Как определить среднее значение при нескольких измерений?

12 ответов на вопрос “Как определить среднее значение при нескольких измерений?”

  1. TToLL Ответить

    при f = m степеней свободы.
    Пример 3. Найти среднюю погрешность в фотометричес­ком определении хрома в стали по двукратному анализу десяти проб с разным содержанием.
    Решение. Расчет производят по таблице (с учетом формулы (6)):
    Проба
    х’
    х”
    х’-х”
    (х’-х”)2
    1
    3,77
    3,75
    0,02
    0,0004
    2
    2,52
    2,55
    0,03
    0,0009
    3
    2,46
    2,48
    0,02
    0,0004
    4
    3,25
    3,20
    0,05
    0,0025
    5
    1,82
    1,85
    0,03
    0,0009
    6
    2,05
    2,10
    0,05
    0,0025
    7
    0,88
    0,90
    0,02
    0,0004
    8
    1,04
    1,02
    0,02
    0,0004
    9
    1,10
    1,13
    0,03
    0,0009
    10
    1,52
    1,48
    0,04
    0,0004

    Средняя погрешность по формуле (6) равна

    0,023 % Cr
    (при f=10 степеням свободы).
    см. также
    Математическая обработка результатов химического анализа
    О математической обработке результатов химического анализа
    Оценка погрешностей измерений. Расчет выборочного стандартного отклонения
    Запись результатов измерений
    Сравнение средних результатов химического анализа.
    t-критерий Стьюдента
    Проблема подозрительно выделяющихся значений
    Погрешности косвенных измерений. Погрешность функций одного или нескольких переменных

  2. CoIdSpace Ответить

    Автоматические тонометры на плечо
    Тонометры на запястье
    Полуавтоматические тонометры на плечо
    Профессиональные тонометры
    Дополнительные принадлежности для тонометров
    Компрессорные небулайзеры OMRON
    Меш небулайзеры OMRON
    Ультразвуковые небулайзеры OMRON
    Пикфлоуметры OMRON
    Дополнительные принадлежности к небулайзерам OMRON
    Электронные термометры
    Инфракрасные термометры
    Шагомеры
    Мониторы активности
    Электронные массажеры – миостимуляторы
    Дополнительные принадлежности для миостимуляторов
    Архив тонометров
    Архив небулайзеров
    Архив термометров
    Архив глюкометров
    Архив шагомеров и мониторов активности
    Архив весов и мониторов состава тела
    Электрические зубные щетки CS Medica
    Насадки для электрических зубных щеток
    Механические тонометры CS Medica
    Дополнительные принадлежности для механических тонометров
    Термометры CS Medica KIDS
    Увлажнители воздуха CS Medica KIDS
    Электронные назальные аспираторы CS Medica KIDS
    Подогреватели детского питания CS Medica KIDS
    Стерилизаторы детских бутылочек CS Medica KIDS
    Прорезыватели CS Medica KIDS
    Архив вибромассажеров
    Архив ирригаторов
    Архив механических тонометров
    Архив стетофонендоскопов

  3. Kaypiy Ответить

    Ниже на рисунке представлены результаты зимних олимпийских игр за 1972-ой год, который следует проанализировать. Допустим в данном примере нам необходимо рассчитать средний показатель с учетом нескольких условий. Критерии выборки данных обусловлены значениями показателей, записанных в отдельных ячейках: страна, дисциплина, медаль. Они находятся в дополнительной таблице для составления запроса к данным. Необходимо вычислить средний показатель результатов только с учетом этих критериев запроса выборки из общего списка показателей исходной таблицы. Формула выглядит так:

    В итоге мы выбрали показатели из общего списка по трем условиям отбора и получили только их средний результат.
    Функция СРЗНАЧЕСЛИМН обладает очень похожей структурой как в функции СУММЕСЛИМН. Первый аргумент диапазон усредняемых значений, а за ним следуют пары аргументов: Диапазон_ условия1;Условие1, Диапазон_ условия2;Условие2… и т.д. Таких пар может быть до 127 шт. В данном примере используются 3 пары критериев с условиями:
    C2:C19;H1 – Условие выбирает только те строки, которые содержать название страны «Швейцария».
    A2:A19;”*”&H2 – Второе условие выбирает из столбца «Дисциплина» только те ячейки в значениях которых встречается слово «женщины».
    E2:E19;H3 – Условие выбирает только строки содержащие золотые медали.
    

  4. dalikat Ответить

    Сайт разработчиков


    ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ ИЗМЕРЕНИЙ

    § 3. Обработка результатов прямого измерения

    Для уменьшения влияния случайных ошибок необходимо произвести измерение данной величины несколько раз.
    Предположим, что мы измеряем некоторую величину x. В результате проведенных измерений мы получили значений
    величины :
    x1, x2, x3, … xn. (2)
    Этот ряд значений величины x получил название выборки. Имея такую выборку, мы можем дать оценку результата
    измерений. Величину, которая будет являться такой оценкой, мы обозначим .
    Но так как это значение оценки результатов измерений не будет представлять собой истинного значения измеряемой
    величины, необходимо оценить его ошибку. Предположим, что мы сумеем определить оценку ошибки Δx . В таком случае мы можем записать результат измерений в виде
    µ = ± Δx (3)
    Так как оценочные значения результата измерений и ошибки Δx не являются точными, запись (3) результата измерений должна сопровождаться указанием его надежности P. Под надежностью или доверительной вероятностью понимают вероятность того, что истинное значение измеряемой величины заключено в интервале, указанном записью (3). Сам этот интервал называется доверительным интервалом.
    Например, измеряя длину некоторого отрезка, окончательный результат мы записали в виде
    l = (8.34 ± 0.02) мм, (P = 0.95)
    Это означает, что из 100 шансов – 95 за то, что истинное значение длины отрезка заключается в интервале от 8.32 до
    8.36 мм .
    Таким образом, задача заключается в том, чтобы, имея выборку (2), найти оценку результата измерений , его ошибку Δx и надежность P.
    Эта задача может быть решена с помощью теории вероятностей и математической статистики.
    В большинстве случаев случайные ошибки подчиняются нормальному закону распределения, установленного Гауссом. Нормальный закон распределения ошибок выражается формулой
    (4)
    где Δx – отклонение от величины истинного значения;
    σ – истинная среднеквадратичная ошибка;
    σ 2– дисперсия, величина которой характеризует разброс случайных величин.

    Рис.16
    Как видно из (4) функция имеет максимальное значение при x = 0 , кроме того, она является четной.
    На рис.16 показан график этой функции. Смысл функции (4) заключается в том, что площадь фигуры,
    заключенной между кривой, осью Δx и двумя ординатами из точек Δx1 и Δx2 (заштрихованная площадь на рис.16) численно равна вероятности, с которой любой отсчет попадет в интервал (Δx1,Δx2) .
    Поскольку кривая распределена симметрично относительно оси ординат, можно утверждать, что равные по величине,
    но противоположные по знаку ошибки равновероятны.
    А это дает возможность в качестве оценки результатов измерений взять среднее значение всех элементов выборки
    (2)
    , (5)
    где – n число измерений.
    Итак, если в одних и тех же условиях проделано n измерений, то наиболее вероятным значением измеряемой величины
    будет ее среднее значение (арифметическое). Величина
    стремится к истинному значению μ измеряемой величины при n → ∞.
    Средней квадратичной ошибкой отдельного результата измерения называется величина
    . (6)
    Она
    характеризует ошибку каждого отдельного измерения. При n → ∞ S стремится к постоянному пределу σ
    σ = lim S. (7)
    n → ∞
    С увеличением σ увеличивается разброс отсчетов, т.е. становится ниже точность измерений.
    Среднеквадратичной ошибкой среднего арифметического называется величина
    . (8)
    Это фундаментальный закон возрастания точности при росте числа измерений.
    Ошибка характеризует точность, с которой получено среднее значение измеренной величины . Результат записывается в виде:
    , (9)
    Эта методика расчета ошибок дает хорошие результаты (с надежностью 0.68) только в том случае, когда одна и та же величина измерялась не менее 30 – 50 раз.
    В 1908 году Стьюдент показал, что статистических подход справедлив и при малом числе измерений. Распределение Стьюдента при числе измерений n → ∞ переходит в распределение Гаусса, а при малом числе отличается от него.
    Для расчета абсолютной ошибки при малом количестве измерений вводится специальный коэффициент, зависящий от надежности P и числа измерений n, называемый коэффициентом
    Стьюдента t.
    Опуская теоретические обоснования его введения, заметим, что
    Δx = · t. (10)
    где Δx – абсолютная ошибка для данной доверительной вероятности;
    – среднеквадратичная ошибка среднего арифметического.
    Коэффициенты Стьюдента приведены в таблице 2.Из сказанного следует:
    Величина среднеквадратичной ошибки позволяет вычислить вероятность попадания истинного значения измеряемой величины в любой интервал вблизи среднего арифметического.
    При n → ∞ → 0, т.е. интервал, в котором с заданной вероятностью находится истинное значение μ, стремится к нулю с увеличением числа измерений. Казалось
    бы, увеличивая n, можно получить результат с любой степенью точности. Однако точность существенно увеличивается лишь до тех пор, пока случайная ошибка не станет сравнимой с систематической. Дальнейшее увеличение числа измерений
    нецелесообразно, т.к. конечная точность результата будет зависеть только от систематической ошибки. Зная величину систематической ошибки, нетрудно задаться допустимой величиной случайной ошибки, взяв ее, например, равной 10%
    от систематической. Задавая для выбранного таким образом доверительного интервала определенное
    значение P (например, P = 0.95), нетрудно нейти необходимое число измерений, гарантирующее
    малое влияние случайной ошибки на точность результата.
    Для этого удобнее
    воспользоваться таблицей 3, в которой интервалы заданы в долях величины σ, являющейся мерой точности данного опыта по отношению к случайным ошибкам.
    Таблица 2

  5. rudemon Ответить

    Первой величиной, которую приходится вычислять при обработке результатов опытов, является среднее арифметическое из результатов ряда измерений, которое определяется по формуле (6).
    Практически число измерений всегда ограничено, поэтому среднее арифметическое не равно истинному значению измеряемой величины ,но будет тем ближе к нему, чем больше число выполненных измерений .В теории вероятностей доказывается, что среднее арифметическое из результатов отдель­ных измерений является наиболее вероятным значением измеряемой величины. Это утверждение справедливо при условии, когда все измерения равноточные, а распределение погрешности измерений подчиняется вышеупомянутому закону распределения— закону Гаусса.
    Если вместо истинного значения неизвестной величины использовать среднее арифметическое , тогда на основании равенства (1) имеем:
    (11)
    В (11) погрешность несколько отличается от истинной и называется абсолютной погрешностью единичного измерения
    (12)
    Лучшим из критериев для оценки погрешностей результатов измерений является средняя квадратичная погрешность, которая характеризует степень (меру) рассеяния результатов отдельных измеренийоколо среднего их значения. Для определения среднеквадратической погрешности единичных изме­рений при ограниченном числе опытов используется формула (7), которая с учетом (12) записывается в виде:
    . (13)
    Средняя квадратическая погрешность, вычисляемая по формуле (13), характеризует погрешность единичного результата из всего ряда n измерений.
    Как уже отмечалось, при увеличении числа n измерений наблюдается взаимная компенсация случайных ошибок. Поэтому усредненная средняя квадратичная погрешность , определяемая по формуле (9) и характеризующая окончательный результат измерений, уменьшается при увеличении числа n повторных измерений искомой величины. Поскольку вычисления величины достаточно громоздки, то в ряде случаев (если не оговорено в условиях решаемой задачи) для оценки ошибки, допущенной при определении средней величины, пользуются средней арифметической погрешностью, которая вычисляется как средняя величина всех величин абсолютных погрешностей единичных измерений (12), взятых по модулю:
    . (14)
    Так как суммирование в (14) выполняется без учета знака , то формула (14) даёт среднее значение максимальной возможной погрешности.
    Вопрос о том, какой формулой пользоваться при оценке измерений, решается при планировании эксперимента. Считается, что при числе измерений меньше пяти можно ограничиться вычислением средней абсолютной погрешности по формуле (14).
    Средняя абсолютная погрешность даёт возможность указать пределы (интервал), внутри которых заключено истинное значение измеряемой величины.

  6. bogak Ответить

    Макеты страниц

    § 4. Средние значения случайных величин

    Оказывается, что целый ряд практических задач можно решить с помощью немногих характеристик распределения, а знание точной функции распределения случайной величины оказывается необязательным. К таким определяющим характеристикам случайной величины относятся, например, ее среднее и среднее квадратичное значения, а также среднее квадратичное отклонение.
    Находить средние значения случайных величин можно из опыта, а также зная функции распределения случайных величин. Рассмотрим, как находить эти средние значения в различных случаях.
    Пусть случайная величина может принимать: значения с вероятностью или это значение выпадает раз из
    значение с вероятностью или это значение выпадает раз из наконец,
    значение с вероятностью или это значение выпадает раз из
    Тогда сумма значений случайной величины при испытаниях будет:

    Чтобы найти среднее значение случайной величины т. е. значение, приходящееся на одно испытание, нужно сумму разделить на полное число испытаний:

    Если мы имеем некоторую среднюю величину найденную по формуле (2.11), то, вообще говоря, при различных значениях полного числа испытаний значения средней величины также будут различными, так как рассматриваемые величины носят случайный характер. Однако при увеличении числа среднее значение данной величины будет стремиться к определенному пределу а. И чем больше будет число испытаний, тем ближе определенное по формуле (2.11), будет приближаться к этому предельному значению:

    Последнее равенство представляет собой так называемый закон больших чисел или теорему Чебышева: среднее значение случайной величины будет стремиться к постоянному числу при очень большом числе измерений.
    Итак, среднее значение случайной величины равна сумме произведений случайной величины на вероятность ее появления.
    Если случайная величина меняется непрерывно, то ее среднее значение можно найти с помощью интегрирования:

    Средние величины обладают рядом важных свойств:
    1) среднее значение постоянной величины равно самой постоянной величине т. е.
    2) среднее значение некоторой случайной величины есть величина постоянная, т. е.
    3) среднее значение суммы нескольких случайных величин равно сумме средних значений этих величин, т. е.

    4) среднее значение произведения двух взаимно независимых случайных величин равно произведению средних значений каждой из них, т. е.
    Распространяя это правило на большее число независимых величин, имеем:

    Иногда по тем или иным причинам знание среднего значения случайной величины оказывается недостаточным. В таких случаях ищется не просто среднее значение случайной величины, а среднее значение квадрата этой величины (квадратичное). При этом имеют место аналогичные формулы:

    для дискретных значений и

    в случае непрерывного изменения случайной величины.
    Среднее квадратичное значение случайной величины оказывается всегда положительным и не обращается в нуль.
    Часто приходится интересоваться не только средними значениями самой случайной величины, но и с редними значениями некоторых функций от случайной величины.
    Например, имея распределение молекул по скоростям, мы можем найти среднюю скорость. Но также нас может интересовать средняя кинетическая энергия теплового движения, являющаяся квадратичной функцией скорости. В таких случаях можно воспользоваться следующими общими формулами, определяющими среднее значение произвольной функции случайной величины для случая дискретного распределения

    для случая непрерывного распределения

    Для нахождения средних значений случайной величины или функции от случайной величины с помощью ненормированной функции распределения пользуются формулами:

    Здесь везде интегрирование производится по всей области возможных значений случайной величины
    Отклонение от средних. В ряде случаев знание среднего и среднего квадратичного значения случайной величины оказывается недостаточным для характеристики случайной величины. Интерес представляет также распределение случайной величины около своего среднего значения. Для этого исследуется отклонение случайной величины от среднего значения.
    Однако, если мы возьмем среднее отклонение случайной величины от ее среднего значения т. е. среднее значение чисел:

    то получим, как в случае дискретного, так и в случае непрерывного распределения, нуль. Действительно,

    и

    Иногда можно находить среднее значение модулей отклонений случайной величины от среднего значения, т. е. величину:

    Однако вычисления с абсолютными значениями часто сложны, а иногда и невозможны.
    Поэтому гораздо чаще для характеристики распределения случайной величины около своего среднего значения используют так называемое среднее квадратичное отклонение или средний квадрат отклонения. Средний квадрат отклонения иначе называют дисперсией случайной величины. Дисперсия определяется по формулам:

    которые преобразуются к одному виду (см. задачи 5, 9).

    где величина представляет квадрат отклонения случайной величины от ее среднего значения.
    Квадратный корень из дисперсии случайной величины называется средним квадратичным отклонением случайной величины, а для физических величин — флуктуацией:

    Иногда вводится относительная флуктуация, определяемая по формуле

    Таким образом, зная закон распределения случайной величины, можно определить все интересующие нас характеристики случайной величины: среднее значение, среднее квадратичное, среднее значение произвольной функции от случайной величины, средний квадрат отклонения или дисперсию и флуктуацию случайной величины.
    Поэтому одной из основных задач статистической физики является отыскание законов и функций распределения тех или иных физических случайных величин и параметров в различных физических системах.

  10. VideoAnswer Ответить

Добавить ответ

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *