Что такое логарифмы и как их решать?

12 ответов на вопрос “Что такое логарифмы и как их решать?”

  1. Munris Ответить

    11 июля 2011
    Логарифмы всегда считались сложной темой в школьном курсе математики. Существует много разных определений логарифма, но большинство учебников почему-то используют самые сложные и неудачные из них.
    Мы же определим логарифм просто и наглядно. Для этого составим таблицу:
    212223242526
    248163264
    Итак, перед нами степени двойки. Если взять число из нижней строчки, то можно легко найти степень, в которую придется возвести двойку, чтобы получилось это число. Например, чтобы получить 16, надо два возвести в четвертую степень. А чтобы получить 64, надо два возвести в шестую степень. Это видно из таблицы.
    А теперь — собственно, определение логарифма:
    Логарифм по основанию a от аргумента x — это степень, в которую надо возвести число a, чтобы получить число x.
    Обозначение: loga x = b, где a — основание, x — аргумент, b — собственно, чему равен логарифм.
    Например, 23 = 8 ? log2 8 = 3 (логарифм по основанию 2 от числа 8 равен трем, поскольку 23 = 8). С тем же успехом log2 64 = 6, поскольку 26 = 64.
    Операцию нахождения логарифма числа по заданному основанию называют логарифмированием. Итак, дополним нашу таблицу новой строкой:
    212223242526
    248163264
    log2 2 = 1log2 4 = 2log2 8 = 3log2 16 = 4log2 32 = 5log2 64 = 6
    К сожалению, далеко не все логарифмы считаются так легко. Например, попробуйте найти log2 5. Числа 5 нет в таблице, но логика подсказывает, что логарифм будет лежать где-то на отрезке [2; 3]. Потому что 22 < 5 < 23, а чем больше степень двойки, тем больше получится число. Если взять калькулятор и посчитать, чему равны такие логарифмы, то получатся очень длинные числа. Взгляните сами: log2 5 = 2,32192809... log3 8 = 1,89278926... log5 100 = 2,86135311... Такие числа называются иррациональными: цифры после запятой можно писать до бесконечности, и они никогда не повторяются. Если логарифм получается иррациональным, его лучше так и оставить: log2 5, log3 8, log5 100. Важно понимать, что логарифм — это выражение с двумя переменными (основание и аргумент). Многие на первых порах путают, где находится основание, а где — аргумент. Чтобы избежать досадных недоразумений, просто взгляните на картинку:
    Перед нами — не что иное как определение логарифма. Вспомните: логарифм — это степень, в которую надо возвести основание, чтобы получить аргумент. Именно основание возводится в степень — на картинке оно выделено красным. Получается, что основание всегда находится внизу! Это замечательное правило я рассказываю своим ученикам на первом же занятии — и никакой путаницы не возникает.

    Как считать логарифмы

    С определением разобрались — осталось научиться считать логарифмы, т.е. избавляться от знака «log». Для начала отметим, что из определения следует два важных факта:
    Аргумент и основание всегда должны быть больше нуля. Это следует из определения степени рациональным показателем, к которому сводится определение логарифма.
    Основание должно быть отличным от единицы, поскольку единица в любой степени все равно остается единицей. Из-за этого вопрос «в какую степень надо возвести единицу, чтобы получить двойку» лишен смысла. Нет такой степени!
    Такие ограничения называются областью допустимых значений (ОДЗ). Получается, что ОДЗ логарифма выглядит так: loga x = b ? x > 0, a > 0, a ? 1.
    Заметьте, что никаких ограничений на число b (значение логарифма) не накладывается. Например, логарифм вполне может быть отрицательным: log2 0,5 = ?1, т.к. 0,5 = 2?1.
    Впрочем, сейчас мы рассматриваем лишь числовые выражения, где знать ОДЗ логарифма не требуется. Все ограничения уже учтены составителями задач. Но когда пойдут логарифмические уравнения и неравенства, требования ОДЗ станут обязательными. Ведь в основании и аргументе могут стоять весьма неслабые конструкции, которые совсем необязательно соответствуют приведенным выше ограничениям.
    Теперь рассмотрим общую схему вычисления логарифмов. Она состоит из трех шагов:
    Представить основание a и аргумент x в виде степени с минимально возможным основанием, большим единицы. Попутно лучше избавиться от десятичных дробей;
    Решить относительно переменной b уравнение: x = ab;
    Полученное число b будет ответом.
    Вот и все! Если логарифм окажется иррациональным, это будет видно уже на первом шаге. Требование, чтобы основание было больше единицы, весьма актуально: это снижает вероятность ошибки и значительно упрощает выкладки. Аналогично с десятичными дробями: если сразу перевести их в обычные, ошибок будет в разы меньше.
    Посмотрим, как работает эта схема на конкретных примерах:
    Задача. Вычислите логарифм: log5 25
    Представим основание и аргумент как степень пятерки: 5 = 51; 25 = 52;
    Составим и решим уравнение:
    log5 25 = b ? (51)b = 52 ? 5b = 52 ? b = 2;
    Получили ответ: 2.
    Задача. Вычислите логарифм:

    Представим основание и аргумент как степень тройки: 3 = 31; 1/81 = 81?1 = (34)?1 = 3?4;
    Составим и решим уравнение:

    Получили ответ: ?4.
    Задача. Вычислите логарифм: log4 64
    Представим основание и аргумент как степень двойки: 4 = 22; 64 = 26;
    Составим и решим уравнение:
    log4 64 = b ? (22)b = 26 ? 22b = 26 ? 2b = 6 ? b = 3;
    Получили ответ: 3.
    Задача. Вычислите логарифм: log16 1
    Представим основание и аргумент как степень двойки: 16 = 24; 1 = 20;
    Составим и решим уравнение:
    log16 1 = b ? (24)b = 20 ? 24b = 20 ? 4b = 0 ? b = 0;
    Получили ответ: 0.
    Задача. Вычислите логарифм: log7 14
    Представим основание и аргумент как степень семерки: 7 = 71; 14 в виде степени семерки не представляется, поскольку 71 < 14 < 72; Из предыдущего пункта следует, что логарифм не считается; Ответ — без изменений: log7 14. Небольшое замечание к последнему примеру. Как убедиться, что число не является точной степенью другого числа? Очень просто — достаточно разложить его на простые множители. И если такие множители нельзя собрать в степени с одинаковыми показателями, то и исходное число не является точной степенью. Задача. Выясните, являются ли точными степенями числа: 8; 48; 81; 35; 14. 8 = 2 · 2 · 2 = 23 — точная степень, т.к. множитель всего один; 48 = 6 · 8 = 3 · 2 · 2 · 2 · 2 = 3 · 24 — не является точной степенью, поскольку есть два множителя: 3 и 2; 81 = 9 · 9 = 3 · 3 · 3 · 3 = 34 — точная степень; 35 = 7 · 5 — снова не является точной степенью; 14 = 7 · 2 — опять не точная степень; Заметим также, что сами простые числа всегда являются точными степенями самих себя.

    Десятичный логарифм
    Некоторые логарифмы встречаются настолько часто, что имеют специальное название и обозначение.
    Десятичный логарифм от аргумента x — это логарифм по основанию 10, т.е. степень, в которую надо возвести число 10, чтобы получить число x. Обозначение: lg x.
    Например, lg 10 = 1; lg 100 = 2; lg 1000 = 3 — и т.д.
    Отныне, когда в учебнике встречается фраза типа «Найдите lg 0,01», знайте: это не опечатка. Это десятичный логарифм. Впрочем, если вам непривычно такое обозначение, его всегда можно переписать:
    lg x = log10 x
    Все, что верно для обычных логарифмов, верно и для десятичных.

    Натуральный логарифм

    Существует еще один логарифм, который имеет собственное обозначение. В некотором смысле, он даже более важен, чем десятичный. Речь идет о натуральном логарифме.
    Натуральный логарифм от аргумента x — это логарифм по основанию e, т.е. степень, в которую надо возвести число e, чтобы получить число x. Обозначение: ln x.
    Многие спросят: что еще за число e? Это иррациональное число, его точное значение найти и записать невозможно. Приведу лишь первые его цифры:
    e = 2,718281828459…
    Не будем углубляться, что это за число и зачем нужно. Просто помните, что e — основание натурального логарифма:
    ln x = loge x
    Таким образом, ln e = 1; ln e2 = 2; ln e16 = 16 — и т.д. С другой стороны, ln 2 — иррациональное число. Вообще, натуральный логарифм любого рационального числа иррационален. Кроме, разумеется, единицы: ln 1 = 0.
    Для натуральных логарифмов справедливы все правила, которые верны для обычных логарифмов.

  2. Fenrilabar Ответить

    Некоторые свойства, например, логарифма частного, степени с четным показателем и произведения, можно распространить и на отрицательные числа с помощью модулей. Как это делается, мы покажем далее. Так, поскольку свойство логарифма произведения выглядит как loga(x·y)=loga|x|+loga|y|, где a>0, a?1, x?0, y?0, то после преобразования мы получим log3((?2)·(?5)) =log3|?2|+log3|?5|=log32+log35.

    Как преобразовать логарифмическое выражение с переменными

    В предыдущих параграфах мы разобрали, как работать с числовыми выражениями, содержащими логарифмы. Однако если требуется решить логарифмическое неравенство или уравнение, нам понадобится умение работать с теми случаями, когда под знаком логарифма содержится выражение с переменными. В целом при этом мы руководствуемся теми же принципами, что и с числовыми выражениями, но тут следует отдельно пояснить некоторые нюансы, незнание которых ведет к ошибкам.

    Особенности преобразований выражений с переменными

    Основная трудность состоит в том, что при работе с такими выражениями числа, расположенные под знаком логарифма и в его основании, должны соответствовать особым условиям, а в случае определенных переменных из области допустимых значений эти условия могут оказаться невыполненными. Приведем один наглядный пример.
    У нас есть логарифмическое выражение log2(x+1)4. При преобразовании нужно обязательно учитывать область допустимых значений, поэтому первым шагом должно стать ее нахождение. Здесь она определена неравенством (x+1)4>0, значение которого является числовым множеством (??, ?1) ? (?1, +?). Решить его можно с помощью метода интервалов.
    Исходное выражение соответствует формуле logABp, где A равно 2, B – x+1, а p – четырем.
    Мы видим, что заданное выражение соответствует виду logABp, где A=2, B=x+1 и p=4. Такие выражения преобразовываются по свойству логарифма степени logabp=p·logab. Можно ли поступить так с этим выражением? Вычислим значение исходного логарифма и выражения, которое получилось после преобразования, например, при x=?2. В итоге: log2(?2+1)4=log21=0, а 4·log2(?2+1) =4·log2(?1) –выражение, не имеющее смысла. Значит, мы ошиблись.
    Причина ошибки в том, что мы взяли формулу logabp=p·logab, но это допустимо лишь при условии a>0, a?1, b>0, p – любое действительное число. Иными словами, проделанное нами преобразование возможно, если x+1>0, что аналогично x>?1 (для A и p – условия выполнены). Однако в нашем случае ОДЗ переменной x для исходного выражения состоит не только из промежутка  x>?1, но и из промежутка x < ?1. Но для x Почему надо учитывать область допустимых значений
    Продолжая работу с выражением log2(x+1)4, проанализируем, как изменится область значений, когда мы выполним переход к виду 4·log2(x+1). Ранее мы уже определили эту область как множество (??, ?1) ? (?1, +?). Теперь вычислим, какова будет область допустимых значений для 4·log2(x+1). Она определяется условием x+1>0, а ему, в свою очередь, будет отвечать множество (?1, +?). Мы видим, что область допустимых значений сузилась, а это может привести к различным ошибочным последствиям, поэтому таких преобразований следует избегать.
    Важно следить, как меняется область значений во время каждого преобразования. Если на каком-либо этапе происходит ее сужение, это повод тщательно проверить все вычисления и определить, правомерно ли использования данного преобразования.
    Чаще всего при решении задач приходится иметь дело с выражениями, область допустимых значений которых не ограничивает применение свойств логарифмов в прямом и обратном порядке, но не следует относиться так ко всем примерам. Нужно всегда проверять, что происходит с областью допустимых значений, и своевременно отслеживать возможные ошибки.
    Запишем, в ходе каких преобразований чаще всего происходит непреднамеренное сужение области значений:
    Определение 3

  3. Black Fire Ответить

    Многие школьники считают логарифмы сложной темой в курсе математики. Но если разобрать, что такое логарифм подробно, от простого к сложному, то на ЕГЭ вы не станете их опасаться.
    Часто у учеников возникает путаница, где аргумент, а где основание логарифма. И что же нужно возвести в степень, чтобы этот логарифм, наконец, посчитать.
    В этой статье мы откроем секрет, как легче запомнить принцип решения логарифма.
    Итак, давайте разбираться, что такое логарифм.
    Что такое логарифм и как его посчитать
    Зачем логарифмам специальные обозначения
    Основные свойства логарифмов — все формулы в одном месте
    10 примеров логарифмов с решением

    Что такое логарифм и как его посчитать

    Логарифм имеет следующий вид:
    где a – это основание логарифма,
    b – это аргумент логарифма
    Чтобы узнать значение логарифма приравняем его к X.и преобразовываем вЗапомните, что именно основание (оно выделено красным) возводится в степень.
    Чтобы было легче, можно запоминать так – основание всегда остается внизу (и в первом, и во втором выражении a внизу)!
    Приведем пример:

    Чтобы вычислить данный логарифм, необходимо приравнять его к X и воспользоваться правилом, описанным выше:А в какую степень нужно возвести 2, чтобы получилось 8? Конечно же в третью степень, таким образом:
    Еще раз обращаю ваше внимание, что основание (в нашем случае это – 2) всегда находится внизу и именно оно возводится в степень.
    Еще примеры:

    Логарифмы со специальным обозначением

    Для некоторых логарифмов в математике введены специальные обозначения. Это связано с тем, что такие логарифмы встречаются особенно часто. К таким логарифмам относятся десятичный логарифм и натуральный логарифм. Для этих логарифмов справедливы все правила, что и для обычных логарифмов.

    Десятичный логарифм

    Десятичный логарифм обозначается lg и имеет основание 10, т.е.
    Чтобы вычислить десятичный логарифм, нужно 10 возвести в степень X.
    Например, вычислим lg100

    Натуральный логарифм

    Натуральный логарифм обозначается ln и имеет основание e, то есть

    Чтобы вычислить данный логарифм нужно число е возвести в степень x. Некоторые из вас спросят, что это за число такое е? Число е – это иррациональное число, т.е. точное его значение вычислить невозможно. е = 2,718281…
    Сейчас не будем подробно разбирать, зачем это число нужно, просто запомним, что

    И вычислить его можно таким образом:

    Основные свойства логарифмов

    Логарифмы можно преобразовывать, но для этого необходимо знать правила, которые называются основными свойствами логарифмов. Данные свойства обязательно нужно знать каждому ученику! Без знания этих свойств невозможно решить ни одну серьезную логарифмическую задачу. Вот эти свойства:

    Совет – тренируйтесь применять эти свойства в обе стороны, то есть как слева направо, так и справа налево!
    Рассмотрим свойства логарифмов на примерах.

    Логарифмический ноль и логарифмическая единица


    Это следствия из определения логарифма. И их нужно обязательно запомнить. Эти  простейшие свойства нередко вводят учеников в ступор.
    Запомните, что логарифм от a по основанию а всегда равен единице:
    loga a = 1 – это логарифмическая единица.
    Если же в аргументе стоит единица, то такой логарифм всегда равен нулю независимо от основания, так как a0 = 1:
    loga 1 = 0 – логарифмический ноль.

    Основное логарифмическое тождество



    В первой формуле число m становится степенью, которая стоит в аргументе. Данное число может быть любым. Некоторые выражения могут быть решены только с помощью этого тождества.
    Вторая формула по сути является просто переформулированным определением логарифма
    Разберем применение тождества на примере:
    Необходимо найти значение выраженияСначала преобразуем логарифм
    Вернемся к исходному выражению и применим правило умножения степеней с одинаковым основанием:Теперь применим основное логарифмическое  тождество и получим:

    Сумма логарифмов. Разница логарифмов

    Логарифмы с одинаковыми основаниями можно складывать:Логарифмы с одинаковыми основаниями можно вычитать:Мы видим, что исходные выражения состояли из логарифмов, которые по отдельности не вычисляются, а при применении свойств логарифмов у нас получились нормальные числа. Поэтому повторим, что основные свойства логарифмов нужно знать обязательно!
    Обратите внимание, что формулы суммы и разности логарифмов верны только для логарифмов с одинаковыми основаниями! Если основания разные, то данные свойства применять нельзя!

    Вынесение показателя степени из логарифма

    Вынесение показателя степени из логарифма:

    Переход к новому основанию

    Когда мы разбирали формулы суммы и разности логарифмов, то обращали внимание на то, что основания логарифмов должны быть при этом одинаковыми. А что же делать, если основания логарифмов разные? Воспользоваться свойством перехода к новому основанию.
    Такие формулы чаще всего нужны при решении логарифмических уравнений и неравенств.
    Разберем на примере.
    Необходимо найти значение такого выраженияДля начала преобразуем каждый логарифм с помощью свойства вынесения показателя степени из логарифма:

    Теперь применим переход к новому основанию для второго логарифма:Подставим полученные результаты в исходное выражение:

    10 примеров логарифмов с решением

    1. Найти значение выражения2. Найти значение выражения3. Найти значение выражения4. Найти значение выражения5. Найти значение выражения6. Найти значение выраженияСначала найдем значениеДля этого приравняем его к Х:Тогда изначальное выражение принимает вид:
    7. Найти значение выраженияПреобразуем наше выражение:Теперь воспользуемся свойством вынесения показателя степени из логарифма и получим: 8. Найти значение выраженияТак как основания логарифмов одинаковые, воспользуемся свойством разности логарифмов:9. Найти значение выраженияТак как основания логарифмов разные, применять свойство суммы логарифмов нельзя. Поэтому решаем каждый логарифм по отдельности:Подставляем полученные значения в исходное выражение:
    4 + 3 = 7
    10. Найти значение выраженияОбращаем внимание, что данное выражение – это не произведение логарифмов. У логарифма по основанию 4 подлогарифным выражением является log216. Поэтому сначала найдем значение log216, а затем подставим полученный результат в log4:
    Надеюсь, теперь вы разобрались, что такое логарифм. Больше видео уроков вы можете найти в нашей группе Вконтакте.

  4. Burirdin Ответить

    Задание
    Вычислить значение выражения

    Решение
    Перейдем в каждом из слагаемых к логарифму по основанию 18, используя формулу перехода . Получим:

    Так как сумма логарифмов равна логарифму произведения, последняя сумма перепишется в виде:

    Число 324 можно представить как степень 18, получим

    далее выносим степень как коэффициент перед знаком логарифма:

    Учитывая, что , окончательно будем иметь:

    Ответ

  5. KUBYFIXIPN Ответить

    Логарифмы изучаются в старших классах и считаются достаточно сложными для понимания. На самом же деле, ничего сложного здесь нет — надо только начать изучение.
    По существу, нахождение логарифма — это операция, обратная возведению в степень. Отсюда возникают все свойства и ограничения логарифма.
    Логарифмические функции часто попадаются на экзаменах в виде уравнений и неравенств. Поэтому умение работать с логарифмами и твердое знание их свойств совершенно необходимы.
    Глава 1.
    Понятие логарифма
    § 1.
    Что такое логарифм
    § 2.
    Тест к параграфу «Что такое логарифм» (легкий)
    § 3.
    Тест к уроку «Что такое логарифм» (средний)
    § 4.
    Тест к уроку «Что такое логарифм» (тяжелый)
    § 5.
    Основные свойства логарифмов
    Глава 2.
    Логарифмические уравнения
    § 1.
    Простейшие логарифмические уравнения — первые шаги
    § 2.
    Логарифмические уравнения: комплект видеоуроков для изучения
    § 3.
    Уравнения, квадратные относительно логарифма, и другие нестандартные ситуации
    § 4.
    Решение логарифмических уравнений — заключительный комплект видеоуроков
    Глава 3.
    Логарифмические неравенства
    § 1.
    Преобразование логарифмических неравенств с одинаковым основанием
    § 2.
    Логарифмические неравенства с переменным основанием
    § 3.
    Логарифмические неравенства, сводящиеся к квадратным
    § 4.
    Неравенства, квадратные относительно логарифма
    § 5.
    Дробно-рациональные неравенства с логарифмами
    § 6.
    Сложные логарифмические неравенства
    Глава 4.
    Что такое логарифм
    Глава 5.
    Свойства логарифмов
    Глава 6.
    Логарифмические выражения
    Глава 7.
    Логарифмическая функция
    § 10.
    Логарифм с переменным основанием и метод рационализации
    § 18.
    Решение сложных логарифмических неравенств разными способами
    § 19.
    Совмещение метода рационализации и метода интервалов
    § 20.
    Подробное решение логарифмического неравенства методом рационализации
    § 21.
    Метод рационализации логарифмических неравенств

Добавить ответ

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *