Что такое производная в математике простыми словами?

15 ответов на вопрос “Что такое производная в математике простыми словами?”

  1. smalia11 Ответить

    Производная функции — одна из сложных тем в школьной программе. Не каждый выпускник ответит на вопрос, что такое производная.
    В этой статье просто и понятно рассказано о том, что такое производная и для чего она нужна. Мы не будем сейчас стремиться к математической строгости изложения. Самое главное — понять смысл.
    Запомним определение:
    Производная — это скорость изменения функции.
    На рисунке — графики трех функций. Как вы думаете, какая из них быстрее растет?

    Ответ очевиден — третья. У нее самая большая скорость изменения, то есть самая большая производная.
    Вот другой пример.
    Костя, Гриша и Матвей одновременно устроились на работу. Посмотрим, как менялся их доход в течение года:

    На графике сразу все видно, не правда ли? Доход Кости за полгода вырос больше чем в два раза. И у Гриши доход тоже вырос, но совсем чуть-чуть. А доход Матвея уменьшился до нуля. Стартовые условия одинаковые, а скорость изменения функции, то есть производная, — разная. Что касается Матвея — у его дохода производная вообще отрицательна.
    Интуитивно мы без труда оцениваем скорость изменения функции. Но как же это делаем?
    На самом деле мы смотрим, насколько круто идет вверх (или вниз) график функции. Другими словами — насколько быстро меняется у с изменением х. Очевидно, что одна и та же функция в разных точках может иметь разное значение производной — то есть может меняться быстрее или медленнее.
    Производная функции обозначается .
    Покажем, как найти с помощью графика.

    Нарисован график некоторой функции . Возьмем на нем точку  с абсциссой . Проведём в этой точке касательную к графику функции. Мы хотим оценить, насколько круто вверх идет график функции. Удобная величина для этого — тангенс угла наклона касательной.
    Производная функции в точке  равна тангенсу угла наклона касательной, проведённой к графику функции в этой точке.

    Обратите внимание — в качестве угла наклона касательной мы берем угол между касательной и положительным направлением оси .
    Иногда учащиеся спрашивают, что такое касательная к графику функции. Это прямая, имеющая на данном участке единственную общую точку с графиком, причем так, как показано на нашем рисунке. Похоже на касательную к окружности.
    Найдем . Мы помним, что тангенс острого угла в прямоугольном треугольнике равен отношению противолежащего катета к прилежащему. Из треугольника :

    Мы нашли производную с помощью графика, даже не зная формулу функции. Такие задачи часто встречаются в ЕГЭ по математике под номером .
    Есть и другое важное соотношение. Вспомним, что прямая задается уравнением
    .
    Величина  в этом уравнении называется угловым коэффициентом прямой. Она равна тангенсу угла наклона прямой к оси .
    .
    Мы получаем, что

    Запомним эту формулу. Она выражает геометрический смысл производной.
    Производная функции в точке  равна угловому коэффициенту касательной, проведенной к графику функции в этой точке.
    Другими словами, производная равна тангенсу угла наклона касательной.
    Мы уже сказали, что у одной и той же функции в разных точках может быть разная производная. Посмотрим, как же связана производная с поведением функции.
    Нарисуем график некоторой функции . Пусть на одних участках эта функция возрастает, на других — убывает, причем с разной скоростью. И пусть у этой функции будут точки максимума и минимума.

    В точке  функция возрастает. Касательная к графику, проведенная в точке , образует острый угол  с положительным направлением оси . Значит, в точке  производная положительна.
    В точке  наша функция убывает. Касательная в этой точке образует тупой угол  с положительным направлением оси . Поскольку тангенс тупого угла отрицателен, в точке  производная отрицательна.
    Вот что получается:
    Если функция возрастает, ее производная положительна.
    Если убывает, ее производная отрицательна.
    А что же будет в точках максимума и минимума? Мы видим, что в точках  (точка максимума) и  (точка минимума) касательная горизонтальна. Следовательно, тангенс угла наклона касательной в этих точках равен нулю, и производная тоже равна нулю.
    Точка  — точка максимума. В этой точке возрастание функции сменяется убыванием. Следовательно, знак производной меняется в точке  с «плюса» на «минус».
    В точке  — точке минимума — производная тоже равна нулю, но ее знак меняется с «минуса» на «плюс».
    Вывод: с помощью производной можно узнать о поведении функции всё, что нас интересует.
    Если производная положительна, то функция возрастает.
    Если производная отрицательная, то функция убывает.
    В точке максимума производная равна нулю и меняет знак с «плюса» на «минус».
    В точке минимума производная тоже равна нулю и меняет знак с «минуса» на «плюс».
    Запишем эти выводы в виде таблицы:

  2. mrMOLODOI Ответить


    Начало

    Поиск по сайту

    ТОПы

    Учебные заведения

    Предметы

    Проверочные работы

    Обновления

    Новости

    Переменка
    Отправить отзыв

  3. cTosser Ответить

    Насчет обучения программированию:
    Python — вовсе не «серебрянная пуля».
    Да он хорош в своей достаточно определенной области, однако у него как и у любого инструмента есть свои как сильные так и слабые стороны. А именно умение адекватно оценивать сильные и слабые стороны любого инструментария и отличает качества профессионального программиста.
    Поэтому, если учить программиста, то следует давать именно спектр инструментов, причем, что особенно важно, разного уровня:
    * железную «матчасть» и знания апаратной архитектуры современной техники с проводками и транзисторами
    * программная работа на низком уровне и ассемблер
    * уровень выше — C (ну можно Fortran/Pascal до кучи)
    * скриптовые языки (Perl/Python/PHP/Bash…)
    * наконец специализированные под задачу языки (вроде SQL, PLSQL, хотя бы обзорно языки CAD и мат.пакетов)
    * и наконец еще более высокий уровень, стоящий «выше кодинга» — построение и рефакторинг архитектуры IT-проекта.
    * ну и конечно, же для программиста надо знать математические дисциплины: матан, функциональный анализ, теорию функций комплексного переменного, матстатистику…
    Вопрос, не в том, на каком уровне и с помощью какого средства программист в конечном итоге предпочтет связать свою основную работу. У кого-то талант писать прошвки для ПЛИС и микроконтроллеров, а кто-то просто мастер оптимизации SQL-запросов, а кто-то вообще мастер писать формулы по которым будут производиться программные расчеты — это не важно у кого какая природная склонность.
    Важно что программист знает хотя бы на ознакомительном уровне о инструментарии и при необходимости сможет углубив свои знания успешно применить.
    Да и тем более, любой серьезный проект это всегда «стык технологий разного уровня», и только имея хоть какие-то минимальные знания соседних уровней можно успешно интегрировать свою часть в проект.
    В противном случае, мы получим плачевную картину «больных мозгов» умеющих программировать «только одной извилиной».
    Ну, или, если вам не нравиться аналогия с «мозгами», вот вам другая, более удачная аналогия: Замечательный Инструмент-Отвертка!
    Да, отвертка — это действительно супер — замечательный инструмент, ей можно делать очень-очень многое, например:
    * отверткой можно выполнять основную функцию отвертки — завинчивать и отвинчивать винтики (но на этом богатый функционал применения отвертки далеко не заканчивается)
    *отверткой, например, еще можно долбить деревяшку, используя вместо стамески
    * ручкой отвертки можно попробовать забить гвоздь
    * раскалив жало отвертки на газовой горелке ее можно использовать в качестве паяльника
    * остро заточив отвертку ее можно использовать в качестве ножа
    * а еще, между двумя отвертками, вместо пинцета, можно попробовать зажать мелкую деталь
    * отвертку можно использовать в качестве линейки для начертания линий
    * сделав на отвертке зазубрины ее можно использовать в качестве пилы
    *… да и вообще если проявить «больное воображение» можно придумать еще сотню способов применения для отвертки, с помощью которой можно решать почти все задачи.
    Значит ли из этого всего что, отвертка — универсальный мощный инструмент, и всем надо учить только отвертку?
    Наверное, все-таки нет!
    Одно дело, когда «чисто по приколу, как в цирке клоун» вышеприведенные «трюки с отверткой» делает профи, в совершенстве владеющего сотнями инструментов. За этим наблидать действительно весело, потому что прикольно смотреть что можно сделать с помощью отвертки.
    Но, абсолютно невесело, а даже очень даже грустно, наблюдать за печальной картиной, когда нуб-бедолага, крутя отвертку в руках пытается просверлить отверткой дырку. И он отверкой сверлит дырку лишь потому что он не знает других инструментов кроме отвертки. При этом всех сочувственно советующих «не мучаться и взять дрель» посылает «на йух», потому что в нем живет святая гранячащая с религиознным фанатизмом вера в то, чему его «учили в умных книжках» что «отвертка — это единственный мощный универсальный инструмент на все случаи жизни, и что кто использует отвертку тот обретет царствие небесное, а кто отвергает отвертку-того ждет геенна огненная…».
    Из всего этого, как вы понимаете, я вовсе не собираюсь разводить холивар на тему «хороший и мощный все-таки или не достаточно хороший и не такой мощный Python». Ни к чему это. Но, если вы говорите именно все-таки об обучении программированию, я сразу обращу ваше внимание на эту аналогию Python-а выше с «инструментом-отверткой».
    Надо технарю знать что существует отвертка и что с помощью нее делать? Конечно надо! Точно также и программисту не помешает знать что такое Python и какие у него возможности. Но точно также как технарю кроме отвертки желательно знать о существовании и возможностях еще десятков других инструментов, точно так и обучая программиста, надо его ознакомить с возможностями разных инструментов разного уровня.
    И уж совсем преступление — промывать мозги молодому поколению «единственно якобы-правильным Pythonом», точно также как было бы преступлением — внушать технарю что все нужно делать с помощью отвертки и только.
    P.S.: Кстати, Вам не кажется, чтобы если бы мозги программистов не были поражены «святой верой в единственно-правильный инструмент», не было бы и холиваров «Одно vs Другое».

  4. Dmitro1234 Ответить

    Когда человек сделал первые самостоятельные шаги в изучении математического анализа и начинает задавать неудобные вопросы, то уже не так-то просто отделаться фразой, что «дифференциальное исчисление найдено в капусте». Поэтому настало время набраться решимости и раскрыть тайну появления на свет таблицы производных и правил дифференцирования. Начало положено в статье о смысле производной, которую я настоятельно рекомендую к изучению, поскольку там мы как раз рассмотрели понятие производной и начали щёлкать задачи по теме. Этот же урок носит ярко выраженную практическую направленность, более того, рассматриваемые ниже примеры, в принципе, можно освоить и чисто формально (например, когда нет времени/желания вникать в суть производной). Также крайне желательно (однако опять не обязательно) уметь находить производные «обычным» методом – хотя бы на уровне двух базовых занятий: Как найти производную? и Производная сложной функции.
    Но без чего-чего сейчас точно не обойтись, так это без пределов функций. Вы должны ПОНИМАТЬ, что такое предел и уметь решать их, как минимум, на среднем уровне. А всё потому, что производная функции  в точке  определяется формулой:

    Напоминаю обозначения и термины:
     называют приращением аргумента;
     – приращением функции;
     – это ЕДИНЫЕ символы («дельту» нельзя «отрывать» от «икса» или «игрека»).
    Очевидно, что  является «динамической» переменной,  – константой и результат вычисления предела  – числом (иногда – «плюс» либо «минус» бесконечностью).
    В качестве точки  можно рассмотреть ЛЮБОЕ значение , принадлежащее области определения функции , в котором существует производная.
    ! Примечание: оговорка «в котором существует производная»  – в общем случае существенна! Так, например, точка  хоть и входит в область определения функции , но производной  там не существует. Поэтому формула  не применима в точке , и укороченная формулировка без оговорки будет некорректна. Аналогичные факты справедливы и для других функций с «обрывами» графика, в частности, для  арксинуса и арккосинуса.
    Таким образом, после замены , получаем вторую рабочую формулу:

    Обратите внимание на коварное обстоятельство, которое может запутать чайника: в данном пределе «икс», будучи сам независимой переменной, исполняет роль статиста, а «динамику» задаёт опять же приращение . Результатом вычисления предела  является производная функция .
    Исходя из вышесказанного, сформулируем условия двух типовых задач:
    – Найти производную в точке, используя определение производной.
    – Найти производную функцию, используя определение производной. Эта версия, по моим наблюдениям, встречается заметно чаще и ей будет уделено основное внимание.
    Принципиальное отличие заданий состоит в том, что в первом случае требуется найти число (как вариант, бесконечность), а во втором – функцию. Кроме того, производной может и вовсе не существовать.

    Как найти производную по определению?

    Составить отношение  и вычислить предел .
    Откуда появилась таблица производных и правила дифференцирования? Благодаря единственному пределу . Кажется волшебством, но в действительности – ловкость рук и никакого мошенничества. На уроке Что такое производная? я начал рассматривать конкретные примеры, где с помощью определения нашёл производные линейной и квадратичной функции. В целях познавательной разминки продолжим тревожить таблицу производных, оттачивая алгоритм и технические приёмы решения:
    Пример 1
    Найти производную функции , пользуясь определением производной
    По сути, требуется доказать частный случай производной степенной функции, который обычно фигурирует в таблице: .
    Решение технически оформляется двумя способами. Начнём с первого, уже знакомого подхода: лесенка начинается с дощечки, а производная функция – с производной в точке.
    Рассмотрим некоторую (конкретную) точку , принадлежащую области определения функции , в которой существует производная. Зададим в данной точке приращение  (разумеется, не выходящее за рамки о/о-я) и составим соответствующее приращение функции:

    Вычислим предел:

    Неопределённость 0:0 устраняется стандартным приёмом, рассмотренным ещё в первом веке до нашей эры. Домножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение :

    Техника решения такого предела подробно рассмотрена на вводном уроке о пределах функций.
    Итак, .
    Поскольку в качестве  можно выбрать ЛЮБУЮ точку  интервала , то, осуществив замену , получаем:

    Ответ: по определению производной:
    Готово.
    В который раз порадуемся логарифмам:
    Пример 2
    Найти производную функции , пользуясь определением производной
    Решение: рассмотрим другой подход к раскрутке той же задачи. Он точно такой же, но более рационален с точки зрения оформления. Идея состоит в том, чтобы в начале решения избавиться от подстрочного индекса и вместо буквы  использовать букву .
    Рассмотрим произвольную точку , принадлежащую области определения функции  (интервалу ), и зададим в ней приращение . А вот здесь, кстати, как и в большинстве случаев, можно обойтись без всяких оговорок, поскольку логарифмическая функция дифференцируема в любой точке области определения.
    Тогда соответствующее приращение функции:

    Найдём производную:

    Простота оформления уравновешивается путаницей, которая может возникнуть у начинающих (да и не только). Ведь мы привыкли, что в пределе изменяется буква «икс»! Но тут всё по-другому:  – античная статуя, а  – живой посетитель, бодро шагающий по коридору музея. То есть «икс» – это «как бы константа».
    Устранение неопределённости  закомментирую пошагово:

    (1) Используем свойство логарифма .
    (2) В скобках почленно делим числитель на знаменатель.
    (3) В знаменателе искусственно домножаем и делим на «икс» чтобы воспользоваться замечательным пределом , при этом в качестве бесконечно малой величины выступает .
    Ответ: по определению производной:
    Или сокращённо:
    Предлагаю самостоятельно сконструировать ещё две табличные формулы:
    Пример 3
    Найти производную  по определению
    В данном случае составленное приращение  сразу же удобно привести к общему знаменателю. Примерный образец оформления задания в конце урока (первый способ).
    Пример 4
    Найти производную  по определению
    А тут всё необходимо свести к замечательному пределу . Решение оформлено вторым способом.
    Аналогично выводится ряд других табличных производных. Полный список можно найти в школьном учебнике, или, например, 1-м томе Фихтенгольца. Не вижу особого смысла переписывать из книг и доказательства правил дифференцирования – они тоже порождены формулой .
    Переходим к реально встречающимся заданиям:
    Пример 5
    Найти производную функции , используя определение производной
    Решение: используем первый стиль оформления. Рассмотрим некоторую точку , принадлежащую , и зададим в ней приращение аргумента . Тогда соответствующее приращение функции:

    Возможно, некоторые читатели ещё не до конца поняли принцип, по которому нужно составлять приращение . Берём точку  (число) и находим в ней значение функции: , то есть в функцию  вместо «икса» следует подставить . Теперь берём тоже вполне конкретное число  и так же подставляем его в функцию  вместо «икса»: . Записываем разность , при этом  необходимо полностью взять в скобки.
    Составленное приращение функции  бывает выгодно сразу же упростить. Зачем? Облегчить и укоротить решение дальнейшего предела.
    Используем формулы , раскрываем скобки и уничтожаем противоположные члены::

    Индейка выпотрошена, с жаркое никаких проблем:

    В итоге:
    Поскольку в качестве  можно выбрать любое действительное число, то проведём замену  и получим .
    Ответ:  по определению.
    В целях проверки найдём производную с помощью правил дифференцирования и таблицы:

    Всегда полезно и приятно знать правильный ответ заранее, поэтому лучше мысленно либо на черновике продифференцировать предложенную функцию «быстрым» способом в самом начале решения.
    Пример 6
    Найти производную функции  по определению производной
    Это пример для самостоятельного решения. Результат лежит на поверхности:

    Вернёмся к стилю № 2:
    Пример 7
    Пользуясь определением, найти производную функции

    Давайте немедленно узнаем, что должно получиться. По правилу дифференцирования сложной функции:

    Решение: рассмотрим произвольную точку , принадлежащую , зададим в ней приращение аргумента  и составим приращение функции:

    Найдём производную:

    (1) Используем тригонометрическую формулу .
    (2) Под синусом раскрываем скобки, под косинусом приводим подобные слагаемые.
    (3) Под синусом уничтожаем противоположные слагаемые, под косинусом почленно делим числитель на знаменатель.
    (4) В силу нечётности синуса выносим «минус». Под косинусом указываем, что слагаемое .
    (5) В знаменателе проводим искусственное домножение, чтобы использовать первый замечательный предел . Таким образом, неопределённость устранена, причёсываем результат.
    Ответ:  по определению
    Как видите, основная трудность рассматриваемой задачи упирается в сложность самого предела + небольшое своеобразие упаковки. На практике встречаются и тот и другой способ оформления, поэтому я максимально подробно расписываю оба подхода. Они равноценны, но всё-таки, по моему субъективному впечатлению, чайникам целесообразнее придерживаться 1-го варианта с «икс нулевым».
    Пример 8
    Пользуясь определением, найти производную функции

    Это задание для самостоятельного решения. Образец оформлен в том же духе, что предыдущий пример.
    Разберём более редкую версию задачи:
    Пример 9
    Найти производную функции  в точке , пользуясь определением производной.
    Во-первых, что должно получиться в сухом остатке? Число
    Вычислим ответ стандартным способом:

    Решение: с точки зрения наглядности это задание значительно проще, так как в формуле  вместо  рассматривается конкретное значение.
    Зададим в точке  приращение  и составим соответствующее приращение функции:

    Вычислим производную в точке:

    Используем весьма редкую формулу разности тангенсов  и в который раз сведём решение к первому замечательному пределу:

    Ответ:  по определению производной в точке.
    Задачу не так трудно решить и «в общем виде» – достаточно заменить   на  или просто в зависимости от способа оформления. В этом случае, понятно, получится не число, а производная функция.
    Пример 10
    Используя определение, найти производную функции  в точке
    Это пример для самостоятельного решения.
    Заключительная бонус-задача предназначена, прежде всего, для студентов с углубленным изучением математического анализа, но и всем остальным тоже не помешает:
    Пример 11
    Будет ли дифференцируема функция  в точке ?
    Решение: очевидно, что кусочно-заданная функция непрерывна в точке , но будет ли она там дифференцируема?
    Алгоритм решения, причём не только для кусочных функций, таков:
    1) Находим левостороннюю производную в данной точке: .
    2) Находим правостороннюю производную в данной точке: .
    3) Если односторонние производные конечны и совпадают: , то функция дифференцируема в точке  и геометрически здесь существует общая касательная (см. теоретическую часть урока Определение и смысл производной). Если получены два разных значения: (одно из которых может оказаться и бесконечным), то функция не дифференцируема в точке .
    Если же обе односторонние производные равны бесконечности (пусть даже разных знаков), то функция не дифференцируема в точке , но там существует бесконечная производная и общая вертикальная касательная к графику (см. Пример 5 урока Уравнение нормали).
    ! Примечание: таким образом, между вопросами «Будет ли дифференцируема функция в точке?» и «Существует ли производная в точке?» есть разница!
    Всё очень просто!
    1) При нахождении левосторонней производной приращение аргумента отрицательно: , а слева от точки  расположена парабола , поэтому приращение функции равно:

    И соответствующий левосторонний предел численно равен левосторонней производной в рассматриваемой точке:

    2) Справа от точки  находится график прямой  и приращение аргумента положительно: . Таким образом, приращение функции:

    Правосторонний предел и правосторонняя производная в точке:

    3) Односторонние производные конечны и различны:
    Ответ: функция не дифференцируема в точке .
    Ещё легче доказывается книжный случай недифференцируемости модуля  в точке , о котором я в общих чертах уже рассказал на теоретическом уроке о производной.
    Некоторые кусочно-заданные функции дифференцируемы и в точках «стыка» графика, например, котопёс  обладает общей производной и общей касательной (ось абсцисс) в точке . Кривой, да дифференцируемый на ! Желающие могут убедиться в этом самостоятельно по образцу только что решённого примера.
    На этом забавном гибриде и закончим повествование =)
    Решения и ответы:
    Пример 3: Решение: рассмотрим некоторую точку , принадлежащую области определения функции . Зададим в данной точке приращение  и составим соответствующее приращение функции:

    Найдём производную в точке :

    Так как в качестве  можно выбрать любую точку  области определения функции , то  и
    Ответ:  по определению производной
    Пример 4: Решение: рассмотрим произвольную точку , принадлежащую , и зададим в ней приращение . Тогда соответствующее приращение функции:

    Найдём производную:

    Используем замечательный предел

    Ответ:  по определению
    Пример 6: Решение: рассмотрим некоторую точку , принадлежащую , и зададим в ней приращение аргумента . Тогда соответствующее приращение функции:

    Вычислим производную:

    Таким образом:
    Поскольку в качестве  можно выбрать любое действительное число, то  и
    Ответ:  по определению.
    Пример 8: Решение: рассмотрим произвольную точку , принадлежащую , зададим в ней приращение   и составим приращение функции:

    Найдём производную:

    Используем тригонометрическую формулу  и первый замечательный предел:

    Ответ:  по определению
    Пример 10: Решение: Зададим приращение  в точке . Тогда приращение функции:

    Вычислим производную в точке:

    Умножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение:

    Ответ:  по определению производной в точке
    Автор: Емелин Александр

    Высшая математика для заочников и не только >>>
    (Переход на главную страницу)
    Как можно отблагодарить автора?
    Профессиональная помощь по любому предмету – Zaochnik.com

  5. Saydullokhan Ответить

    21.08.2010 13:46
    false99
    Дата регистрации:
    9 лет назад
    Посты: 1
    Объясните простыми словами что такое производная?
    Объясните простыми словами что такое производная?
    Ответить
    Цитировать
    21.08.2010 22:39
    zklb (Дмитрий)
    Дата регистрации:
    10 лет назад
    Посты: 2 977
    хм.
    если для вас слова “функция”, “аргумент”, “предел” и “отношение” – не простые слова, то вряд ли и объяснишь)
    Ответить
    Цитировать
    23.08.2010 20:31
    brukvalub
    Дата регистрации:
    10 лет назад
    Посты: 13 144
    Производная для домохозяек.
    Цитата
    false99
    Объясните простыми словами что такое производная?
    Объясняю: производная – это такой маленький штришок сверху, поставленный после знака функции (проще уже некуда)!
    Ответить
    Цитировать
    24.08.2010 21:17
    maikle
    Дата регистрации:
    10 лет назад
    Посты: 235
    Объяснил простыми словами.
    Производная – основное понятие дифференциального исчисления.
    Ответить
    Цитировать
    30.08.2010 22:41
    microbic
    Дата регистрации:
    9 лет назад
    Посты: 1
    первообразная
    Ключевое слово первообразная. Первообразная функция, которая встречается в природе, масса например, или расстояние в километрах. Это, что можно измерить на весах или рулеткой, то, с чем мы постоянно встречаемся. А функция, которая задает в некотором смысле первообразную, это её производная. То есть функция, произошедшая от первообразной функции. Это плотность или скорость. Ясно?
    Ответить
    Цитировать
    10.09.2010 07:14
    b.i.
    Дата регистрации:
    9 лет назад
    Посты: 3
    производная
    производная – скорость изменения функции.
    Если функция, например – расстояние, то производная – скорость, а у скорости производная – ускорение.
    Ответить
    Цитировать
    10.09.2010 18:02
    renuar911
    Дата регистрации:
    9 лет назад
    Посты: 37
    Я бы так ответил
    Есть уравнение y=f(x). Возмем любое значение $x_0$ . При этой ординате $y_0=f(x_0)$. Возьмем рядом стоящую точку, имеющую ординату $x_1=x_0+d$, где d – некая малая величина. Для этой новой точки $y_1=f(x_1)$.
    Тогда производная в точке $(x_0 , y_0)$ – это предел
    $ \lim _{d\rightarrow 0} \frac {y_1-y_0}{x_1-x_0}$
    то есть это касательная к y=f(x) в точке $(x_0 , y_0)$.
    Редактировалось 5 раз(а). Последний 12.09.2010 22:00.
    Ответить
    Цитировать
    10.09.2010 18:43
    zklb (Дмитрий)
    Дата регистрации:
    10 лет назад
    Посты: 2 977
    хм
    Цитата
    renuar911
    Есть уравнение y=f(x). Возмем любое значение $x_0$ . В этой точке $y_0=f(x_0)$. Возьмем рядом стоящую точку $x_1=x_0+d$, где d – некая малая величина. Для этой новой точки $y_1=f(x_1)$.
    Тогда производная в точке 0 – это предел
    $ \lim _{d\rightarrow 0} \frac {y_1-y_0}{x_1-x_0}$
    то есть это касательная к y=f(x) в точке 0.
    вам тоже в очередь к тем, кто не понимает что такое касательная.
    Ответить
    Цитировать
    10.09.2010 22:03
    brukvalub
    Дата регистрации:
    10 лет назад
    Посты: 13 144
    Теперь я и сам перестал понимать, что есть производная….
    Господин renuar911 еще и в точках сильно путается, начал с $x_0$ , а закончил просто $0$
    Ответить
    Цитировать
    11.09.2010 00:06
    alleksandr
    Дата регистрации:
    9 лет назад
    Посты: 17
    понимаю так:
    производная- это количественный показатель зависимости одной закономерности от другой.
    Ответить
    Цитировать
    12.09.2010 21:51
    renuar911
    Дата регистрации:
    9 лет назад
    Посты: 37
    Не о нуле речь была.
    Я думал, все поймут мою мысль. Конечно имелась в виду точка с координатами $(x_0, y_0)$. Чтобы не было нареканий, отредактировал свой пост.
    Редактировалось 2 раз(а). Последний 12.09.2010 21:56.
    Ответить
    Цитировать
    12.09.2010 22:05
    brukvalub
    Дата регистрации:
    10 лет назад
    Посты: 13 144
    Разжевал и выплюнул.
    Цитата
    renuar911
    Я думал, все поймут мою мысль. Конечно имелась в виду точка с координатами $(x_0, y_0)$. Чтобы не было нареканий, отредактировал свой пост.
    После 5 редакций остались те же глупости. Зачем поучать других, если сам не понимаешь смысла? (на всякий случай разжую до конца: касательная и производная – разные понятия, в частности, для функции одной переменной производная есть число, а касательная есть прямая).
    Ответить
    Цитировать
    25.09.2013 13:56
    i1t2b3
    Дата регистрации:
    7 лет назад
    Посты: 13
    Метафора для понимания производной
    Вот интересная статья для понимания производной: “Производная — на примере с банковским счётом”
    Если функция — это накопительный счёт в банке, то производная — это зарплата, которая на нём накапливается.
    Ответить
    Цитировать
    25.09.2013 14:57
    brimal
    Дата регистрации:
    10 лет назад
    Посты: 574
    ясно,что дело темное
    а выступивших и близко нельзя подпускать к школе.
    Ответить
    Цитировать
    25.09.2013 15:46
    brukvalub
    Дата регистрации:
    10 лет назад
    Посты: 13 144
    В ревущие 90-е я
    несколько лет параллельно работе в МГУ отработал и в одной из московских школ. И ученики, которых я учил, и их родители были мной весьма довольны, где еще задарма найдешь бесплатного репетитора из МГУ, который к тому же написал пару учебников-пособий для абитуры?
    А слова “скажи мне про это самыми простыми словами” переводятся так: “мне лень читать и понимать школьный учебник (в котором опытные педагоги и так все написали самым простым из возможных способов), поэтому ты уж извернись как хочешь, но разжуй мне так, чтобы я не напрягался”.
    Самый разумный ответ на такие предложения: не хочешь работать головой – готовься работать руками. Как говорится, “Сиди тихо в своем Киеве и не мечтай ни о какой квартире в Москве”.
    Ответить
    Цитировать
    25.09.2013 16:59
    provincialka
    Дата регистрации:
    7 лет назад
    Посты: 1 972
    i1t2b3
    Вас ведь уже попросили не заниматься саморекламой? А точнее, не позориться перед специалистами. Желание говорить “интересно” не должно сводиться к шутливому тону при полном отсутствии содержания. Производная – понятие асимптотическое, связанное с пределом и отнюдь не сводится к разностной схеме.
    дважды два – не всегда 5
    Ответить
    Цитировать
    25.09.2013 17:26
    i1t2b3
    Дата регистрации:
    7 лет назад
    Посты: 13
    интересно
    Узость фокуса не означает, что материал неверен. Когда-нибудь слышали про численные методы?
    Ответить
    Цитировать
    25.09.2013 17:33
    brukvalub
    Дата регистрации:
    10 лет назад
    Посты: 13 144
    Мы даже про расшифровку шумерских записей немного читали.
    Только при чем здесь производная?
    Ответить
    Цитировать
    25.09.2013 17:45
    i1t2b3
    Дата регистрации:
    7 лет назад
    Посты: 13
    давайте остановимся
    Это ваши слова:
    Цитата

    Производная – понятие асимптотическое, связанное с пределом и отнюдь не сводится к разностной схеме.
    Это Википедия:
    Цитата

    Метод конечных разностей — численный метод решения дифференциальных уравнений, основанный на замене производных разностными схемами.
    Прошу простить, если приведённая мной статья не отвечает вашим критериям полноты изложения материала, но такой задачи и не ставилось. Задача — дать удобную метафору, напободие вашего же “полоскания белья” из другой ветки.
    Ответить
    Цитировать
    25.09.2013 17:57
    brukvalub
    Дата регистрации:
    10 лет назад
    Посты: 13 144
    Брехня.
    Цитата
    i1t2b3
    Это ваши слова:
    Цитата

    Производная – понятие асимптотическое, связанное с пределом и отнюдь не сводится к разностной схеме.
    …
    Это не мои слова.
    Цитата
    i1t2b3
    Это Википедия:
    Цитата

    Метод конечных разностей — численный метод решения дифференциальных уравнений, основанный на замене производных разностными схемами.
    Прошу простить, если приведённая мной статья не отвечает вашим критериям полноты изложения материала, но такой задачи и не ставилось. Задача — дать удобную метафору, напободие вашего же “полоскания белья” из другой ветки.
    ТС спрашивал ПРО ПРОИЗВОДНУЮ, а не про “замену производных разностными схемами”.
    Если спрашивают “про Фому”, то не стоит отвечать “про Ерему”.
    Ответить
    Цитировать

  6. jimm.by Ответить

    На страницах График равномерного движения и График равноускоренного движения при определении мгновенной скорости рассматривались отношения следующего вида:
    (s0-s1)/(t0-t1)

    Отличительной особенностью этого отношения являлся тот факт, что мы пытались определить перемещение тела за как можно малый промежуток времени, т.е. при очень близких значениях t0 и t1.
    Проблема заключается в том, что математика является точной наукой, и не приемлет выражения типа “как можно малый промежуток”, ибо оно является неопределённым и может трактоваться как угодно. Для подобных случаев математики придумали понятия предела – нечто такое, к чему мы стремимся, но никогда не достигнем (например, многие рядовые обыватели стремятся стать миллионерами, и чем больше денег зарабатывают, тем ближе становятся к цели, которую так никогда и не достигнут).
    Для нахождения мгновенной скорости необходимо найти предел, к которому стремится отношение:
    (s0-s1)/(t0-t1)
    при t1 стремящемся к t0.
    В математике для удобства записей принято разность обозначать значком “дельта”:
    s0-s1 = Δs
    t0-t1 = Δt
    С учётом новых обозначений формулу для нахождения средней скорости можно записать в следующем виде:
    vср = Δs/Δt
    Обратите внимание, что значок Δ не является множителем, и проводить стандартные арифметические действия с ним нельзя.
    Запись Δs (дельта эс) можно читать, как “приращение расстояния”; запись Δt (дельта тэ) – “приращение времени”.
    Собственно в значке Δ и заключена та самая неопределенность величины разности между двумя значениями s или t.
    Ещё один очень важный момент, который следует изначально правильно понимать – в формуле Δs/Δt числитель и знаменатель зависимы – изначально можно выбрать любой промежуток времени Δt, но, после того, как он выбран, Δs рассматривается именно на этом промежутке! Это было понятно, когда мы записывали аргументы функции s(t), но, вид записи изменился, и данный факт стал не столь очевиден.
    Итак, повторим еще раз, что формула средней скорости приняла следующий вид:
    vср = Δs/Δt
    С учётом полученных нами знаний, формула для мгновенной скорости может быть записана так:

    Читается это так: мгновенная скорость v(t) в некий момент времени t определяется, как предел отношения Δs/Δt при Δt стремящемся к нулю.
    Обозначение lim (limes – предел) обозначает понятие предела, о котором было рассказано выше.
    Внизу обязательно пишется о каком пределе идёт речь (в нашем случае, разинца времён стремится к нулю, т. е. две засечки времени располагаются как можно ближе друг к другу), стрелка заменяет слово “стремится”; в скобках указывается та величина, к которой ищется предел.
    Все те “мытарства” по подобору как можно меньшего Δt для определения мгновенной скорости “на глазок”, которые нами проводились на страницах График равномерного движения и График равноускоренного движения и есть понятием предела.
    Приведем здесь одну из таблиц для графика движения s = t2, разобранных ранее:
    t – s
    ——
    1 – 1
    1,01 – 1,0201
    1,1 – 1,21
    1,5 – 2,25
    Для t=1 мы проделали вычисления, результаты которых сведём в следующую таблицу:
    Δt – Δs/Δt
    ———-
    0,5 – 2,5
    0,1 – 2,1
    0,01 – 2,01
    С учётом знаний, полученных на этой странице, для t = 1 можно записать:

    Дотошный читатель в этом месте может задать вполне логичный вопрос – а зачем столько “мучений” с многочисленными вычислениями, связанными с постепенным уменьшением Δt? Нельзя ли сразу в “дамки” – взять Δt=0?
    Нет, нельзя, поскольку в таком случае мы бы не получили никакого перемещения, и при этом Δs/Δt = 0/0, а на ноль, как известно, делить нельзя.
    Предел – это ведь такая “штука”, к которой мы стремимся, но никогда не достигнем, ну, как “заветная и несбыточная мечта”. Поэтому, Δ может быть сколь угодно малой величиной, но отличной от нуля – ведь, если не будет разницы во времени, то не будет никакого перемещения, поэтому, не будет и скорости, т.к. стоящее на месте тело не обладает никакой скоростью.
    Из всего вышесказанного сделаем следующий важный вывод: при стремлении Δt к нулю, отношение Δs/Δt стремится к некоторому пределу (мгновенной скорости).
    Предел отношения Δs/Δt получил название производной функции s(t).
    Производная функции s(t) зависит от:
    вида функции s(t);
    значения переменной t.
    В переводе на “простой язык”, можно сказать, что производная показывает величину мгновенной скорости в некоторый момент времени t.
    При помощи производной мы можем узнать скорость тела в любой момент времени, если нам известен закон (формула) движения этого тела.

  10. VideoAnswer Ответить

Добавить ответ

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *