Чем отличается минор м48 от алгебраического дополнения а48?

18 ответов на вопрос “Чем отличается минор м48 от алгебраического дополнения а48?”

  1. МиЛеНа Ответить


    M11 = 45 – 48 = -3
    M23 = 8 – 14 = -6
    M32 = 6 – 12 = -6
    Точно по такому же принципу считаются и другие миноры, следовательно, все миноры на представленном примере будут равны:
    M11 = 45 – 48 = -3
    M12 = 36 – 42 = -6
    M13 = 32 – 35 = -3
    M21 = 18 – 24 = -6
    M22 = 9 – 21 = -12
    M23 = 8 – 14 = -6
    M31 = 12 – 15 = -3
    M32 = 6 – 12 = -6
    M33 = 5 – 8 = -3
    Рассмотрим ещё один пример, для которого найдём всего 1 минор, к примеру, элемента M23:

    Ответ: минор M23 равен 13.
    Алгебраическое дополнение определителя “n” порядка называется произведение Aij = (-1)i+j*Mij
    Алгебраические дополнения отличаются от миноров только знаком. Обозначение Aij

    Рассмотрим понятие алгебраических дополнений на понятном примере с действительными числами:

    Найдём все алгебраические дополнения представленного примера и запишем их ответ:
    А11 = 16
    А12 = -1*(3-0)= -3
    А13 = 1*(2-0)=2
    А21 = -1*(9-8)= -1
    А22 = 1*(6-4)=2
    А23 = -1*4= -4
    А31 = 1*((-15)-8)= -23
    А32 = -1*((-10)-4)=14
    А33 = 1*(4-3)= 1
    Вот мы и рассмотрели понятийный аппарат о миноре и алгебраическом дополнении, которые нам понадобятся в следующих темах изучения высшей математики, в частности для нахождения определителей матрицы. Если Вы всё поняли, то переходите к следующей теме, а если что-то вам вдруг показалось непонятным, – напишите об этом в комментарии к данной теме.

  2. Хрупкая Ответить

    Напомним свойство
    6
    из элементарных свойств определителя: величина определителя не изменится если прибавить к любой его строке любую другую строку, умноженную на произвольную константу. Этот факт можно использовать для того, чтобы «сделать» в определителе побольше элементов равных нулю, т.к. содержащие эти элементы слагаемые выпадут из полного разложения определителя.
    Еще одно элементарное свойство — свойство
    2
    , утверждает, что перестановка строк изменит знак определителя, но не изменит его абсолютную величину. Пользуясь этими двумя преобразованиями, можем поставить целью привести определитель к треугольному виду, т.е. к виду

    Тогда, на основании следствия к теореме Лапласа, величина исходного определителя с точностью до знака будет совпадать с произведением диагональных элементов:

    Формализовать приведение определителя к треугольному виду возможно с помощью используюшегося при решении систем линейных уравнений метода Гаусса. Так, первый шаг преобразования определителя

    будет состоять в «обнулении» элементов первого столбца: из второй строки вычитается первая, домноженная на , из третьей строки — первая, домноженная на и т.д. Все эти операции не изменяют величины определителя, но преобразуют его к виду

  3. Мальвина Ответить

    Определение. Если в определителе n-го порядка выбрать произвольно k строк и k столбцов, то элементы, стоящие на пересечении указанных строк и столбцов, образуют квадратную матрицу порядка k. Определитель такой квадратной матрицы называют минором k-го порядка.
    Обозначается Mk . Если k=1, то минор первого порядка – это элемент определителя.
    Элементы, стоящие на пересечении оставшихся (n-k) строк и (n-k) столбцов, составляют квадратную матрицу порядка (n-k). Определитель такой матрицы называется минором, дополнительным к минору Mk. Обозначается Mn-k.
    Алгебраическим дополнением минора Mk будем называть его дополнительный минор, взятый со знаком “+” или “-” в зависимости от того, четна или нечетна сумма номеров всех строк и столбцов, в которых расположен минор Mk.
    Если k=1, то алгебраическое дополнение к элементу aik вычисляется по формуле
    Aik=(-1)i+kMik, где Mik – минор (n-1) порядка.
    Теорема. Произведение минора k-го порядка на его алгебраическое дополнение равно сумме некоторого числа членов определителя Dn.
    Доказательство
    1. Рассмотрим частный случай. Пусть минор Mk занимает левый верхний угол определителя, то есть располагается в строках с номерами 1, 2, …, k, тогда минор Mn-k будет занимать строки k+1, k+2, …, n.
    .
    Вычислим алгебраическое дополнение к минору Mk. По определению,
    An-k=(-1)sMn-k, где s=(1+2+…+k) +(1+2+…+k)= 2(1+2+…+k), тогда
    (-1)s=1 и An-k=Mn-k. Получим
    Mk An-k=Mk Mn-k. (*)
    Берем произвольный член минора Mk
    , (1)
    где s – число инверсий в подстановке
    (2)
    и произвольный член минора Mn-k
    , (3)
    где s* – число инверсий в подстановке
    (4)
    Перемножая (1) и (3), получим
    .(5)
    Произведение состоит из n элементов, расположенных в различных строках и столбцах определителя D. Следовательно, это произведение является членом определителя D. Знак произведения (5) определяется суммой инверсий в подстановках (2) и (4), а знак аналогичного произведения в определителе D определяется числом инверсий sk в подстановке

    Очевидно, что sk=s+s*.
    Таким образом, возвращаясь к равенству (*), получим, что произведение Mk An-k состоит только из членов определителя.
    2. Пусть минор Mk расположен в строках с номерами i1, i2, …, ik и в столбцах с номерами j1, j2, …, jk , причем i1< i2< ...< ik и j1< j2< ...< jk . Используя свойства определителей, с помощью транспозиций сместим минор в левый верхний угол. Получим определитель D¢, в котором минор Mk занимает левый верхний угол, а дополнительный к нему минор M¢n-k - правый нижний угол, тогда, по доказанному в пункте 1, получим, что произведение Mk M¢n-k является суммой некоторого количества элементов определителя D¢, взятых со своим знаком. Но D¢ получен из D с помощью (i1-1)+( i2-2)+ ...+(ik-k)=( i1+ i2+ ...+ ik)-(1+2+...+k) транспозиций строк и (j1-1)+(j2-2)+ ...+(jk-k)=(j1+ j2+ ...+ jk)- (1+2+...+k) транспозиций столбцов. То есть всего было выполнено

  4. Marius Ответить

    Миноры
    и алгебраические дополнения

    Пусть дана прямоугольная матрица А размера

    .
    Определение 1. Минором порядка k данной матрицы, где k

    min(m;n), называется определитель k-го порядка, полученный из матрицы А
    вычеркиванием (m-k) строк и (n-k) столбцов.
    Пример. А=

    ,

    ,

    .
    Определение
    2.     Дополнительным минором Mij к элементу aij квадратной матрицы

    называется
    определитель (n-1)
    порядка, полученный из матрицы А
    вычеркиванием этого элемента вместе со строкой и столбцом, в которых он
    расположен.
    Пример.

    .
    Найдем
    дополнительный минор к элементу a31.

    .
    Определение
    3.     Алгебраическим дополнением Aij к элементу aij квадратной матрицы

    называется число Aij=

    .
    Пример. Найдем алгебраическое дополнение
    к элементу a33.

    .
    Теорема
    1.     Определитель равен сумме попарных произведений элементов любой
    строки на их алгебраические дополнения.

    – разложение
    определителя по i-й
    строке.
    Теорема
    2.     Сумма попарных произведений элементов любой строки определителя
    на алгебраические дополнения к соответствующим элементам другой строки равна
    нулю.
    Вычисление
    определителей порядка n>3
    сводится к вычислению определителей второго и третьего порядка с помощью
    теоремы 1 и свойства 5 определителя.

  5. VideoAnswer Ответить

Добавить ответ

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *