: «В – подмножество А», «В – включается в А».
    Считают, что пустое множество является подмножеством любого множества, т. е. ? I А, и что любое множество является подмножеством самого себя, т.е. А I А. Поэтому среди всех подмножеств заданного множества А должно быть обязательно пустое множество и само множество А.
    Примеры
    Выпишем все подмножества множества А = {2, 3, 4}.
    Среди них будут одноэлементные подмножества: {2}, {3}, {4}, двухэлементные: {2, 3}, {3, 4}, {2, 4}, а также само множество А: {2, 3, 4} и ?. Таким образом, данное множество А имеет 8 подмножеств.
    Обратимся теперь к множествам А = {a, b, c, d, e} и В = {c, a, b, e, d}. Они пересекаются, и каждый элемент множества А является элементом множества В, т.е. А I В, и, наоборот, каждый элемент множества В является элементом множества А, т.е. В I А. В этом случае говорят, что множества А и В равны.
    Определение. Множества А и В называются равными, если АI В и В I А.
    Если множества А и В равны, то пишут: А = В.

  2. Flaem Ответить

    Пример. Пусть A = {a, b, c}. Тогда множество 2A состоит из следующих элементов:
    {∅}, {a}, {b}, {c}, {a,b}, {a,c}, {b,c}, {a,b,c}.
    Если множество A конечно и содержит n элементов, то это множество имеет 2n подмножеств, то есть |2A |=2|A|.
    Все операции над множествами можно иллюстрировать с помощью диаграмм Эйлера-Венна. Если некоторое универсальное множество, содержащее как подмножества все другие множества, обозначить U и изобразить его в виде всей плоскости, то любое множество можно изобразить в виде части плоскости, т.е. в виде некоторой фигуры, лежащей на плоскости.
    Объединением или суммой множеств А и В называют такое множество С, которое состоит из элементов множества А, или элементов множества В, или из элеметов обоих этих множеств, т.е. . Например, если A = {1, 2, 3} и B = {2, 3, 4}, то A∪B = {1, 2, 3, 4}.
    Пересечением или произведением двух множеств А и В называется такое множество С, которое состоит из элементов, принадлежащих одновременно обоим множествам, т.е. . Например, если A = {1, 2, 3} и B = {2, 3, 4}, то A∩B = {2, 3}.
    Разностью двух множеств А и В называется множество, состоящее из тех и только тех элементов, которые входят в А и одновременно не входят в В, т.е.
    . Например, если A = {1, 2, 3} и B ={2, 3, 4}, то A\B = {1}.
    Если, в частности, А – подмножество U, то разность U \ A обозначается и называется дополнением множества А.
    Симметрической разностью (кольцевой суммой) множеств А и В называется множество , т.е. . Например, если A ={1, 2, 3} и B = {2, 3, 4}, то AΔB = {1, 4}.

    Законы алгебры множеств:
    1. Коммутативный закон: .
    2. Ассоциативный закон: .
    3. Дистрибутивный закон:
    4. Законы идемпотентности: , в частности
    5. Законы поглощения:
    6. Законы де Моргана (двойственности):
    7. Закон двойного дополнения:
    8. Закон включения:
    9. Закон равенства:
    Пример 1. Проверим первый из законов де Моргана. Покажем сначала, что. Предположим, что . Тогда x∉A∩B, так что x не принадлежит хотя бы одному из множеств A и B. Таким образом, x∉A или x∉B, то есть или .
    Это означает, что. Мы показали, что произвольный элемент множества является элементом множества. Следовательно, . Обратное включение доказывается аналогично. Достаточно повторить все шаги предыдущего рассуждения в обратном порядке.
    Пример 2. Доказать включения
    Решение. Легче всего это сделать по диаграмме Эйлера-Венна
    Из любой пары элементов a и b (не обязательно различных) можно составить новый элемент – упорядоченную пару (a,b). Упорядоченные пары (a,b) и (c,d) считают равными и пишут (a,b) = (c,d), если a = c и b = d. В частности, (a,b) = (b,a) лишь в том случае, когда a=b. Элементы a и b называют координатами упорядоченной пары (a,b) .
    Прямым (декартовым) произведением множеств A и B называется множество всех упорядоченных пар (a,b), где a∈A и b∈B. Прямое произведение множеств A и B обозначается через A?B. В соответствии с определением имеем
    A?B = {(a,b)| a∈A, b∈B}. Произведение называется декартовым квадратом.
    Пример 3. Даны множества А = {1; 2}; B = {2; 3}. Найти .
    Решение.
    .
    Таким образом, декартово произведение не подчиняется коммутативному закону.
    Пример 4. Пусть Из каких элементов состоят множества ?
    Решение. Запишем множества А; В; С, перечислив их элементы:
    А = {3; 4; 5; 6}; B = {2; 3}; C = {2}. Тогда Подобно парам, можно рассматривать упорядоченные тройки, четверки и, вообще, упорядоченные наборы элементов произвольной длины. Упорядоченный набор элементов длины n обозначается через (a1, a2, an). Для таких наборов используется также название кортеж длины n. Допускаются в том числе и кортежи длины 1 – это просто одноэлементные множества. Кортежи (a1, a2, an) и (b1, b2, bn) считаются равными, если a1 = b1, a2 = b2, an = bn.
    По аналогии с произведением двух множеств определим прямое произведение множеств A1, A2, An как множество всех кортежей (a1, a2, an) таких, что a1∈A1, a2∈A2, an∈An. Обозначается прямое произведение через A1 ? A2 ? An.
    Понятие прямого произведения может быть обобщено на случай произвольного семейства множеств (Ai)i∈I. Назовем I-кортежем набор элементов (Ai)i∈I такой, что ai∈Ai для каждого i∈I. Прямое произведение семейства множеств (Ai)i∈I – это множество, состоящее из всех I-кортежей. Для обозначения этого множества используется символ Πi∈IAi и его разновидности, подобные тем, которые применяются для обозначения пересечения и объединения семейства множеств.
    В случае, когда множество A умножается само на себя, произведение называют (декартовой) степенью и используют экспоненциальные обозначения. Так, в соответствии с определением A ? A = A2, A ? A ? A = A3 и т. д. Считается, что A1 = A и A0 = ∅.
    Непосредственно из определений следует справедливость следующих соотношений (A∪B) ? C = (A ? C) ∪ (B ? C);
    (A∩B) ? C = (A ? C) ∩ (B ? C);
    (A\B) ? C = (A ? C)\(B ? C).
    1. Судоплатов С.В., Овчинникова Е.В. Элементы дискретной математики. М.:ИНФРА-М, Новосибирск, 2002.
    2. Асеев Г.Г., Абрамов О.М., Ситников Д.Э. Дискретная математика. Харьков, «Торсинг», 2003.
    3. Нефедов В.Н., Осипова В.А. Курс дискретной математики. М.:Наука, 1973.
    4. Лавров И.А., Максимова Л.Л. Задачи по теории множеств, математической логике и теории алгоритмов. М.:ФИЗМАТЛИТ, 2001.

  3. WidiFase Ответить

    Понятие множества – одно из основных понятий математики. Под множеством понимают совокупность объектов (предметов или понятий), которая рассматривается как единое целое. Например, можно говорить о множестве натуральных чисел, о множестве букв на данной странице, о множестве корней данного уравнения и т. п. Понятие множества принимается как исходное, первичное, т. е. несводимое к другим понятиям. Объекты, входящие в состав множества, называются его элементами. Обычно множества обозначаются большими печатными буквами английского алфавита, например, множество А; а его элементы маленькими прописными буквами, например, элемент а.
    Запись означает, что элемент а принадлежит множеству А. Запись — наоборот, Что элемент а множеству А не принадлежит. Знак называют знаком принадлежности.
    Определение 1. Два множества А и В называются равными и пишут А=В, если множества А и В содержат одни и те же элементы.
    Например: {2, 4, 6} = {4, 2, 6} – равные множества.
    Определение 2. Множество называется непустым, если содержит хотя бы один элемент.
    Определение 3. Множество А является подмножеством множества В, если каждый элемент множества А принадлежит множеству В.
    В этом случае пишут , знак называют знаком включения.
    Например: {2, 4,} {4, 2, 6}
    Рассмотрим свойства отношения включения.
    рефлексивно, т.е любое множество является подмножеством самому себе.

    транзитивно, т. е. для любых множеств А, В и С, если множество А является подмножеством множества В и множество В является подмножеством множества С, то из этого следует, что множество А является подмножеством множества С.

    антисимметрично, т. е. для любых множеств А и В следует, что, если множество А является подмножеством множества В и в то же время множество В является подмножеством множества А, то множества А и В равны.

    Определение 4. Множество, не содержащее ни одного элемента, называется пустыммножеством.
    Пустое множество обозначают
    Пустое множество является подмножеством любого множества.
    Определение 5. Множество всех подмножеств множества A называется множеством-степенью и обозначается P(A).
    В дальнейшем будем пользоваться следующим утверждением:
    Утверждение 1. Число всех подмножеств конечного множества равно 2n.
    Пример. Выделим все подмножества множества А ={2, 4, 6}.
    Р(А)={2, 4, 6}, {2, 4}, {4, 6}, {2, 6}, {2}, {4 }, {6}, — всего 23=8.
    Операции над множествами
    Объединением множеств А и В называется множество, состоящее из тех элементов, которые принадлежат одному из множеств А или В.
    Для обозначения объединения множеств используют знак .

    Пример. , ,
    Пересечением множеств А и В называются такое множество, элементы которого принадлежат как множеству А, так и множеству В.
    Для обозначения пересечения множеств используют знак .

    Пример. , ,
    Разностью множеств А и В называется множество, элементы которого являются элементами множества А, не принадлежащие множеству В.
    Для обозначения разности множеств используют знак /.

    Пример. , ,
    Перечислим основные свойства операций над множествами:
    1) идемпотентность объединения
    2) идемпотентность пересечения
    3) коммутативность объединения
    4) коммутативность пересечения
    5) ассоциативность объединения
    6) ассоциативность пересечения
    7) дистрибутивность объединения относительно пересечения
    8) дистрибутивность пересечения относительно объединения
    Универсальное множество. Дополнение множества.
    Во многих приложениях теории множеств рассматриваются только такие множества, которые содержатся в некотором фиксированном множестве. Например, в геометрии мы имеем дело с множеством точек данного пространства, в арифметике – с множеством целых чисел. Такое фиксированное множество называют универсальным.Для его обозначения используют букву U.
    Определение 6. Множество U/А называется дополнением множества А и обозначается (или ).
    Дополнение U/ множества обозначается
    Справедливы следующие формулы:
    =
    — закон инволюции.
    Теорема. Если множество А является подмножеством множества В, то дополнение множества А будет являться подмножеством дополнения множества В.

    Доказательство.
    Пусть множество А является подмножеством множества В, , необходимо доказать, что для каждого элемента х из универсального множества U выполняется следующее условие: если элемент х принадлежит множеству , то он принадлежит и множеству .
    .
    Действительно, если х принадлежит множеству , то он не принадлежит множеству В, а т. к. множество А является подмножеством множества В, то элемент х не принадлежит и множеству А, а это означает его принадлежность множеству .

    Теорема. Имеют место следующие тождества
    — Законы де Моргана для множеств
    Приведем краткое доказательство первого утверждения.
    Второе утверждение докажите самостоятельно.
    Диаграммы Эйлера-Венна.
    Для графического изображения множеств и их свойств используются так называемые диаграммы Эйлера-Венна.
    Объединение множеств Пересечение множеств



    Разность множеств Подмножество

    Универсальное множество Дополнение

    Понятие множества. Элементы множества. Пустое множество. Принадлежность элементов.

  4. vulnerating Ответить

    Чтобы объяснить учащимся, что 5-3=2, часто используют такой прием. Берут 5 предметов, например, 5 кружков. После того как учащиеся убедятся при помощи счета, что кружков действительно 5, им предлагают 3 кружка убрать и сосчитать, сколько кружков осталось. Осталось 2, значит, 5-3=2.
    В чем суть приема? Из данного множества, в котором а элементов, удаляют подмножество, содержащее b элементов. Тогда в оставшейся части множества а – b элементов.
    Если заданы два множества, то можно не только найти их пересечение и объединение, но и вычесть из одного множества другое. Результат вычитания называют разностью и определяют следующим образом.
    Определение.Разностью множеств А и В называется множество, содержащее все элементы, которые принадлежат множеству А и не принадлежат множеству В.
    Разность множеств А и В обозначают А \ В. Тогда, по определению, имеем:
    А \ В ={ х | х I A и х I B }.
    Если представить множества А и В при помощи кругов Эйлера, то разность А \ В изобразиться заштрихованной областью.
    В школьном курсе математики чаще всего приходится выполнять вычитание множеств в случае, когда одно из них является подмножеством другого, при этом разность множеств А \ В называют дополнением множества В до множества А,и обозначают символом ВА.
    При помощи кругов Эйлера данная ситуация представляется на рисунке, где заштрихована та часть, которая осталась после удаления из множества А подмножества В. Эту часть называют дополнением множества В до множества А.
    Определение.Пусть ВI А. Дополнением множества В до множества А называется множество, содержащее только те элементы множества А, которые не принадлежат множеству В.
    ВА ={ х| х I A и х I B }.
    Дополнение множества В до множества А ( при условии, что В I А) обозначают ВА = А \ В.
    Операция при помощи которой находят дополнение подмножества, называется вычитанием.
    Нахождение подмножества в конкретных случаях:
    · Если элементы множества А и В пересечены, то, чтобы найти А \ В, достаточно перечислить элементы, принадлежащие А и не принадлежащие В.
    Пример. А = {1, 2, 3, 5}, а B={1, 5}, то А \ В = {2,3}.
    · Если указаны характеристические свойства элементов множеств А и В (ВIА), характеристическое свойство множества А \ В имеет вид «х IA и х IB».
    Пример. А – множество четных чисел, В – множество чисел, кратных 4. Найти дополнение множества В до множества А. Определить, содержатся ли в этом дополнении числа 20 и 26.
    Так как, все числа кратные 4, четные, то В I А. Если из множества А удалить все числа, кратные 4, то в нем останутся четные числа, не кратные 4. Значит, А \ В – множество четных чисел, не кратных 4. Характеристическое свойство элементов этого множества – «быть четным числом и не кратным 4».

  5. Faejas Ответить

    Замечание. Не следует считать равносильными отношения принадлежности и вхождения одного множества в другое . Можно привести следующий пример. Пусть А – множество всех студентов данной группы, а В – множество всех учебных групп данного института. Здесь , но , поскольку элементы этих множеств разнородны. Этот пример показывает также, что элементами множеств могут являться другие множества.
    3. Операции над множествами.
    После того, как мы научились составлять и различать множества, можно приступить к определению и других операций над ними. Естественно, что два множества могут иметь одинаковые элементы (их можно выделить в отдельное множество), из всех элементов двух множеств можно составить одно новое множество, также можно рассмотреть отдельно элементы одного множества, которых во втором множестве нет.
    Например, А – множество наклеек (марок), которые есть у Пети, В – множество наклеек, которые собрал Вася. Можно выделить множество наклеек, которые есть у обоих ребят; коллекцию различных наклеек, собранных ими вместе; множество наклеек Пети, которых нет у Васи.
    Таким образом, мы проделали операции пересечения, объединения и разности двух множеств.
    Опр. 3.1 Пересечением множеств А и В называется множество С, состоящее из всех тех и только тех элементов, которые принадлежат каждому из данных множеств: С={х ½хIА и хIВ}. Обозначается, АCВ.

    Опр. 3.2 Объединением множеств А и В называется множество С, которое состоит из всех элементов данных множеств А и В и только из них: С={х½ хIА или хIВ}. Обозначается, АEВ.

    Геометрическое изображение множеств в виде области на плоскости называется диаграммой Эйлера – Вэйна.
    Естественно поставить вопрос о нахождении числа элементов в объединенном множестве С. Если множества А и В не содержат одинаковых элементов, т.е. не пересекаются (АCВ=?), то
    n(АEВ) = n(A) + n(B) (1).
    В противном случае, когда множества имеют n(АCВ) одинаковых элементов, следует пользоваться более общей формулой:
    n(АEВ) = n(A) + n(B) – n(АCВ) (2).
    Опр. 3.3 Разностью множеств А и В называется множество С, состоящее из всех элементов множества А, не принадлежащих множеству В: С={х ½ хIА и хIВ}. Обозначается, А\В.

    В случае, когда В является подмножеством А, т.е. ВIА, разность А\В называется дополнением множества В до множества А (или относительно множества А).
    В каждом отдельном случае мы рассматриваем (изучаем и пр.) всевозможные подмножества одного и того же множества. Например, в начальной школе дети учатся работать (выполнять основные арифметические операции) сначала с числами из первого десятка натуральных чисел, затем из первой сотни и т.д. Но их действия не выходят за рамки натуральных чисел (отрицательные и дробные числа они будут проходить позже). Аналогично, учитель может работать с некоторыми группами учеников, которые будут являться подмножествами определенного множества обучаемых данным учителем школьников. Каждый человек носит различные комбинации вещей, но только из своего личного гардероба. Это основное множество (свое в каждом отдельном случае) называется универсальным множеством.
    Опр. 3.4 Универсальным множеством называется множество, подмножества которого (и только они) в данный момент рассматриваются. Обозначают, U.
    При работе с числовыми множествами, если не дается дополнительных указаний, в качестве основного (универсального) множества будем считать множество R действительных чисел.
    Опр. 3.5 Дополнением множества А называется разность U\А.. Обозначается, А’ или А и читается «не-А» . Иначе, дополнением множества А называется множество А’, состоящее из всех элементов, не принадлежащих множеству А.
    Симметрической разностью множеств A и B называется множество, состоящее из элементов исходных множеств, за исключением общих элементов.
    Симметрическую разность множеств A и B обозначают AB:
    AB= (A\B )( B\A ).

    Абсолютным дополнением множества A называется множество всех элементов, не принадлежащих A, т.е. множество `
    , где U – универсальное множество.

    Теперь укажем основные свойства изученных выше операций над множествами:
    Свойства операции пересечения:
    1) АCА=А;
    2) АC?=?;
    3) АCА’=?;
    4) АCU=А;
    5) АCВ=ВCА.
    Свойства операции объединения:
    1) АEА=А;
    2) АE?=А;
    3) АEА’=U;
    4) АEU=U;
    5) АEВ=ВEА.
    Свойства операции разности:
    1) А\А=?; 4) А\U=?;
    2) А\?=А; 5) U\А=А’;
    3) А\А’=А; 6) ?\А=?;
    7) А\В ¹ В\А.
    Справедливы равенства (3).
    Пример. Исходя из определения равенства множеств и операций над множествами, доказать тождество и проверить его с помощью диаграммы Эйлера – Вэйна.

    Из записанных выше соотношений видно, что
    ?= A \ В
    Что и требовалось доказать.
    Для иллюстрации полученного результата построим диаграммы Эйлера – Вэйна:

    Пример. Исходя из определения равенства множеств и операций над множествами, доказать тождество.
    A \ (B E C) = (A \ B) C (A \ C)
    Если некоторый элемент х I А \ (В E С), то это означает, что этот элемент принадлежит множеству А, но не принадлежит множествам В и С.
    Множество А \ В представляет собой множество элементов множества А, не принадлежащих множеству В.
    Множество А \ С представляет собой множество элементов множества А, не принадлежащих множеству С.
    Множество (A \ B) C (A \ C) представляет собой множество элементов, которые принадлежат множеству А, но не принадлежат ни множеству В, ни множеству С.
    Таким образом, тождество можно считать доказанным.
    4. Разбиение множества на классы. Классификация
    В процессе изучения предметов и явлений окружающего мира мы постоянно сталкиваемся с классификацией. Классификация широко используется в биологии, химии, математике, языке и многих других науках. Она облегчает процесс усвоения знаний.
    Классификация в любой области человеческой деятельности связана с разбиением множества на подмножества (классы). Например, классификация частей речи, членов предложения, чисел, геометрических фигур и так далее.
    Полученные подмножества должны обладать некоторыми свойствами:
    1) они не должны быть пустыми;
    2) не должны содержать общих элементов;
    3) объединение всех подмножеств должно равняться самому множеству.
    Определение: Классификацией или разбиением множества на классы называется представление этого множества в виде объединения непустых попарно непересекающихся своих подмножеств.
    Для примера рассмотрим классификацию с помощью двух свойств.
    Пусть U –множество студентов социально-педагогического факультета БГУ, свойство ? – «быть отличником», свойство ? – «быть спортсменом». С помощью указанных свойств можно выделить следующие подмножества:
    А –множество отличников;
    –множество не отличников;
    В –множество спортсменов;
    –множество не спортсменов.
    Множество U в этом случае оказывается разбитым на следующие четыре класса (подмножества):
    II
    I– множество отличников-спортсменов;
    II– множество отличников – не спортсменов;
    II I
    I– множество не отличников – спортсменов;
    IV– множество не отличников – не спортсменов;

    Рис. 2
    Можно доказать, что если n– число свойств, то максимальное число классов в разбиении равно 2n.
    Число элементов объединения и разности двух конечных множеств
    Пусть A и B – конечные множества. Число элементов множества A условимся обозначать символом n(A) и называть численностью множества A.
    Определим численность объединения множеств A и B.
    Если множества A и B не пересекаются (см. рис. 1а), то n (AEB) = n(A) + n(B). Таким образом, численность объединения конечных непересекающихся множеств равна сумме численностей этих множеств.
    Если множества A и B пересекаются (см. рис. 1б), то в сумме n(A) + n(B) число элементов пересечения ACB содержится дважды: один раз в n(A),а другой – в n(B). Поэтому, чтобы найти численность объединения n(AEB), нужно из указанной суммы вычесть n(ACB). Таким образом:
    n(AEB) = n(A) + n(B) – n(ACB)
    Определим теперь численность разности множеств A и B.
    Если множества A и B не пересекаются, то A \ B = A, и поэтому n(A\B) = n(A).
    Если множества A и B пересекаются (см. рис. 1б), то n(A\B) = n(A) – n(ACB).
    Если В I А (см. рис. 1в), то ACB = B, и, следовательно, n(A\B) = n(A) – n(B).

  6. Aurinadar Ответить

    Байт

    21834 / 13625 / 2875
    Регистрация: 24.12.2010
    Сообщений: 28,977
    26.12.2014, 00:49
    3

    Сообщение от MyChemicalKillj

    подмножество будет 3,4
    Это просто один из элементов. Такой же, как 1 или 2
    Вот решение:
    Пустое
    1
    2
    {3,4}
    1, 2
    1, {3,4}
    2, {3,4}
    1, 2, {3,4}
    Всего 8. Сходится? У n-элементного множества ровно 2n подмножеств
    Можно было бы для всего этого хозяйства заменить {3,4} на x. От этого ровным счетом ничего не меняется.
    Добавлено через 15 минут
    Не по теме:
    Alamira, Я слышал, что великий Георг Кантор, пытаясь узнать как больше о множествах, не выдержал пытливости собственного ума и кончил жизнь в психушке от вовсе не смертельной болезни МДП. Но он нам оставил возможность совершенно безболезненно об этих множествах рассуждать.:)
    1

  7. Goldendefender Ответить

    Множество В называется подмножеством множества А, если каждый элемент множества В одновременно является элементом множества А. Это записывается так: В I А или А E В. В этом случае говорят, что множество В содержится в множестве А или множество А содержит множество В.
    Пусть заданы множества А = {1, 3, 5, 7} и B = {3, 5}. Очевидно, что В есть подмножество А, т.е. В I А.
    Множество N натуральных чисел является подмножеством множества Z целых чисел, т. е. N I Z; интервал ]а, b[ является подмножеством отрезка [а, b]: ]а, b[ I [а, b].
    Если в множестве В найдётся хотя бы один элемент, не принадлежащий множеству А, то В не является подмножеством множества А: В E А. Например, отрезок [а, b] не является под­множеством промежутка ]а, b], так как а I [а, b], но а I ]а, b].
    Из определения подмножества следует, что любое множество является подмножеством самого себя, т. е. справедливо утвержде­ние А I А. Говорят, что А – самое широкое подмножество А.
    Полагают также, что пустое множество является подмножеством любого множества. Это вполне естественно, так как пустое мно­жество не содержит ни одного элемента и, следовательно, в нём нет элемента, который не принадлежал бы любому другому множеству. Пустое множество является самым узким подмножеством любого множества.
    Множество А и пустое множество ? называются несобственными подмножествами множества А. Все другие подмножества множества А называются собственными подмножествами множества А.
    Рассмотрим множество учеников некоторого класса; обозначим это множество X, и пусть Y — множество учеников того же класса, получивших за контрольную по истории оценку «отлично». Если все ученики класса получили за эту контрольную отличную оценку, то Х и Y равные множества: Х = Y. Если же ни один ученик класса не получил «отлично», то множество Y – пустое: Y = ?. Но в любом случае множество Y является под­множеством множества X: Y I X.
    Задача 1.
    Пусть дано некоторое множество, состоящее из трёх элементов а, b и с.
    Найти все его под­множества.
    Решение.
    Во-первых, это – пустое множество ?.
    Во-вторых, множества, содержащие по одному элементу: {а}, {b},{с}.
    В-третьих, множества, содержащие по два элемента: {а, b}, {b, с}, {а, с}.
    И, наконец, само множество {а, b, с}.
    Число всех этих подмножеств равно восьми. Таким образом, любое множество, состоящее из трёх элементов, имеет 8 = 23 подмножеств.·
    Если конечное множество А состоит из п элементов, то число всех его подмножеств равно 2n. Из них ровно (2n – 2) являются собственными подмножествами.

Добавить ответ

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *