Сколько окружностей можно описать около данного треугольника?

7 ответов на вопрос “Сколько окружностей можно описать около данного треугольника?”

  1. Наглый романтик Ответить

    Теорема 3. Все серединные перпендикуляры, проведённые к сторонам произвольного треугольника, пересекаются в одной точке.
    Доказательство. Рассмотрим два серединных перпендикуляра, проведённых к сторонам AC и AB треугольника ABC, и обозначим точку их пересечения буквой O (рис. 6).

    Рис.6
    Поскольку точка O лежит на серединном перпендикуляре к отрезку AC, то в силу теоремы 1 справедливо равенство:
    CO = AO .
    Поскольку точка O лежит на серединном перпендикуляре к отрезку AB, то в силу теоремы 1 справедливо равенство:
    AO = BO .
    Следовательно, справедливо равенство:
    CO = BO ,
    откуда с помощью теоремы 2 заключаем, что точка O лежит на серединном перпендикуляре к отрезку BC. Таким образом, все три серединных перпендикуляра проходят через одну и ту же точку, что и требовалось доказать.
    Следствие. Около любого треугольника можно описать окружность. Центром описанной около треугольника окружности является точка, в которой пересекаются все серединные перпендикуляры, проведённые к сторонам треугольника.
    Доказательство. Рассмотрим точку O, в которой пересекаются все серединные перпендикуляры, проведённые к сторонам треугольника ABC (рис. 6).
    При доказательстве теоремы 3 было получено равенство:
    AO = OB = OC ,
    из которого вытекает, что окружность с центром в точке O и радиусами OA, OB, OC проходит через все три вершины треугольника ABC, что и требовалось доказать.
    Теорема 4 (теорема синусов). Для любого треугольника (рис. 7)

    Рис.7
    справедливы равенства:
    .
    Доказательство. Докажем сначала, что длина хорды окружности радиуса R хорды окружности радиуса R, на которую опирается вписанный угол величины φ , вычисляется по формуле:
    l = 2Rsin φ .(1) Рассмотрим сначала случай, когда одна из сторон вписанного угла является диаметром окружности (рис.8).

    Рис.8
    Угол MPN, как угол,опирающийся на диаметр, является прямым угломугол,опирающийся на диаметр, является прямым углом, и равенство (1) вытекает из определения синуса угла прямоугольного треугольника.
    Поскольку все вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны, то для произвольного вписанного угла всегда найдется равный ему вписанный угол, у которого одна из сторон является диаметром окружности.
    Формула (1) доказана.
    Из формулы (1) для вписанного треугольника ABC получаем (рис.7):


    Теорема синусов доказана.

    На сайте можно также ознакомиться с нашими учебными материалами для подготовки к ЕГЭ и ОГЭ по математике.

  2. Thordirin Ответить

    Вокруг любого треугольника можно описать окружность, причем только одну.
    В прямоугольном треугольнике центр описанной окружности лежит на середине гипотенузы.

    Радиус окружности, описанной около треугольника, равен отношению произведения сторон треугольника к его учетверенной площади:

    Радиус окружности, описанной около треугольника, равен отношению стороны треугольника к удвоенному синусу противолежащего угла

    Свойства окружности, описанной около четырехугольника

    Вокруг четырехугольника можно описать окружность, если суммы его противоположных углов равны .

    Произведение диагоналей вписанного четырёхугольника равно сумме произведений противоположных сторон.
    Площадь четырёхугольника, вписанного в окружность, можно вычислить по формуле Брахмагупты:

    Примеры решения задач

  3. Grewn Ответить

    Вокруг любого треугольника можно описать окружность, причем только одну.
    В прямоугольном треугольнике центр описанной окружности лежит на середине гипотенузы.
    Радиус окружности, описанной около треугольника, равен отношению произведения сторон треугольника к его учетверенной площади:

    Радиус окружности, описанной около треугольника, равен отношению стороны треугольника к удвоенному синусу противолежащего угла

    Примеры решения задач

  4. the_dream_of_life Ответить


    Центр описанной окружности лежит на пересечении серединных перпендикуляров к сторонам треугольника.
    Вокруг любого треугольника можно описать окружность, причем только одну.
    Радиус окружности, описанной около треугольника, равен отношению произведения сторон треугольника к его учетверенной площади:

    Радиус окружности, описанной около треугольника, равен отношению стороны треугольника к удвоенному синусу противолежащего угла (следствие теоремы синусов):

    В прямоугольном треугольнике центр описанной окружности лежит на середине гипотенузы.

    Примеры решения задач

  5. Burigelv Ответить

    Основные свойства
    Равенство треугольников
    Подобие треугольников
    Медианы треугольника
    Биссектрисы треугольника
    Высоты треугольника
    Серединные перпендикуляры
    Окружность, вписанная в треугольник
    Окружность, описанная около треугольника
    Расположение центра описанной окружности
    Равнобедренный треугольник
    Равносторонний треугольник
    Прямоугольный треугольник
    Вневписанные окружности
    Теоремы синусов, косинусов, тангенсов; формулы Мольвейде
    Основные свойства

    Треугольник – это геометрическая фигура, которая состоит из трёх точек, не лежащих на одной прямой (вершин треугольника) и трёх отрезков с концами в этих точках (сторон треугольника).
    Углами (внутренними углами) треугольника называются три угла, каждый из которых образован тремя лучами, выходящими из вершин треугольника и проходящими через две другие вершины.
    Внешним углом треугольника называется угол, смежный внутреннему углы треугольника.
    Сумма углов треугольника равна 180°:

    Внешний угол равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним, и больше любого внутреннего, с ним не смежного:

    Длина каждой стороны треугольника больше разности и меньше суммы длин двух других сторон:

    В треугольнике против большего угла лежит большая сторона, против большей стороны лежит больший угол:


    Средней линией треугольника называется отрезок, который соединяет середины двух его сторон.
    Средняя линия треугольника параллельна одной из его сторон и равна её половине:

    Равенство треугольников

    Треугольники называются равными, если у них соответствующие стороны равны и соответствующие углы равны:

    У равных треугольников все соответствующие элементы равны (стороны, углы, высоты, медианы, биссектрисы, средние линии и т.д.)
    В равных треугольниках против равных сторон лежат равные углы, а против равных углов – равные стороны.

    Первый признак равенства треугольников.
    Если две стороны и угол между ними одного треугольника равны соответственно двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны:


    Второй признак равенства треугольников.
    Если сторона и прилежащие к ней углы одного треугольника равны соответственно стороне и прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны:


    Третий признак равенства треугольников.
    Если три стороны одного треугольника равны соответственно трём сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны:

    Подобие треугольников

    Подобными называются треугольники, у которых соответствующие стороны пропорциональны.
    Коэффициент пропорциональности называется коэффициентом подобия:

    Два треугольника подобны, если:
    Два угла одного треугольника равны двум углам другого треугольника.
    Две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого, и углы, образованные этими сторонами, равны.
    Стороны одного треугольника пропорциональны сторонам другого.
    У подобных треугольников соответствующие углы равны, а соответствующие отрезки пропорциональны:

    Отношение периметров подобных треугольников равно коэффициенту подобия.
    Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия.

    Прямая, пересекающая две стороны треугольника, и параллельная третьей, отсекает треугольник, подобный данному:


    Три средние линии треугольника делят его на четыре равных треугольника, подобные данному, с коэффициентом подобия ½:

    Медианы треугольника

    Медианой треугольника называется отрезок, который соединяет вершину треугольника с серединой противолежащей стороны.
    Три медианы треугольника пересекаются в одной точке, делящей медианы в отношении 2:1, считая от вершины:

    Медиана делит треугольник на два равновеликих (с равными площадями) треугольника.
    Три медианы треугольника делят его на шесть равновеликих треугольников:


    Длины медиан, проведённых к соответствующим сторонам треугольника, равны:

    Биссектрисы треугольника

    Биссектрисой треугольника, проведённой из данной вершины, называется отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий эту вершину с точкой на противолежащей стороне.
    Биссектрисы внутренних углов треугольника пересекаются в одной точке, находящейся внутри треугольника, равноудалённой от трёх его сторон, которая является центром окружности, вписанной в данный треугольник.
    Биссектриса внутреннего угла треугольника делит противолежащую углу сторону на отрезки, пропорциональные двум другим сторонам:

    Длина биссектрисы угла А:


    Биссектрисы внутреннего и смежного с ним внешнего угла перпендикулярны.
    Биссектриса внешнего угла треугольника делит (внешне) противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные двум другим сторонам.
    BL – биссектриса угла В;
    ВЕ – биссектриса внешнего угла СВК:

    Высоты треугольника

    Высотой треугольника называется перпендикуляр, опущенный из любой вершины треугольника на противолежащую сторону или на продолжение стороны.
    Высоты треугольника пересекаются в одной точке, которая называется ортоцентром треугольника.
    Высоты треугольника обратно пропорциональны его сторонам:

    Длина высоты, проведённой к стороне а:

    Серединные перпендикуляры

    Серединный перпендикуляр – это прямая, которая проходит через середину стороны треугольника перпендикулярно к ней.
    Три серединных перпендикуляра треугольника пересекаются в одной точке, которая является центром окружности, описанной около данного треугольника.
    Точка пересечения биссектрисы угла треугольника с серединным перпендикуляром противолежащей стороны лежит на окружности, описанной около данного треугольника.
    Окружность, вписанная в треугольник

    Окружность называется вписанной в треугольник, если она касается всех его сторон.
    Точки касания вписанной окружности сторон треугольника отсекают от его сторон три пары равных между собой отрезков:

    Радиус вписанной в треугольник окружности – расстояние от её центра до сторон треугольника:

    Окружность, описанная около треугольника

    Окружность называется описанной около треугольника, если она проходит через все его вершины.
    Радиус описанной окружности:

    Расположение центра описанной окружности



    Центр описанной окружности остроугольного треугольника расположен внутри треугольника.
    Центр описанной окружности прямоугольного треугольника совпадает с серединой его гипотенузы.
    Центр описанной окружности тупоугольного треугольника расположен вне треугольника.
    Равнобедренный треугольник

    Треугольник называется равнобедренным, если у него две стороны равны. Равные стороны называют боковыми сторонами, а третью – основанием равнобедренного треугольника.
    В равнобедренном треугольнике углы при основании равны: ∠A = ∠C.
    В равнобедренном треугольнике медиана, проведённая к основанию, является и биссектрисой, и высотой: BL – медиана, биссектриса, высота.

    Основные формулы для равнобедренного треугольника:

    Равносторонний треугольник

    Треугольник у которого все стороны равны называется равносторонним или правильным треугольником.
    Центры вписанной и описанной окружностей правильного треугольника совпадают.
    Все углы равностороннего треугольника равны:
    ∠A = ∠В = ∠C = 60°.

    Каждая медиана равностороннего треугольника совпадает с биссектрисой и высотой, которые проведены из той же вершины:

    Основные соотношения для элементов равностороннего треугольника

    Прямоугольный треугольник

    Треугольник называется прямоугольным, если у него есть прямой угол.
    Стороны, прилежащие к прямому углу, называются катетами, противолежащая прямому углу – гипотенузой.
    Прямоугольные треугольники равны если у них равны:
    два катета;
    катет и гипотенуза;
    катет и прилежащий острый угол;
    катет и противолежащий острый угол;
    гипотенуза и острый угол.

  6. Arazar Ответить

    Фигура
    Рисунок
    Свойство
    Серединные перпендикуляры к сторонам треугольника

    Все серединные перпендикуляры, проведённые к сторонам произвольного треугольника,пересекаются в одной точке. Посмотреть доказательство
    Окружность, описанная около треугольника

    Около любого треугольника можно описать окружность. Центром описанной около треугольника окружности является точка, в которой пересекаются все серединные перпендикуляры, проведённые к сторонам треугольника. Посмотреть доказательство
    Центр описанной около остроугольного треугольника окружности
    Центр описанной около остроугольноготреугольника окружности лежит внутритреугольника.
    Центр описанной около прямоугольного треугольника окружности

    Центром описанной около прямоугольноготреугольника окружности является середина гипотенузы. Посмотреть доказательство
    Центр описанной около тупоугольного треугольника окружности

    Центр описанной около тупоугольноготреугольника окружности лежит вне треугольника.
    Теорема синусов

    Для любого треугольника справедливы равенства (теорема синусов):
    ,
    где a, b, c – стороны треугольника, A, B, С – углы треугольника, R – радиус описанной окружности.
    Посмотреть доказательство
    Площадьтреугольника

    Для любого треугольника справедливо равенство:
    S = 2R2 sin A sin B sin C ,
    где A, B, С – углы треугольника, S – площадь треугольника, R – радиус описанной окружности.
    Посмотреть доказательство
    Радиус описанной окружности

    Для любого треугольника справедливо равенство:

    где a, b, c – стороны треугольника, S – площадь треугольника, R – радиус описанной окружности.
    Посмотреть доказательство

Добавить ответ

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *