Сколько центров симметрии имеет параллелепипед правильная треугольная?

5 ответов на вопрос “Сколько центров симметрии имеет параллелепипед правильная треугольная?”

Kanin 11-11-2019 Ответить

1. Центр симметрии — точка пересечения диагоналей прямоугольного параллелепипеда (рис. 7).
2. Плоскости симметрии: три плоскости симметрии, проходящие через середины параллельных ребер (рис. 8).

Рис.8
3. Оси симметрии: три оси симметрии, проходящие через точки пересечения диагоналей противолежащих граней (рис. 9).

Рис. 9
Симметрия параллелепипеда
Центр симметрии — точка пересечения диагоналей параллелепипеда (рис. 10).

Рис. 10
Симметрия прямой призмы
Плоскость симметрии, проходящая через середины боковых ребер (рис. 11).

Рис. 11
Симметрия правильной призмы
1. Центр симметрии при четном числе сторон основания — точка пересечения диагоналей правильной призмы (рис. 12)

Рис. 12
2. Плоскости симметрии: плоскость, проходящая через середины боковых ребер; при четном числе сторон основания — плоскости, проходящие через противолежащие ребра (рис. 13).

Рис. 13
3. Оси симметрии: при четном числе сторон основания — ось симметрии, проходящая через центры оснований, и оси симметрии, проходящие через точки пересечения диагоналей противолежащих боковых граней (рис. 14).

Рис. 14
Мальвина 11-11-2019 Ответить

Главная > Учебные материалы > Математика: Стереометрия. Страница 5

1.Двугранный, трехгранный углы.
2.Призма и построение ее сечений.
3.Параллелепипед.
4.Прямоугольный параллелепипед.
5.Пирамида.
6.Усеченная пирамида.
7.Правильные многогранники.
8.Примеры.
1
2
3
4
5
6
7
8

1. Двугранный, трехгранный углы

Двугранный угол представляет собой фигуру, образованную двумя полуплоскостями и общей ограничивающей их прямой. Полуплоскости называются гранями двугранного угла, а прямая, ограничивающая их, – ребром (Рис.1).
Если провести плоскость, перпендикулярную ребру двугранного угла, то она пересечет его грани по двум полупрямым. Угол, образованный между двумя этими полупрямыми, называется линейным углом двугранного угла.
Градусная мера двугранного угла равна градусной мере линейного угла. Величина двугранного угла не зависит от выбора линейного угла, т.е. плоскости, перпендикулярной ребру двугранного угла.

Рис. 1 Двугранный угол.

Трехгранный углы

Пусть заданы три луча a, b, c не лежащие в одной плоскости и исходящие из одной общей точки О. (Рис.1.1). Тогда трехгранным углом называется фигура, которая состоит из трех плоских углов. Точка О, из которой исходят лучи, называется вершиной трехгранного угла. Сами углы называются гранями, а стороны – ребрами.
Понятие многогранного угла можно определить аналогичным образом.

Рис. 1.1 Трехгранный угол.

2.Призма и построение ее сечений

Прямая призма

Призмой называется многогранник, у которого две стороны являются плоскими многоугольниками, лежащими в параллельных плоскостях и совмещаемых параллельным переносом, а боковые грани состоят из всех отрезков, соединяющих соответствующие точки этих многоугольников (Рис.2). Многоугольники называются основаниями призмы, а отрезки, соединяющие соответствующие точки оснований, ее ребрами.
Высотой призмы называется расстояние между ее основаниями.
Если боковые ребра призмы перпендикулярны основанию, то такая призма называется прямой. В противном случае призма называется наклонной. Боковые ребра у призмы параллельны и равны.
Боковые грани прямой призмы являются прямоугольниками. Если в основании призмы лежит правильный многоугольник, то такая призма называется правильной.
Теорема: площадь боковой поверхности прямой призмы равна произведению периметра основания призмы на ее высоту.
В основании призмы лежит правильный многоугольник. Боковые ребра призмы находятся под прямым углом к основанию и являются высотами. Боковые грани представляют собой прямоугольники. Отсюда следует, что площадь боковой поверхности призмы равна:
S = a1l + a2l + a3l + a1l + … + anl = pl
где
a1, a2, a3, … an – длины сторон основания
l – высота призмы
p – периметр основания
Полная площадь призмы равна сумме площадей двух оснований и боковой поверхности.

Рис.2 Прямая призма

Наклонная призма

Если боковые ребра призмы находятся под некоторым углом к основанию, то призма является наклонной (Рис.2.1).
Используя правила параллельного проектирования, изображение призмы можно построить следующим образом. Сначала строится одно из оснований, т.е. многоугольник, а затем проводят боковые ребра из каждой вершины основания, которые параллельны и равны между собой. Затем концы этих отрезков соединяются и строится другое основание призмы.
Для того, чтобы построить сечение призмы плоскостью, сначала задают прямую g в плоскости одного из оснований, которая называется следом. Затем проводят через заданную точку В прямую, которая находится в плоскости грани, и соединяют ее с заданным следом в точке Е. Отрезок АС на рассматриваемой грани есть пересечение этой грани с секущей плоскостью.
Если грань, которая содержит точку В, параллельна следу, то секущая плоскость пересекает эту грань по отрезку, параллельному заданному следу и проходящему через точку В.
Таким образом, можно провести отрезки на всех гранях призмы и получить сечение плоскостью с заданным следом.

Рис.2.1 Наклонная призма

3. Параллелепипед

Призма, у которой основание есть параллелограмм, называется параллелепипедом.
Параллелепипед, у которого грани расположены под некоторым углом ? 90° к основанию, называется наклонным. В противном случае – прямым, т.е. угол между боковыми гранями и основанием = 90°.
Теорема. Противолежащие грани параллелепипеда параллельны и равны.
Доказательство. Пусть дан параллелепипед ABCDA’B’C’D’ (Рис.3). Рассмотрим грани параллелепипеда AA’D’D и BB’C’C. Так как основания параллелепипеда параллелограммы, то сторона AD параллельна и равна стороне ВС, а сторона A’D’ параллельна и равна стороне B’C’. Сторона AB параллельна и равна стороне DС, а сторона A’B’ параллельна и равна стороне D’C’. Отсюда можно сделать вывод, что грани AA’D’D и BB’C’C лежат в параллельных плоскостях. Таким образом, грань AA’D’D совмещается параллельным переносом с гранью BB’C’C. Следовательно эти грани равны.
Аналогично можно доказать параллельность и равенство граней DD’C’C и AA’B’B.

Центральная симметрия параллелепипеда

Теорема. Диагонали параллелепипеда пересекаются в одной точке, которая делит их пополам.
Рассмотрим две грани параллелепипеда ABCD и BB’C’C. Сторона BC у них общая. Следовательно стороны AD и B’C’ равны, лежат на параллельных прямых и в одной плоскости. Так как грани параллелепипеда AA’B’B и DD’C’C лежат в параллельных плоскостях и совмещаются параллельным переносом, то диагонали AB’ и DC’ параллельны и лежат в плоскости сторон AD и B’C’. Отсюда можно сделать вывод, что AB’C’D – параллелограмм. Диагонали этого параллелограмма пересекаются в точке, которая делит их пополам.
Отсюда следует, что точка пересечения диагоналей параллелепипеда является его центром симметрии.

Рис. 3 Наклонный параллелепипед.

4.Прямоугольный параллелепипед

Прямой параллелепипед, у которого основание является прямоугольником, называется прямоугольным.
Длины не параллельных ребер параллелепипеда называются его линейными размерами.
Теорема. В прямоугольном параллелепипеде квадрат диагонали равен сумме квадратов трех его измерений.
Доказательство. Пусть дан параллелепипед ABCDA’B’C’D’ (Рис.4). Рассмотрим прямоугольный треугольник ACC’. Cторонами данного треугольника являются диагональ параллелепипеда AC’, диагональ основания AC и ребро боковой грани CC’. Тогда по теореме Пифагора находим:

Рис. 4 Прямоугольный параллелепипед.
AC’2 = AC2 + CC’2
AC2 = AD2 + DC2 Следовательно:
AC’2 = AD2 + DC2 + CC’2
Стороны AD, DC, CC’ являются линейными размерами параллелепипеда.

Симметрия прямоугольного параллелепипеда

Прямоугольный параллелепипед имеет центр симметрии. Если все три измерения параллелепипеда разные, то он имеет три плоскости симметрии, которые проходят через центры граний (Рис.4.1)
Если параллелепипед имеет два равных измерения, то у него есть еще две плоскости симметрии, которые проходят через диагональные сечения.
Если у параллелепипеда все три линейные размера равны, то он является кубом. И у него девять плоскостей симметрии.

Рис. 4.1 Симметрия прямоугольного параллелепипеда.

5. Пирамида
Пирамидой называется многогранник, который состоит из многоугольника в основании, точки, не лежащей в плоскости основания, и всех отрезков, соединяющих вершины многоугольника и данную точку (Рис.5).
Точка, не лежащая в плоскости основания, называется вершиной пирамиды.
Отрезки, соединяющие вершины основания с вершиной пирамиды, называются боковыми ребрами.
Перпендикуляр, опущенный из вершины пирамиды на плоскость основания, называется высотой пирамиды.
На рисунке 5 изображена пирамида, в основании которой лежит правильный шестиугольник. A1A2A3A4A5A6
S – вершина пирамиды.
h – высота пирамиды.
SA1, SA2, SA3, SA4, SA5, SA6 – боковые ребра.
SA1A2, SA2A3, SA3A4, SA4A5, SA5A6, SA6A1 – боковые грани.

Построение пирамиды и ее плоских сечений

Для того чтобы построить пирамиду, необходимо сначала построить основание – плоский многоугольник. Затем взять точку, не лежащую в плоскости основания, и соединить ее боковыми ребрами с вершинами основания.
Сечения пирамиды, проходящие через ее вершину, представляют собой треугольники. Например, треугольниками являются диагональные сечения, т.е. сечения, проходящие через два несоседних боковых ребра .
Сечение пирамиды с боковым следом строится аналогично, как и сечение призмы (Рис.5). Т.е. сначала задается прямая в плоскости основания – след g. Затем берется какая-нибудь точка В, принадлежащая сечению, и строится пересечение следа g секущей плоскости c плоскостью этой грани – точка D. Полученный таким образом отрезок АС, представляет собой линию пересечения плоскости грани и плоскости сечения пирамиды.
Если точка В лежит на грани, параллельной следу g (Рис.5.1), то секущая плоскость пересекает эту грань по отрезку BC, параллельному следу g. Концы отрезка также соединяют со следом по прямой ED в плоскости ? другой грани и получают прямую пересечения этой грани с плоскостью сечения и т.д. Таким образом можно построить линии пересечения плоскости сечения со всеми гранями пирамиды.

Рис. 5 Пирамида.

Рис. 5.1 Построение пирамиды и ее плоских сечений.

6. Усеченная пирамида

Теорема. Плоскость, пересекающая пирамиду и параллельная ее основанию, отсекает подобную пирамиду.
Пусть дана пирамида ABCDES. ABCDE – основание пирамиды, пятиугольник. S – вершина пирамиды. ? – секущая плоскость. Подвергнем пирамиду преобразованию подобия (гомотетии) с коэффициентом подобия k относительно вершины S.

Так как при преобразовании подобия расстояние от вершины до точек фигуры изменяется в одно и тоже k число раз, то пятиугольник в основании переходит в плоскость ?, параллельную основанию, т.е. секущую плоскость.
Точки A’B’C’D’E’ – точки пересечения боковых ребер пирамиды с плоскостью ?. И пирамида, которая образуется путем отсечения данной пирамиды плоскостью ?, является подобной данной.

Правильная пирамида

Если основание пирамиды есть правильный многоугольник, а основание высоты совпадает с центром этого многоугольника, то такая пирамида называется правильной.
Высота боковой грани правильной пирамиды, проведенная из ее вершины, называется апофемой.
Теорема. Боковая поверхность правильной пирамиды равна произведению полупериметра основания на апофему.

Рис. 6 Усеченная пирамида.

7. Правильные многогранники

Если выпуклый многогранник имеет все грани правильные многоугольники с равным числом сторон и в каждой вершине многоугольника сходится одно и то же число ребер, то такой многогранник называется правильным.
Существует пять типов правильных выпуклых многогранников: правильный тетраэдр, куб, октаэдр, додекаэдр, икосаэдр.
Тетраэдр это многогранник, у которого грани правильные треугольники.
Куб это многогранник, у которого все грани – квадраты.
Октаэдр – многогранник, который представляет собой две пирамиды с общим основанием. Основание этих пирамид – квадрат.
Додекаэдр это многогранник, у которого грани правильные пятиугольники. В каждой вершине сходится по три ребра.
Икосаэдр это многогранник, у которого грани правильные треугольники. В каждой вершине сходится по пять ребер.

Рис. 6 Правильные многогранники.

8. Пример 1

Докажите, что сечение призмы, параллельное основаниям, равно основаниям.
Доказательство:
Пусть дана призма АВСA’B’C’ (Рис.7). Основания призмы равны и являются треугольниками. Они лежат в параллельных плоскостях и совмещаются параллельным переносом. Отсюда следует, что боковые ребра параллельны и равны.
Если провести плоскость ?, параллельную основаниям, то в сечении получится такое же основание. Так как сторона A”C” параллельна АС, A”B” – AB, B”C” – BC. А так как боковые ребра AA’, BB’, CC’ параллельны, то АА”C”C, AA”B”B, BB”C”C прямоугольники (параллелограммы, если АВСA’B’C’ наклонная призма).
Отсюда следует, что A”C” = AC, A”B” = AB, B”C” = BC. Таким образом, треугольник A”B”C” равен треугольнику АВС и A’B’C’ соответственно. Отсюда можно сделать и общий вывод: если в основании призмы будет лежать како-либо многоугольник, то в сечении, параллельном основаниям, получится такой же многоугольник.

Рис.7 Задача. Докажите, что сечение призмы…

Пример 2

Боковое ребро наклонной призмы равно 16 м. Оно наклонено к плоскости основания под углом 30°. Найдите высоту призмы.
Решение:
Пусть дана наклонная призма АВСA’B’C’ (Рис. 8). Рассмотрим нижнее основание – треугольник АВС. Проведем прямую а через точку А в плоскости основания, перпендикулярную A’A. Проведем также прямую АР, перпендикулярную прямой а. Таким образом, прямая АР является проекцией наклонной A’A на плоскость основания. А плоскость, в которой лежит треугольник AA’P, перпендикулярна плоскости основания.
Рассмотрим треугольник AA’P. Угол A’AP равен 30° по условию задачи. Опустим высоту A’O. В прямоугольном треугольнике AA’O найдем A’O.
sin 30° = A’O / AA’
. Отсюда:
A’O = AA’ sin 30° = 16 / 2 = 8 м.
A’O = 8 м.

Рис.8 Задача. Боковое ребро наклонной призмы равно 15 м…

Пример 3

В правильной четырехугольной призме через середины двух смежных сторон основания проведена плоскость, пересекающая три боковые ребра и наклоненная к плоскости основания под углом 60°. Сторона основания равна 8 м. Найдите площадь полученного сечения.
Решение:
Пусть дана правильна четырехугольная призма АВСDA’B’C’D’ (Рис. 9). Заметим, что многоугольник PBCDF является проекцией многоугольника PKHSF на плоскость основания, площадь которого необходимо найти. Следовательно, найдем площадь многоугольника PBCDF.
SPBCDF = SABCD – SAPF
SPBCDF = 82 – (8/2)2/2 = 56 м2
Теперь найдем площадь многоугольника PKHSF из формулы:
SPBCDF = SPKHSF cos 60°
SPKHSF = SPBCDF / cos 60° = 56 / 1 / 2 = 112 м2
SPKHSF = 112 м2.

Рис.9 Задача. В правильной четырехугольной призме…

Пример 4

Боковая поверхность правильной четырехугольной призмы 12 м2. А полная поверхность 20 м2. Найдите высоту призмы.
Решение:
Пусть дана правильная четырехугольная призма АВСDA’B’C’D’ (Рис. 10). Так как призма имеет четыре боковые грани, то площадь одной боковой грани составляет 1/4 часть боковой поверхности.
SAA’D’D = Sбок / 4 = 12 / 4 = 3 м2
Площадь основания призмы равна половине разности площадей между полной поверхностью призмы и ее боковой поверхностью.
2 SABCD = Sпол – Sбок = 20 – 12 = 8 м2
SABCD = 4 м2
Отсюда,
AD = 2 м.
Так как площадь боковой грани составляет 3 м2, то высоту призмы, т.е. AA’, можно найти из формулы:
SAA’D’D = AD * AA’
AA’ = 3 / 2 м.
Следовательно, высота призмы составляет 3 / 2 м.

Рис.10 Задача. Боковая поверхность правильной четырехугольной призмы…

Пример 5

Основание пирамиды – ромб с диагоналями 6 м и 8 м. Высота пирамиды проходит через точку пересечения диагоналей ромба и равна 7 м. Найдите боковую поверхность пирамиды.
Решение:
Пусть дана пирамида АВСDS (Рис. 11). Основание пирамиды – ромб ABCD с диагоналями АС = 8 м, BD = 6 м. Высота SO = 7 м.
По теореме Пифагора найдем боковые ребра SA и SD:
SA2 = AO2 + SO2 = 42 + 72 = 65
SD2 = OD2 + SO2 = 32 + 72 = 58
SA = , SD =
Теперь найдем сторону ромба AD:
AD2 = AO2 + OD2 = 32 + 42 = 25 , AD = 5 м
Теперь по теореме косинусов найдем косинус угла ? между боковыми ребрами:
AD2 = SA2 + SD2 – 2 SA SD cos ? = 65 + 58 – 2 cos ? = 25
Отсюда, cos ? = 49 / , sin ? = 1369 /
Теперь найдем площадь боковой грани SASD:
SASD = SA SD sin ? / 2 = 1369 / / 2 = 18.5 м 2
Отсюда, Sбок = 4 SASD = 4 * 18.5 = 74 м 2
Sбок = 74 м 2.

Рис.11 Задача. Основание пирамиды – ромб…

1
2
3
4
5
6
7
8

Содержание

Страница 1
Страница 5
1.Основные фигуры стереометрии.
2.Группа дополнительных аксиом стереометрии.
3.Плоскость, проходящая через данную прямую и точку.
4.Пересечение прямой с плоскостью.
5.Существование плоскости, проходящей через три данные точки.
1.Двухгранный, трехгранный углы.
2.Призма и построение ее сечений.
3.Параллелепипед.
4.Прямоугольный параллелепипед.
5.Пирамида.
6.Усеченная пирамида.
7.Правильные многогранники.
Страница 2
Страница 6
1.Параллельность прямых в пространстве.
2.Признак параллельности прямых.
3.Признак параллельности плоскостей.
4.Свойства параллельных плоскостей.
1.Цилиндр.
2.Конус.
3.Вписанная и описанная призма.
4.Вписанная и описанная пирамида.
5.Шар.
6.Симметрия шара.
Страница 3
Страница 7
1.Перпендикулярность прямых в пространстве.
2.Признак перпендикулярности прямой и плоскости.
3.Теорема о трех перпендикулярах.
4.Признак перпендикулярности плоскостей.
5.Расстояние между скрещивающимися прямыми.
1.Объем. Объем прямоугольного параллелепипеда.
2.Наклонный параллелепипед.
3.Объем пирамиды.
4.Объем призмы.
5.Равновеликие тела.
6.Объемы подобных тел.
Страница 4
Страница 8
1.Декартовы координаты в пространстве.
2.Расстояние между двумя точками.
3.Преобразование симметрии в пространстве.
4.Движение в пространстве.
5.Угол между прямой и плоскостью.
6.Угол между плоскостями.
7.Векторы в пространстве.
8.Площадь ортогональной проекции многоугольника.
1.Площадь боковой поверхности цилиндра.
2.Объем цилиндра.
3.Площадь боковой поверхности конуса.
4.Объем конуса.
5.Объем тел вращения.
6.Объем шара.
7.Объем шарового сегмента и сектора.
8.Площадь сферы.
Brataur 11-11-2019 Ответить

7-9 классы

Пространственное мышление значимо для каждого
человека, независимо от уровня его образования и
вида деятельности. Значительную роль в развитии
пространственных представлений и
пространственного мышления играет изучение
свойств многогранников. В то же время, в
сложившейся практике изучения геометрии,
материал, связанный с многогранниками,
рассматривается в конце изучения геометрии, что
связано со строгим следованием аксиоматическому
методу изложения этого курса. Изучая
планиметрию, ученики не только не должны
забывать о пространственных фигурах, а наоборот,
должны расширить знакомство с ними. Ведь нас
окружают реальные предметы —
пространственные фигуры. Многие учащиеся,
закончив девять классов, продолжают обучение в
училищах, средних специальных заведениях,
лицеях, колледжах или начинают заниматься
практической деятельностью, и им необходимы
элементарные знания трехмерной геометрии.
Поэтому курс планиметрии целесообразно строить
на фузионистских принципах, то есть в органичной
связи с планиметрическим материалом должны быть
введены свойства многогранников и, возможно,
предусмотрено рассмотрение других
стереометрических объектов.
Общеобразовательная школа должна при первой
возможности знакомить учащихся с простейшими
видами многогранников, их изображениями,
изготовлением, развертками, измерениями площади
поверхности и объема, что подготовит учащихся,
ориентированных на дальнейшее обучение в 10-м
классе, к лучшему восприятию систематического
курса стереометрии, а учащихся, заканчивающих
обучение в 9-м классе, более полно познакомит с
окружающим миром.

Распределение учебного и
задачного материала, связанного с
многогранниками, по темам планиметрии

Учебный материал и методические
рекомендации к урокам
В курсе геометрии 7–9-х классов можно
рассмотреть такие многогранники, как
параллелепипед, призма, пирамида, а также
правильные многогранники. Учащиеся этих классов
учатся рассуждать, доказывать различные
утверждения при изучении систематического курса
планиметрии, а также хорошо представлять себе
пространственные формы, видеть в них красоту.
Многогранник «определяется» в 5–6-х классах.
Определение многогранника дается на
описательном уровне следующим образом.
Поверхность многогранника состоит из
многоугольников. Каждый из этих многоугольников
называют гранью многогранника. Вершины этих
многоугольников являются также и вершинами
многогранника, а стороны многоугольника —
ребрами многогранника. Здесь очень важно
показать учащимся различные модели
многогранников. Прежде чем изучать каждый вид
многогранников в отдельности, определим общий
подход к рассмотрению основных видов
многогранников в 7–9-х классах. При рассмотрении
многогранников в курсе планиметрии 7–9-х классов
применим именно индуктивный путь ознакомления с
основными видами многогранников. Рассмотрение
призмы целесообразно начать с частных видов
призм. А именно, рассмотреть уже знакомые виды
призм, которые встречались в курсе математики
5–6-х классов (см.: Ходеева Т.В. Изучение свойств
многогранников в курсе математики 5–6
классов. — Математика (еженедельная газета ИД
«Первое сентября»), № 11, 13/2002), затем
рассмотреть и другие. После этого можно дать
общее описание произвольной призмы. Аналогичный
подход и при рассмотрении пирамиды. При изучении
основных видов многогранников в 7–9-х классах,
так же как и в 5–6-х классах, нельзя дать точных
определений, поэтому приводится описание
многогранников каждого вида. При рассмотрении
каждого вида многогранников целесообразно
придерживаться некоторой схемы: описание
данного вида многогранников; нахождение данного
вида многогранников на рисунках, чертежах, среди
окружающих предметов; изображение; развертка;
некоторые свойства; сечение (имеется в виду
сечения: параллельно плоскости основания или
некоторой грани, проходящие через два не
соседних ребра и другие), симметрия. Рассматривая
различные виды многогранников, с которыми уже
учащиеся встречались, целесообразно напомнить
установленные свойства.
Из курса математики 5–6-х классов учащиеся уже
знакомы с кубом, прямоугольным параллелепипедом,
прямой призмой. Рассмотрение прямого и
наклонного параллелепипеда, наклонной призмы
возможно только после изучения понятия
параллелограмм. Итак, параллелепипед —
многогранник, поверхность которого состоит из
шести параллелограммов. Здесь очень важно
показать учащимся модели различных видов
параллелепипедов: прямоугольного
параллелепипеда, прямого параллелепипеда и
наклонного параллелепипеда. На моделях с
учащимися полезно обсудить, какими
четырехугольниками являются грани
параллелепипедов различных видов.
Свойства параллелепипеда
1о. У параллелепипеда 8 вершин, 12 ребер и
6 граней.
2о. Каждая грань параллелепипеда —
параллелограмм.
3о. Противолежащие грани
параллелепипеда равны.
4о. Параллельные ребра параллелепипеда
равны.
Сечение параллелограмма
1. Сечение параллелепипеда плоскостью,
параллельной грани. В сечении образуется
параллелограмм.
2. Сечение параллелепипеда плоскостью,
проходящей через противолежащие ребра. В сечении
образуется параллелограмм. В некоторых случаях в
сечении может образоваться ромб, прямоугольник
или квадрат.
При рассмотрении каждого вида многогранников
(параллелепипеда, призмы, пирамиды) можно
рассмотреть с учащимися 7–9-х классов
стандартные сечения, такие как сечение
многогранника плоскостью, параллельной
плоскости одной из граней, и сечение
многогранника плоскостью, проходящей через два
не соседних параллельных ребра многогранника.
При рассмотрении сечений многогранника вид
сечения учащиеся 7–9-х классов, так же как и 5–6-х
классов, определяют с помощью каркасных моделей
многогранников или моделей, сделанных из
пластилина. При этом от учащихся не требуется
доказывать, что в сечении образуется та или иная
фигура, главное — просто увидеть ее на моделях
рассматриваемых многогранников.
Призма — это многогранник, поверхность
которого состоит из двух равных многоугольников,
называемых основаниями призмы, и
параллелограммов, называемых боковыми гранями
(причем у каждого параллелограмма две
противолежащие стороны лежат на основаниях
призмы).
Свойства призмы
1о. Основания призмы являются равными
многоугольниками.
2о. Боковые грани призмы являются
параллелограммами.
3о. Боковые ребра призмы равны.
Сечение призмы
1. Сечение призмы плоскостью, параллельной
основанию. В сечении образуется многоугольник,
равный многоугольнику, лежащему в основании.
2. Сечение призмы плоскостью, проходящей
через два не соседних боковых ребра. В сечении
образуется параллелограмм. Такое сечение
называется диагональным сечением призмы. В
некоторых случаях может получаться ромб,
прямоугольник или квадрат.
Рассмотрение правильной призмы возможно
только после введения понятия правильный
многоугольник. Однако с правильной треугольной
призмой можно познакомить учащихся гораздо
раньше. А с правильной четырехугольной призмой
они знакомы еще из курса математики 5–6-х классов,
так как она представляет собой прямоугольный
параллелепипед с квадратами в основаниях.
Правильная призма — прямая призма,
основаниями которой являются правильные
многоугольники.
Свойства правильной призмы
1о. Основания правильной призмы
являются правильными многоугольниками.
2о. Боковые грани правильной призмы
являются равными прямоугольниками.
3о. Боковые ребра правильной призмы
равны.
Сечение правильной призмы
1. Сечение правильной призмы плоскостью,
параллельной основанию. В сечении образуется
правильный многоугольник, равный
многоугольнику, лежащему в основании.
2. Сечение правильной призмы плоскостью,
проходящей через два не соседних боковых ребра. В
сечении образуется прямоугольник. В некоторых
случаях может образоваться квадрат.
Из курса математики 5–6-х классов учащиеся уже
знакомы с описанием пирамиды. А именно:
пирамида — многогранник, поверхность
которого состоит из многоугольника, называемого
основанием пирамиды, и треугольников с общей
вершиной, называемых боковыми гранями пирамиды.
Знакомство с правильной пирамидой возможно
только после изучения понятия правильный
многоугольник. Однако с правильной треугольной и
правильной четырехугольной пирамидой можно
познакомить учащихся значительно раньше. Правильная
пирамида — пирамида, в основании которой
лежит правильный многоугольник и все боковые
ребра равны.
Свойства правильной пирамиды
1о. Основание правильной пирамиды —
правильный многоугольник.
2о. Боковые грани правильной
пирамиды — равнобедренные треугольники.
3о. Боковые ребра правильной пирамиды
равны.
Сечение правильной пирамиды
1. Сечение правильной пирамиды плоскостью,
параллельной основанию. В сечении образуется
правильный многоугольник, подобный
многоугольнику, лежащему в основании.
2. Сечение правильной пирамиды плоскостью,
проходящей через два не соседних боковых ребра. В
сечении образуется равнобедренный треугольник.
В некоторых случаях может образоваться
равносторонний треугольник.
С некоторыми правильными многогранниками
учащиеся уже встречались. Это треугольная
пирамида и куб. Гранями треугольной пирамиды
являются правильные треугольники. Ее называют
правильным тетраэдром, что в переводе с
греческого означает четырехгранник. Куб имеет
шесть граней, поэтому называется правильным
гексаэдром (по-гречески «гекса» означает шесть).
Рассмотрение правильных многогранников следует
начинать с тех из них, гранями которых являются
правильные треугольники. Один из таких
многогранников учащимся уже знаком — это
правильный тетраэдр. Другой многогранник,
гранями которого являются правильные
треугольники, изображен на рисунке 1.
Его поверхность состоит из восьми правильных
треугольников, поэтому его называют правильным
октаэдром («окта» — восемь).
И третий многогранник, гранями которого
являются правильные треугольники — это
правильный икосаэдр («икоса» — двадцать). Его
поверхность состоит из двадцати правильных
треугольников (рис. 2).
Многогранник, гранями которого
являются квадраты — это куб. Учащимся он
хорошо знаком. Многогранник, гранями которого
являются правильные пятиугольники, изображен на
рисунке 3. Его поверхность состоит из двенадцати
правильных пятиугольников, поэтому его называют
правильным додекаэдром («доде» — двенадцать).
Как уже было отмечено выше, при рассмотрении
каждого вида многогранников с учащимися 7–9-х
классов целесообразно придерживаться такой же
схемы, что и для 5–6-х классов, дополнительно
рассмотрев симметрию многогранников. При ее
рассмотрении учащиеся 7–9-х классов находят
центр симметрии, плоскости симметрии и оси
симметрии (если они существуют) с помощью моделей
многогранников. При этом полезно предложить
учащимся такое творческое и интересное задание,
как изготовление моделей рассматриваемых
многогранников с указанием на них плоскостей
симметрии. Такие задания развивают
пространственное мышление учащихся, дают
возможность творчески подойти к выполнению
задания и, что немаловажно, повышают интерес к
предмету геометрия.
Симметрия куба
1. Центр симметрии — центр куба
(точка пересечения диагоналей куба) (рис. 4).
2. Плоскости симметрии: три плоскости
симметрии, проходящие через середины
параллельных ребер; шесть плоскостей симметрии,
проходящие через противолежащие ребра (рис. 5).

3. Оси симметрии: три оси симметрии,
проходящие через центры противолежащих граней;
четыре оси симметрии, проходящие через
противолежащие вершины; шесть осей симметрии,
проходящие через середины противолежащих ребер
(рис. 6).

Симметрия прямоугольного
параллелепипеда
1. Центр симметрии — точка
пересечения диагоналей прямоугольного
параллелепипеда (рис. 7).
2. Плоскости симметрии: три плоскости
симметрии, проходящие через середины
параллельных ребер (рис. 8).

3. Оси симметрии: три оси симметрии,
проходящие через точки пересечения диагоналей
противолежащих граней (рис. 9).

Симметрия параллелепипеда
Центр симметрии — точка пересечения
диагоналей параллелепипеда (рис. 10).

Симметрия прямой призмы
Плоскость симметрии, проходящая через середины
боковых ребер (рис. 11).

Симметрия правильной призмы
1. Центр симметрии при четном числе сторон
основания — точка пересечения диагоналей
правильной призмы (рис. 12)

2. Плоскости симметрии: плоскость,
проходящая через середины боковых ребер; при
четном числе сторон основания — плоскости,
проходящие через противолежащие ребра (рис. 13).

3. Оси симметрии: при четном числе сторон
основания — ось симметрии, проходящая через
центры оснований, и оси симметрии, проходящие
через точки пересечения диагоналей
противолежащих боковых граней (рис. 14).

Симметрия правильной пирамиды
1. Плоскости симметрии: при четном числе
сторон основания — плоскости, проходящие через
противолежащие боковые ребра; и плоскости,
проходящие через медианы, проведенные к
основанию противолежащих боковых граней
(рис. 15).

2. Ось симметрии: при четном числе сторон
основания — ось симметрии, проходящая через
вершину правильной пирамиды и центр основания
(рис. 16).

Окончание в № 18
.
Rexcrusher 11-11-2019 Ответить

1
Правильные многогранники.

2
Устно: Какие вы знаете правильные многогранники? Тетраэдр, октаэдр, икосаэдр, куб, додекаэдр. Какие два условия определяют правильные многогранники? 1)Все грани равные правильные многоугольники. 2) В каждой вершине сходится одно и тоже число ребер. Сколько может быть видов правильных многогранников?

3
276 Сколько центров симметрии имеет: а) параллелепипед б) правильная треугольная призма в)двугранный угол г)отрезок

4
277 Сколько осей симметрии имеет: а)отрезок б) правильный треугольник в)куб 3 9

5
277 (а)

6
277 б
Bugrinn 11-11-2019 Ответить

Понятие правильного многогранника (тетраэдр, октаэдр, икосаэдр, куб, додекаэдр).
Определение. Выпуклый многогранник называется правильным, если все его грани равные правильные многоугольники и в каждой его вершине сходится одно и то же число рёбер.
Свойства.
· Все рёбра правильного многогранника равны друг другу;
· Все двугранные углы, содержащие две грани с общим ребром, равны.
Существует только пять типов правильных многогранников:
· Правильный тетраэдр составлен из четырёх равносторонних треугольников. Каждая его вершина является вершиной трёх треугольников. Следовательно, сумма плоских углов при каждой вершине равна .
· Правильный октаэдр составлен из восьми равносторонних треугольников. Каждая вершина октаэдра является вершиной четырёх треугольников. Следовательно, сумма плоских углов при каждой вершине равна .
· Правильный икосаэдр составлен из двадцати равносторонних треугольников. Каждая вершина икосаэдра является вершиной пяти треугольников. Следовательно, сумма плоских углов при каждой вершине равна .
· Куб (гексаэдр) составлен из шести квадратов. Каждая вершина куба является вершиной трёх квадратов. Следовательно, сумма плоских углов при каждой вершине равна .
· Правильный додекаэдр составлен из двенадцати правильных пятиугольников.
Каждая вершина додекаэдра является вершиной трёх правильных пятиугольников. Тогда сумма плоских углов при каждой вершине равна .

2. Теорема Эйлера.
Теорема Эйлера. Для числа граней Г, числа вершин В и числа рёбер Р любого выпуклого многогранника справедливо соотношение Г+В-Р=2.
Пусто n – число рёбер каждой грани, а m – число рёбер сходящихся в каждой вершине. Так как каждое ребро принадлежит двум граням, то nГ=2Р. Каждое ребро содержит по две вершины, значит mВ=2Р. Из последних двух равенств и теоремы Эйлера составим систему
.
Решая эту систему, получим , и .
Найдём число вершин, рёбер и граней правильных многогранников:
· Правильный тетраэдр (n=3, m=3)
Р=6, Г=4, В=4.
· Правильный октаэдр (n=3, m=4)
Р=12, Г=8, В=6.
· Правильный икосаэдр(n=3, m=5)
Р=30, Г=20, В=12.
· Куб(n=4, m=3)
Р=12, Г=6, В=8.
· Правильный додекаэдр(n=5, m=3)
· Р=30, Г=12, В=20.
Элементы симметрии правильных многогранников.
Рассмотрим элементы симметрий правильных многогранников.
Правильный тетраэдр
Правильный тетраэдр (рис.1) не имеет центра симметрии.
Рис.1
Оси симметрий тетраэдра (рис.2) проходят через середины двух противоположных рёбер, таких осей симметрий три.

Сколько центров симметрии имеет параллелепипед правильная треугольная?

5 ответов на вопрос “Сколько центров симметрии имеет параллелепипед правильная треугольная?”

Добавить ответ Отменить ответ