Как определить линейная функция возрастает или убывает?

8 ответов на вопрос “Как определить линейная функция возрастает или убывает?”

  1. darkmaster Ответить

    Определения
    1) Функция y=f(x) называется возрастающей на некотором промежутке, если  бо?льшему значению аргумента из этого промежутка соответствует бо?льшее значение функции.
    То есть для любых двух значений x1,x2 из этого промежутка выполняется условие
    x_1 \Rightarrow f(x_2 ) > f(x_1 ). \]” title=”Rendered by QuickLaTeX.com”/>
    2) Функция y=f(x) называется убывающей на некотором промежутке, если бо?льшему значению аргумента из этого промежутка соответствует меньшее значение функции.
    То есть для любых двух значений x1,x2 из этого промежутка выполняется условие
    x_1 \Rightarrow f(x_2 )
    Предполагается, что промежуток принадлежит области определения функции y=f(x). Обычно промежуток — это отрезок, интервал или полуинтервал.
    График функции на промежутках возрастания «идёт вверх» (чем правее x, тем выше y).
    На промежутках убывания график «идёт вниз» (чем правее x, тем ниже y).
    Пример 1.
    Пользуясь графиком, найти промежутки возрастания и убывания функции y=f(x), определённой на отрезке [x1;x5]:

    Функция y=f(x) возрастает на промежутках [x2;x3] и [x4;x5]
    Функция y=f(x) убывает на промежутках [x1;x2] и [x3;x4].
    Кратко это записывают так:


    3) Функцию, возрастающую на промежутке либо убывающую на промежутке, называют монотонной функцией на этом промежутке (или строго монотонной).
    4) Если функция возрастает на всей своей области определения, то её называют возрастающей.
    Если функция убывает на всей своей области определения, то её называют убывающей.
    Например, y=vx, y=x? — возрастающие функции.
    Линейная функция y=kx+b возрастающая при k>0 и убывающая при k<0.
    5) Если для любых двух значений x1,x2 из некоторого промежутка выполняется условие
    x_1 \Rightarrow f(x_2 ) \ge f(x_1 ), \]” title=”Rendered by QuickLaTeX.com”/>
    то функция y=f(x) называется неубывающей на этом промежутке.
    6) Если для любых двух значений x1,x2 из некоторого промежутка выполняется условие
    x_1 \Rightarrow f(x_2 ) \le f(x_1 ), \]” title=”Rendered by QuickLaTeX.com”/>
    то функция y=f(x) называется невозрастающей на этом промежутке.
    7) Функцию, невозрастающую на промежутке либо неубывающую на промежутке, называют не строго монотонной функцией на этом промежутке.
    Пример 2.
    Пользуясь графиком, найти промежутки, на которых  функции y=g(x), определённая на отрезке [x1;x3], является невозрастающей и неубывающей:

    Функция y=g(x) является неубывающей на промежутке [x1;x2].

  2. Spellshaper Ответить

    Линейной функцией называется функция вида y = kx + b, заданная на множестве всех действительных чисел. Здесь k – угловой коэффициент (действительное число), b – свободный член (действительное число), x – независимая переменная.
    В частном случае, если k = 0, получим постоянную функцию y = b, график которой есть прямая, параллельная оси Ox, проходящая через точку с координатами (0; b).
    Если b = 0, то получим функцию y = kx, которая является прямой пропорциональностью.
    Геометрический смысл коэффициента b – длина отрезка, который отсекает прямая по оси Oy, считая от начала координат.
    Геометрический смысл коэффициента k – угол наклона прямой к положительному направлению оси Ox, считается против часовой стрелки.
    Свойства линейной функции:
    1) Область определения линейной функции есть вся вещественная ось;
    2) Если k ≠ 0, то область значений линейной функции есть вся вещественная ось. Если k = 0, то область значений линейной функции состоит из числа b;
    3) Четность и нечетность линейной функции зависят от значений коэффициентов k и b.
    a) b ≠ 0, k = 0, следовательно, y = b – четная;
    b) b = 0, k ≠ 0, следовательно y = kx – нечетная;
    c) b ≠ 0, k ≠ 0, следовательно y = kx + b – функция общего вида;
    d) b = 0, k = 0, следовательно y = 0 – как четная, так и нечетная функция.
    4) Свойством периодичности линейная функция не обладает;
    5) Точки пересечения с осями координат:
    Ox: y = kx + b = 0, x = -b/k, следовательно (-b/k; 0) – точка пересечения с осью абсцисс.
    Oy: y = 0k + b = b, следовательно (0; b) – точка пересечения с осью ординат.
    Замечание.Если b = 0 и k = 0, то функция y = 0 обращается в ноль при любом значении переменной х. Если b ≠ 0 и k = 0, то функция y = b не обращается в ноль ни при каких значениях переменной х.
    6) Промежутки знакопостоянства зависят от коэффициента k.
    a) k > 0; kx + b > 0, kx > -b, x > -b/k.
    y = kx + b – положительна при x из (-b/k; +∞),
    y = kx + b – отрицательна при x из (-∞; -b/k).
    b) k < 0; kx + b < 0, kx < -b, x < -b/k. y = kx + b – положительна при x из (-∞; -b/k), y = kx + b – отрицательна при x из (-b/k; +∞). c) k = 0, b > 0; y = kx + b положительна на всей области определения,
    k = 0, b < 0; y = kx + b отрицательна на всей области определения. 7) Промежутки монотонности линейной функции зависят от коэффициента k. k > 0, следовательно y = kx + b возрастает на всей области определения,
    k < 0, следовательно y = kx + b убывает на всей области определения. 8) Графиком линейной функции является прямая. Для построения прямой достаточно знать две точки. Положение прямой на координатной плоскости зависит от значений коэффициентов k и b. Ниже приведена таблица, которая наглядно это иллюстрирует рисунок 1. (Рис.1)
    Пример.Рассмотрим следующую линейную функцию: y = 5x – 3.
    1) D(y) = R;
    2) E(y) = R;
    3) Функция общего вида;
    4) Непериодическая;
    5) Точки пересечения с осями координат:
    Ox: 5x – 3 = 0, x = 3/5, следовательно (3/5; 0) – точка пересечения с осью абсцисс.
    Oy: y = -3, следовательно (0; -3) – точка пересечения с осью ординат;
    6) y = 5x – 3 – положительна при x из (3/5; +∞),
    y = 5x – 3 – отрицательна при x из (-∞; 3/5);
    7) y = 5x – 3 возрастает на всей области определения;
    8)

    © blog.tutoronline.ru,
    при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.

  3. Meztirisar Ответить

    Найти точки максимума и минимума функции y=16×3=2×2+223x-8.
    Решение.
    Область определения функции – это все действительные числа. Это можно записать в виде системы уравнений вида:
    -16×3-2×2-223x-8, x<016x3-2x2+223x-8, x?0
    После чего необходимо найти производную:
    y'=16x3-2x2-223x-8', x<016x3-2x2+223x-8', x>0y’=-12×2-4x-223, x<012x2-4x+223, x>0
    Точка х=0 не имеет производной, потому как значения односторонних пределов разные. Получим, что:
    lim y’x>0-0=lim yx>0-0-12×2-4x-223=-12·(0-0)2-4·(0-0)-223=-223lim y’x>0+0=lim yx>0-012×2-4x+223=12·(0+0)2-4·(0+0)+223=+223
    Отсюда следует, что функция непрерывна в точке х=0, тогда вычисляем
    lim yx>0-0=limx>0-0-16×3-2×2-223x-8==-16·(0-0)3-2·(0-0)2-223·(0-0)-8=-8lim yx>0+0=limx>0-016×3-2×2+223x-8==16·(0+0)3-2·(0+0)2+223·(0+0)-8=-8y(0)=16×3-2×2+223x-8x=0=16·03-2·02+223·0-8=-8
    Необходимо произвести вычисления для нахождения значения аргумента, когда производная становится равной нулю:
    -12×2-4x-223, x<0D=(-4)2-4·-12·-223=43x1=4+432·-12=-4-233<0x2=4-432·-12=-4+233<0
    12x2-4x+223, x>0D=(-4)2-4·12·223=43×3=4+432·12=4+233>0x4=4-432·12=4-233>0
    Все полученные точки нужно отметить на прямой для определения знака каждого интервала. Поэтому необходимо вычислить производную в произвольных точках у каждого интервала. Например, у нас можно взять точки со значениями x=-6, x=-4, x=-1, x=1, x=4, x=6. Получим, что
    y'(-6)=-12×2-4x-223x=-6=-12·-62-4·(-6)-223=-43<0y'(-4)=-12x2-4x-223x=-4=-12·(-4)2-4·(-4)-223=23>0y'(-1)=-12×2-4x-223x=-1=-12·(-1)2-4·(-1)-223=236<0y'(1)=12x2-4x+223x=1=12·12-4·1+223=236>0y'(4)=12×2-4x+223x=4=12·42-4·4+223=-23<0y'(6)=12x2-4x+223x=6=12·62-4·6+223=43>0
    Изображение на прямой имеет вид

    Значит, приходим к тому, что необходимо прибегнуть к первому признаку экстремума. Вычислим и получим, что
    x=-4-233, x=0, x=4+233, тогда отсюда точки максимума имеют значениx=-4+233, x=4-233
    Перейдем к вычислению минимумов:
    ymin=y-4-233=16×3-22+223x-8x=-4-233=-8273ymin=y(0)=16×3-22+223x-8x=0=-8ymin=y4+233=16×3-22+223x-8x=4+233=-8273
    Произведем вычисления максимумов функции. Получим, что
    ymax=y-4+233=16×3-22+223x-8x=-4+233=8273ymax=y4-233=16×3-22+223x-8x=4-233=8273
    Графическое изображение

    Ответ:
    ymin=y-4-233=-8273ymin=y(0)=-8ymin=y4+233=-8273ymax=y-4+233=8273ymax=y4-233=8273

  4. Drelazar Ответить

    Для нахождения максимумов и минимумов функции можно пользоваться любым из трех признаков экстремума, конечно, если функция удовлетворяет их условиям. Самым распространенным и удобным является первый из них.

    Первое достаточное условие экстремума.

    Пусть функция y=f(x) дифференцируема в -окрестности точки , а в самой точке непрерывна.
    Тогда
    если при и при , то – точка максимума;
    если при и при , то – точка минимума.
    Другими словами:
    если в точке функция непрерывна и в ней производная меняет знак с плюса на минус, то – точка максимума;
    если в точке функция непрерывна и в ней производная меняет знак с минуса на плюс, то – точка минимума.
    Алгоритм нахождения точек экстремума по первому признаку экстремума функции.
    Находим область определения функции.
    Находим производную функции на области определения.
    Определяем нули числителя, нули знаменателя производной и точки области определения, в которых производная не существует (все перечисленные точки называют точками возможного экстремума, проходя через эти точки, производная как раз может изменять свой знак).
    Эти точки разбивают область определения функции на промежутки, в которых производная сохраняет знак. Определяем знаки производной на каждом из интервалов (например, вычисляя значение производной функции в любой точке отдельно взятого интервала).
    Выбираем точки, в которых функция непрерывна и, проходя через которые, производная меняет знак – они и являются точками экстремума.
    Слишком много слов, рассмотрим лучше несколько примеров нахождения точек экстремума и экстремумов функции с помощью первого достаточного условия экстремума функции.

  5. VideoAnswer Ответить

Добавить ответ

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *