Как составить уравнение прямой проходящей через 2 точки?

13 ответов на вопрос “Как составить уравнение прямой проходящей через 2 точки?”

  1. Рожкова Анна Ответить

    Рассмотрим, как составить уравнение прямой, проходящей через две точки, на примерах.
    Пример 1.
    Составить уравнение прямой, проходящей через точки A(-3; 9) и B(2;-1).
    Решение:
    1 способ — составим уравнение прямой с угловым коэффициентом.
    Уравнение прямой с угловым коэффициентом имеет вид y=kx+b. Подставив координаты точек A и B в уравнение прямой (x= -3 и y=9 — в первом случае, x=2 и y= -1 — во втором), получаем систему уравнений, из которой находим значения k и b:

    Сложив почленно 1-е и 2-е уравнения, получим: -10=5k, откуда k= -2. Подставив во второе уравнение k= -2, найдём b: -1=2·(-2)+b, b=3.
    Таким образом, y= -2x+3 — искомое уравнение.
    2 способ — составим общее уравнение прямой.
    Общее уравнение прямой имеет вид ax+by+c=0. Подставив координаты точек A и B в уравнение, получаем систему:

    Поскольку количество неизвестных больше количества уравнений, система не разрешима. Но можно все переменные выразить через одну. Например, через b.
    Умножив первое уравнение системы на -1 и сложив почленно со вторым:

    получим: 5a-10b=0. Отсюда a=2b.
    Подставим полученное выражение во второе уравнение: 2·2b -b+c=0; 3b+c=0; c= -3b.
    Подставляем a=2b, c= -3b в уравнение ax+by+c=0:
    2bx+by-3b=0. Осталось разделить обе части на b:
    2x+y-3=0.
    Общее уравнение прямой легко приводится к уравнению прямой с угловым коэффициентом:
    y= -2x+3.
    3 способ — составим уравнение прямой, проходящей через 2 точки.
    Уравнение прямой, проходящей через две точки, имеет вид:

  2. impoter Ответить

    Определение. Любая прямая на плоскости может быть задана уравнением первого порядка
    Ах + Ву + С = 0,
    причем постоянные А, В не равны нулю одновременно. Это уравнение первого порядка называют общим уравнением прямой. В зависимости от значений постоянных А,В и С возможны следующие частные случаи:
    • C = 0, А ≠0, В ≠ 0 – прямая проходит через начало координат
    • А = 0, В ≠0, С ≠0 { By + C = 0}- прямая параллельна оси Ох
    • В = 0, А ≠0, С ≠ 0 { Ax + C = 0} – прямая параллельна оси Оу
    • В = С = 0, А ≠0 – прямая совпадает с осью Оу
    • А = С = 0, В ≠0 – прямая совпадает с осью Ох
    Уравнение прямой может быть представлено в различном виде в зависимости от каких – либо заданных начальных условий.

    Уравнение прямой по точке и вектору нормали

    Определение. В декартовой прямоугольной системе координат вектор с компонентами (А, В) перпендикулярен прямой , заданной уравнением Ах + Ву + С = 0.
    Пример. Найти уравнение прямой, проходящей через точку А(1, 2) перпендикулярно вектору (3, -1).
    Решение. Составим при А = 3 и В = -1 уравнение прямой: 3х – у + С = 0. Для нахождения коэффициента С подставим в полученное выражение координаты заданной точки А. Получаем: 3 – 2 + C = 0, следовательно, С = -1. Итого: искомое уравнение: 3х – у – 1 = 0.

    Уравнение прямой, проходящей через две точки

    Пусть в пространстве заданы две точки M 1 ( x 1 , y 1 , z 1 ) и M2 ( x 2, y 2 , z 2 ), тогда уравнение прямой, проходящей через эти точки:

    Если какой-либо из знаменателей равен нулю, следует приравнять нулю соответствующий числитель.На плоскости записанное выше уравнение прямой упрощается:

    если х 1 ? х2 и х = х 1 , если х 1 = х2 .
    Дробь = k называется угловым коэффициентом прямой.
    Пример. Найти уравнение прямой, проходящей через точки А(1, 2) и В(3, 4).
    Решение. Применяя записанную выше формулу, получаем:

    Уравнение прямой по точке и угловому коэффициенту

    Если общее уравнение прямой Ах + Ву + С = 0 привести к виду:

    и обозначить , то полученное уравнение называется уравнением прямой с угловым коэффициентом k .

    Уравнение прямой по точке и направляющему вектору

    По аналогии с пунктом, рассматривающим уравнение прямой через вектор нормали можно ввести задание прямой через точку и направляющий вектор прямой.
    Определение. Каждый ненулевой вектор ( α1 , α2 ), компоненты которого удовлетворяют условию А α1 + В α2 = 0 называется направляющим вектором прямой
    Ах + Ву + С = 0.
    Пример. Найти уравнение прямой с направляющим вектором (1, -1) и проходящей через точку А(1, 2).
    Решение. Уравнение искомой прямой будем искать в виде: Ax + By + C = 0. В соответствии с определением, коэффициенты должны удовлетворять условиям:
    1 * A + (-1) * B = 0, т.е. А = В.
    Тогда уравнение прямой имеет вид: Ax + Ay + C = 0, или x + y + C / A = 0. при х = 1, у = 2 получаем С/ A = -3, т.е. искомое уравнение:
    х + у – 3 = 0

    Уравнение прямой в отрезках

    Если в общем уравнении прямой Ах + Ву + С = 0 С?0, то, разделив на –С, получим: или
    , где

    Геометрический смысл коэффициентов в том, что коэффициент а является координатой точки пересечения прямой с осью Ох, а b – координатой точки пересечения прямой с осью Оу.
    Пример. Задано общее уравнение прямой х – у + 1 = 0. Найти уравнение этой прямой в отрезках.
    С = 1, , а = -1, b = 1.

    Нормальное уравнение прямой

    Если обе части уравнения Ах + Ву + С = 0 умножить на число , которое называется нормирующем множителем , то получим
    xcosφ + ysinφ – p = 0 –
    нормальное уравнение прямой. Знак ± нормирующего множителя надо выбирать так, чтобы μ * С < 0. р – длина перпендикуляра, опущенного из начала координат на прямую, а φ - угол, образованный этим перпендикуляром с положительным направлением оси Ох. Пример. Дано общее уравнение прямой 12х – 5у – 65 = 0. Требуется написать различные типы уравнений этой прямой.
    уравнение этой прямой в отрезках:
    уравнение этой прямой с угловым коэффициентом: (делим на 5)

    нормальное уравнение прямой:
    ; cos φ = 12/13; sin φ= -5/13; p = 5.
    Cледует отметить, что не каждую прямую можно представить уравнением в отрезках, например, прямые, параллельные осям или проходящие через начало координат.
    Пример. Прямая отсекает на координатных осях равные положительные отрезки. Составить уравнение прямой, если площадь треугольника, образованного этими отрезками равна 8 см 2 .
    Решение. Уравнение прямой имеет вид: , ab /2 = 8; ab=16; a=4, a=-4. a = -4 < 0 не подходит по условию задачи. Итого: или х + у – 4 = 0.
    Пример. Составить уравнение прямой, проходящей через точку А(-2, -3) и начало координат.
    Решение. Уравнение прямой имеет вид: , где х 1 = у 1 = 0; x2 = -2; y2 = -3.

    Угол между прямыми на плоскости

    Определение. Если заданы две прямые y = k1 x + b1 , y = k 2x + b2 , то острый угол между этими прямыми будет определяться как
    .
    Две прямые параллельны, если k1 = k2 . Две прямые перпендикулярны, если k1 = -1/ k2 .
    Теорема. Прямые Ах + Ву + С = 0 и А 1 х + В1 у + С1 = 0 параллельны, когда пропорциональны коэффициенты А1 = λА, В1 = λВ. Если еще и С1 = λС, то прямые совпадают. Координаты точки пересечения двух прямых находятся как решение системы уравнений этих прямых.

    Уравнение прямой, проходящей через данную точку
    перпендикулярно данной прямой

    Определение. Прямая, проходящая через точку М1 (х1 , у1 ) и перпендикулярная к прямой у = kx + b представляется уравнением:

    Расстояние от точки до прямой

    Теорема. Если задана точка М(х0 , у0 ), то расстояние до прямой Ах + Ву + С =0 определяется как
    .
    Доказательство. Пусть точка М 1(х 1, у 1) – основание перпендикуляра, опущенного из точки М на заданную прямую. Тогда расстояние между точками М и М1 :
    (1)
    Координаты x1 и у1 могут быть найдены как решение системы уравнений:

    Второе уравнение системы – это уравнение прямой, проходящей через заданную точку М 0 перпендикулярно заданной прямой. Если преобразовать первое уравнение системы к виду:
    A(x – x 0 ) + B(y – y0 ) + Ax0 + By0 + C = 0,
    то, решая, получим:

    Подставляя эти выражения в уравнение (1), находим:

    Теорема доказана.
    Пример. Определить угол между прямыми: y = -3 x + 7; y = 2 x + 1.
    k 1 = -3; k 2 = 2; tgφ = ; φ= π /4.
    Пример. Показать, что прямые 3х – 5у + 7 = 0 и 10х + 6у – 3 = 0 перпендикулярны.
    Решение. Находим: k 1 = 3/5, k2 = -5/3, k 1* k 2 = -1, следовательно, прямые перпендикулярны.
    Пример. Даны вершины треугольника А(0; 1), B (6; 5), C (12; -1). Найти уравнение высоты, проведенной из вершины С.
    Решение. Находим уравнение стороны АВ: ; 4 x = 6 y – 6;
    2 x – 3 y + 3 = 0;
    Искомое уравнение высоты имеет вид: Ax + By + C = 0 или y = kx + b . k = . Тогда y = . Т.к. высота проходит через точку С, то ее координаты удовлетворяют данному уравнению: откуда b = 17. Итого: .
    Ответ: 3 x + 2 y – 34 = 0.

    Copyright © 2004-2019

  3. b@ndit Ответить

    Полученное значение углового коэффициента подставим в уравнение y=kx+b:

    Так как b=y1-kx1, то


    Разделим обе части равенства на y2-y1:

    Получили уравнение прямой, проходящей через две точки с данными координатами.

  4. ДеВуШкА ДьЯвОлА Ответить

    Рассмотрим условие у с л о в и е 2, воспользуемся общим алгоритмом составления уравнения линии.
    1 Дано:

    (М1, М2)?l
    Составить уравнение прямой l
    2 Выполним схематичный чертёж (рис. 15).

    Рис.15
    2 Возьмем на прямой l произвольную точку M(x,y,z).
    4 Составим математическую модель задачи.
    Точки M1, M2, M3 принадлежат прямой, тогда векторы и также принадлежат прямой l: значит M1M ? M1M2. Запишем условие параллельности в векторной форме
    t: M1M=t M1M2 (#)
    5 Запишем уравнение (#) в координатной форме:
    ,
    т.к. вектора параллельные, то их координаты пропорциональные, тогда
    (12)
    Уравнение (12) называется уравнением прямой, проходящее через две точки.
    Задача 12 Составить уравнение прямой, проходящей через две заданные точки и

    Решение
    Так как даны две точки, воспользуемся уравнением (12)

    Подставим координаты точек А и В в составленное уравнение, получим
    ;
    .
    Замечание. Обратите внимание, что прямая в пространстве чаще всего записывается каноническими уравнениями.

  5. Faedal Ответить

    Пусть даны две точки . Требуется составить уравнение прямой, проходящей через эти точки.
    Напишем уравнение (15) пучка прямых, проходящих через точку :

    Из этого пучка нам следует выбрать прямую, проходящую через точку Угловой коэффициент k этой прямой должен быть таким, чтобы координаты точки удовлетворяли уравнению (15), т. е. чтобы имело место равенство

    Из этого условия мы находим угловой коэффициент искомой прямой

    и подставляем его в уравнение (15):

    Это уравнение обычно записывают в следующей симметричной форме:

    Мы получили уравнение прямой, проходящей через две данные точки.
    Предполагается, что в уравнении , так как иначе это уравнение не имело бы смысла. Геометрически это означает, что прямая, проходящая через точки не параллельна ни одной из координатных осей.
    Если то прямая, проходящая через точки параллельна оси ординат. Ее уравнение имеет вид Если же то прямая параллельна оси абсцисс, и ее уравнение может быть записано в виде
    Пример 1. Найти уравнение прямой, проходящей через точки
    Решение. Полагая в уравнении , получим

    или, после упрощений,

  6. ТвОй•ХоДяЧиЙ•пОцЕлУй Ответить

    Пусть прямая в пространстве проходит через две точки и M0(x0; y0; z0) M1(x1; y1; z1). Тогда для произвольной точки M(x; y; z) этой прямой векторы ={x–x0; y–y0; z–z0} и ={x1–x0; y1–y0; z1–z0} лежат на одной прямой, а значит, параллельны и имеют пропорциональные координаты, т.е.
    . (4)
    Уравнения (4) являются уравнениями прямой в пространстве, проходящей через две заданные точки.
    Уравнения прямой в пространстве с направляющим вектором (канонические уравнения прямой в пространстве)
    Вектор ={x1–x0; y1–y0; z1–z0} лежит на прямой, поэтому он является ее направляющим вектором. Обозначим x1–x0=m; y1–y0=n; z1–z0=p, тогда (4) перепишется как
    . (5)
    Уравнения (5) называются уравнениями прямой в пространстве, проходящей через точку M0(x0; y0; z0) с направляющим вектором ={m; n; p} или каноническими уравнениями прямой.
    Параметрические уравнения прямой
    Обозначим в (5) , t R, тогда равенства в координатах вида
    . (6)
    называются параметрическими уравнениями прямой, проходящей через точку M0(x0; y0; z0) с направляющим вектором ={m; n; p} в пространстве.
    Общие уравнения прямой в пространстве
    Прямая в пространстве может быть задана как линия пересечения двух плоскостей и , заданных своими общими уравнениями и , т.е. как множество точек, удовлетворяющих системе
    . (7)

  10. VideoAnswer Ответить

Добавить ответ

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *