Что такое линейная функция и ее график?

11 ответов на вопрос “Что такое линейная функция и ее график?”

  1. МираМало Ответить

    Линейной функцией называется функция вида y = kx + b, заданная на множестве всех действительных чисел. Здесь k – угловой коэффициент (действительное число), b – свободный член (действительное число), x – независимая переменная.
    В частном случае, если k = 0, получим постоянную функцию y = b, график которой есть прямая, параллельная оси Ox, проходящая через точку с координатами (0; b).
    Если b = 0, то получим функцию y = kx, которая является прямой пропорциональностью.
    Геометрический смысл коэффициента b – длина отрезка, который отсекает прямая по оси Oy, считая от начала координат.
    Геометрический смысл коэффициента k – угол наклона прямой к положительному направлению оси Ox, считается против часовой стрелки.
    Свойства линейной функции:
    1) Область определения линейной функции есть вся вещественная ось;
    2) Если k ≠ 0, то область значений линейной функции есть вся вещественная ось. Если k = 0, то область значений линейной функции состоит из числа b;
    3) Четность и нечетность линейной функции зависят от значений коэффициентов k и b.
    a) b ≠ 0, k = 0, следовательно, y = b – четная;
    b) b = 0, k ≠ 0, следовательно y = kx – нечетная;
    c) b ≠ 0, k ≠ 0, следовательно y = kx + b – функция общего вида;
    d) b = 0, k = 0, следовательно y = 0 – как четная, так и нечетная функция.
    4) Свойством периодичности линейная функция не обладает;
    5) Точки пересечения с осями координат:
    Ox: y = kx + b = 0, x = -b/k, следовательно (-b/k; 0) – точка пересечения с осью абсцисс.
    Oy: y = 0k + b = b, следовательно (0; b) – точка пересечения с осью ординат.
    Замечание.Если b = 0 и k = 0, то функция y = 0 обращается в ноль при любом значении переменной х. Если b ≠ 0 и k = 0, то функция y = b не обращается в ноль ни при каких значениях переменной х.
    6) Промежутки знакопостоянства зависят от коэффициента k.
    a) k > 0; kx + b > 0, kx > -b, x > -b/k.
    y = kx + b – положительна при x из (-b/k; +∞),
    y = kx + b – отрицательна при x из (-∞; -b/k).
    b) k < 0; kx + b < 0, kx < -b, x < -b/k. y = kx + b – положительна при x из (-∞; -b/k), y = kx + b – отрицательна при x из (-b/k; +∞). c) k = 0, b > 0; y = kx + b положительна на всей области определения,
    k = 0, b < 0; y = kx + b отрицательна на всей области определения. 7) Промежутки монотонности линейной функции зависят от коэффициента k. k > 0, следовательно y = kx + b возрастает на всей области определения,
    k < 0, следовательно y = kx + b убывает на всей области определения. 8) Графиком линейной функции является прямая. Для построения прямой достаточно знать две точки. Положение прямой на координатной плоскости зависит от значений коэффициентов k и b. Ниже приведена таблица, которая наглядно это иллюстрирует рисунок 1. (Рис.1)
    Пример.Рассмотрим следующую линейную функцию: y = 5x – 3.
    1) D(y) = R;
    2) E(y) = R;
    3) Функция общего вида;
    4) Непериодическая;
    5) Точки пересечения с осями координат:
    Ox: 5x – 3 = 0, x = 3/5, следовательно (3/5; 0) – точка пересечения с осью абсцисс.
    Oy: y = -3, следовательно (0; -3) – точка пересечения с осью ординат;
    6) y = 5x – 3 – положительна при x из (3/5; +∞),
    y = 5x – 3 – отрицательна при x из (-∞; 3/5);
    7) y = 5x – 3 возрастает на всей области определения;
    8)

    © blog.tutoronline.ru,
    при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.

  2. Tholen Ответить

    •Линейной функцией называется функция вида y=kx+b, где x-независимая переменная, k и b-любые числа.
    •Графиком линейной функции является прямая.
    1.Чтобы постороить график функции, нам нужны координаты двух точек, принадлежащих графику функции. Чтобы их найти, нужно взять два значения х, подставить их в уравнение функции, и по ним вычислить соответствующие значения y.
    Например, чтобы построить график функции y= ⅓ x+2, удобно взять x=0 и x=3, тогда ординаты эти точек будут равны y=2 и y=3.
    Получим точки А(0;2) и В(3;3). Соединим их и получим график функции y= ⅓ x+2:

    2. В формуле y=kx+b число k называется коэффицентом пропорциональности:
    • если k>0, то функция y=kx+b возрастает
    • если k<0, то y=kx+b функция убывает
    Коэффициент b показывает смещение графика функции вдоль оси OY:
    • если b>0, то график функции y=kx+b получается из графика функцииy=kx сдвигом на b единиц вверх вдоль оси OY
    • если b<0, то график функции y=kx+b получается из графика функции y=kx сдвигом на b единиц вниз вдоль оси OY
    На рисунке ниже изображены графики функций y=2x+3; y= ½ x+3; y=x+3

    Заметим, что во всех этих функциях коэффициент k больше нуля, и функции являются возрастающими. Причем, чем больше значение k, тем больше угол наклона прямой к положительному направлению оси OX.
    Во всех функциях b=3 – и мы видим, что все графики пересекают ось OY в точке (0;3)
    Теперь рассмотрим графики функций y=-2x+3; y=- ½ x+3; y=-x+3

    На этот раз во всех функциях коэффициент k меньше нуля, и функции убывают. Коэффициент b=3, и графики также как в предыдущем случае пересекают ось OY в точке (0;3)
    Рассмотрим графики функций y=2x+3; y=2x; y=2x-3

    Теперь во всех уравнениях функций коэффициенты k равны 2. И мы получили три параллельные прямые.
    Но коэффициенты b различны, и эти графики пересекают ось OY в различных точках:
    • График функции y=2x+3 (b=3) пересекает ось OY в точке (0;3)
    • График функции y=2x (b=0) пересекает ось OY в точке (0;0) – начале координат.
    • График функции y=2x-3 (b=-3) пересекает ось OY в точке (0;-3)
    Итак, если мы знаем знаки коэффициентов k и b, то можем сразу представить, как выглядит график функции y=kx+b.
    Если k<0 и b>0, то график функции y=kx+b имеет вид:

    Если k>0 и b>0, то график функции y=kx+b имеет вид:

    Если k>0 и b<0, то график функции y=kx+b имеет вид:

    Если k<0 и b<0, то график функции y=kx+b имеет вид:

    Если k=0, то функция y=kx+b превращается в функцию y=b и ее график имеет вид:

    Ординаты всех точек графика функции y=b равны b
    Если b=0, то график функции y=kx (прямая пропорциональность) проходит через начало координат:

    3.Отдельно отметим график уравнения x=a. График этого уравнения представляет собой прямую линию, параллельую оси OY все точки которой имеют абсциссу x=a.
    Например, график уравнения x=3 выглядит так:
    Внимание! Уравнение x=a не является функцией, так одному значению аргумента соотвутствуют разные значения функции, что не соответствует определению функции.

    4.Условие параллельности двух прямых:
    График функции y=k1x+b1 параллелен графику функции y=k2x+b2, если k1=k2
    5.Условие перепендикулярности двух прямых:
    График функции y=k1x+b1 перепендикулярен графику функции y=k2x+b2, если k1*k2=-1 или k1=-1/k2
    6.Точки пересечения графика функции y=kx+b с осями координат.
    С осью ОY. Абсцисса любой точки, принадлежащей оси ОY равна нулю. Поэтому, чтобы найти точку пересечения с осью ОY нужно в уравнение функции вместо х подставить ноль. Получим y=b. То есть точка пересечения с осью OY имеет координаты (0;b).
    С осью ОХ: Ордината любой точки, принадлежащей оси ОХ равна нулю. Поэтому, чтобы найти точку пересечения с осью ОХ нужно в уравнение функции вместо y подставить ноль. Получим 0=kx+b. Отсюда x=-b/k. То есть точка пересечения с осью OX имеет координаты (-b/k;0):

  3. Codora Ответить

    Вначале рассмотрим функцию $f\left(x\right)=kx+b$, где $k > 0$.
    Область определения — все числа.
    Область значения — все числа.
    $f\left(-x\right)=-kx+b$. Функция не является ни четной, ни нечетной.
    При $x=0,f\left(0\right)=b$. При $y=0,0=kx+b,\ x=-\frac{b}{k}$.
    Точки пересечения с осями координат: $\left(-\frac{b}{k},0\right)$ и $\left(0,\ b\right)$
    $f’\left(x\right)={\left(kx+b\right)}’=k>0$. Следовательно, данная функция возрастает на всей области определения. Точек экстремума нет.
    $f^{”}\left(x\right)=k’=0$. Следовательно, функция не имеет точек перегиба.
    ${\mathop{lim}_{x\to -\infty } kx\ }=-\infty $, ${\mathop{lim}_{x\to +\infty } kx\ }=+\infty $
    График (рис. 2).

    Рис. 2. Графики функции $y=kx+b$, при $k > 0$.
    Теперь рассмотрим функцию $f\left(x\right)=kx$, где $k
    Область определения — все числа.
    Область значения — все числа.
    $f\left(-x\right)=-kx+b$. Функция не является ни четной, ни нечетной.
    При $x=0,f\left(0\right)=b$. При $y=0,0=kx+b,\ x=-\frac{b}{k}$.
    Точки пересечения с осями координат: $\left(-\frac{b}{k},0\right)$ и $\left(0,\ b\right)$
    $f’\left(x\right)={\left(kx\right)}’=k
    $f^{”}\left(x\right)=k’=0$. Следовательно, функция не имеет точек перегиба.
    ${\mathop{lim}_{x\to -\infty } kx\ }=+\infty $, ${\mathop{lim}_{x\to +\infty } kx\ }=-\infty $
    График (рис. 3).

    Рис. 3. Графики функции $y=kx+b$, при $k
    Важно: для построения графика функции $y=kx$ достаточно найти две точки и провести прямую через эти точки.

    Задача на построение графиков функции прямой пропорциональности

  4. Grirdana Ответить
  5. VideoAnswer Ответить

Добавить ответ

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *