Степень уравнения с двумя переменными как определить?

9 ответов на вопрос “Степень уравнения с двумя переменными как определить?”

  1. YanFox Ответить

    Разделы:
    Математика
    ЦЕЛЬ:1) Познакомить учащихся с понятием
    «уравнение с двумя переменными»;
    2) Научить определять степень уравнения с двумя
    переменными;
    3) Научить определять по заданной функции, какая
    фигура является графиком
    данного уравнения;
    4) Рассмотреть преобразования графиков с двумя
    переменными;
    5) Учить учащихся «читать» графики и выполнять
    построение графиков по
    заданному уравнению с двумя переменными,
    используя программу Agrapher ;
    6) Развивать логическое мышление учащихся.

    I.Новый материал – объяснительная лекция с
    элементами беседы.

    (лекция проводится с использованием
    авторских слайдов; построение графиков
    выполнено в программе Agrapher)
    У: При изучении линий возникают две задачи:
    По геометрическим свойствам данной линии найти
    её уравнение;
    Обратная задача: по заданному уравнению линии
    исследовать её геометрические свойства.
    Первую задачу мы рассматривали в курсе
    геометрии применительно к окружности и прямой.
    Сегодня мы будем рассматривать обратную
    задачу.
    Рассмотрим уравнения вида:
    а) х(х-у)=4; б) 2у-х2=-2; в) х(х+у2)
    = х +1    .
    2
    – это примеры уравнений с двумя переменными.
    Уравнения с двумя переменными х и у
    имеет вид f(x,y)= (x,y), где f и –
    выражения с переменными х и у.
    Если в уравнении х(х-у)=4 подставить вместо
    переменной х её значение -1, а вместо у –
    значение 3, то получится верное равенство: 1*(-1-3)=4,
    Пара (-1; 3) значений переменных х и у
    является решением уравнения х(х-у)=4.
    То есть решением уравнения с двумя
    переменными называют     множество
    упорядоченных пар значений переменных,
    образующих это уравнение в верное равенство.
    Уравнения с двумя переменными имеет, как
    правило, бесконечно много решений. Исключения
    составляют, например, такие уравнения, как х2+(
    у    2– 4 )2= 0 или
    2х    2+ у2= 0.
    Первое из них имеет два решения (0; -2) и (0; 2),
    второе – одно решение (0;0).
    Уравнение х4+ у4+3 = 0 вообще не имеет
    решений. Представляет интерес, когда значениями
    переменных в уравнении служат целые числа. Решая
    такие уравнения с двумя переменными, находят
    пары целых чисел. В таких случаях говорят, что
    уравнения решено в целых числах.
    Два уравнения, имеющие одно и тоже множество
    решений, называют равносильными уравнениями.
    Например, уравнение х(х + у2) = х + 1 есть
    уравнение третьей степени, так как его можно
    преобразовать в уравнение ху2 + х2- х-1 =
    0, правая часть которого – многочлен
    стандартного вида третьей степени.
    Степенью уравнения     с двумя переменными,
    представленного в виде F(х, у) = 0, где
    F(х,у)-многочлен стандартного вида, называют
    степень многочлена F(х, у).
    Если все решения уравнения с двумя переменными
    изобразить точками в координатной плоскости, то
    получится график уравнения с двумя переменными.
    Графиком уравнения с двумя переменными
    называется множество точек, координаты которых
    служат решениями этого уравнения.
    Так, график уравнения ax + by + c = 0 представляет
    собой прямую, если хотя бы один из коэффициентов
    a     или b не равен нулю(рис.1).
    Если a = b = c = 0, то графиком этого уравнения
    является координатная плоскость(рис.2), если же a = b = 0, а c0, то графиком
    является пустое множество(рис.3).
    График уравнения y = a х2+ by + c
    представляет собой параболу(рис.4),
    график уравнения xy=k (k0 ) – гиперболу(рис.5).
    Графиком уравнения х2+ у2 = r, где x и y – переменные, r – положительное
    число, является окружность с центром в начале
    координат и радиусом равным r(рис.6). Графиком
    уравнения является эллипс, где a и b –
    большая и малая полуоси эллипса (рис.7).
    Построение графиков некоторых уравнений
    облегчается использованием их преобразований.
    Рассмотрим преобразования графиков уравнений
    с двумя переменными     и сформулируем правила, по
    которым выполняются простейшие преобразования
    графиков уравнений
    F (x, y) = 0 (см. «Приложение 1»).
    1) График уравнения F (-x, y) = 0 получается из
    графика уравнения F (x, y) = 0 с помощью симметрии
    относительно оси у.
    2) График уравнения F (x, -y) = 0 получается из
    графика уравнения F (x, y) = 0 с помощью симметрии
    относительно оси х.
    3) График уравнения F (-x, -y) = 0 получается из
    графика уравнения F (x, y) = 0 с помощью центральной
    симметрии относительно начала координат.
    4) График уравнения F (x-а, y) = 0 получается из
    графика уравнения F (x, y) = 0 с помощью перемещения
    параллельно оси х на |a| единиц (вправо, если a
    > 0, и влево, если а < 0). 5) График уравнения F (x, y-b) = 0 получается из графика уравнения F (x, y) = 0 с помощью перемещения на |b| единиц параллельно оси у (вверх, если b
    > 0, и вниз, если b < 0). 6) График уравнения F (аx, y) = 0 получается из графика уравнения F (x, y) = 0 с помощью сжатия к оси у и а раз, если а > 1, и с помощью растяжения от
    оси у в
    раз, если 0 < а < 1. 7) График уравнения F (x, by) = 0 получается из графика уравнения F (x, y) = 0 с помощью с помощью сжатия к оси х в b раз, если b > 1, и с
    помощью растяжения от оси x в раз, если 0 < b < 1. Если график некоторого уравнения повернуть на некоторый угол около начала координат, то новый график будет графиком другого уравнения. Важными являются частные случаи поворота на углы 900 и 450. 8) График уравнения F (x, y) = 0 в результате поворота около начала координат на угол 900 по часовой стрелке переходит в график уравнения F (-y, x) = 0, а против часовой стрелки – в график уравнения F (y, -x) = 0. 9) График уравнения F (x, y) = 0 в результате поворота около начала координат на угол 450 по часовой стрелке переходит в график уравнения F = 0, а
    против часовой стрелки – в график уравнения F = 0.
    Из рассмотренных нами правил преобразования
    графиков уравнений с двумя переменными легко
    получаются правила преобразования графиков
    функций.

    Пример 1    . Покажем, что графиком уравнения     х2
    + у    2 + 2х – 8у + 8 = 0 является окружность (рис.17).
    Преобразуем уравнение следующим образом:
    1) сгруппируем слагаемые, содержащие переменную
    х и содержащие переменную у, и представим
    каждую группу слагаемых в виде полного квадрата
    трехчлена: (х2 + 2х + 1) + (у2-2*4*у + 16) + 8 – 1
    – 16 = 0;
    2) запишем в виде квадрата суммы (разности) двух
    выражений полученные трехчлены: (х + 1)2 + (у –
    4)2 – 9 = 0;
    3) проанализируем, согласно правилам
    преобразования графиков уравнений с двумя
    переменными, уравнение (х + 1)2 + (у – 4)2 =
    32: графиком данного уравнения является
    окружность с центром в точке (-1; 4) и радиусом 3
    единицы.

    Пример 2.     Построим график уравнения х2
    + 4у    2 = 9.
    Представим 4у2 в виде (2у)2, получим
    уравнение х2 + (2у)2 = 9, график которого
    можно получить из окружности х2 + у2 = 9
    сжатием к оси х в 2 раза.
    Начертим окружность с центром в начале
    координат и радиусом 3 единицы.
    Уменьшим в 2 раза расстояние каждой её точки от
    оси Х, получим график уравнения
    х 2+ (2у) 2= 9.
    Мы получили фигуру с помощью сжатия окружности
    к одному из её диаметров(к диаметру, который
    лежит на на оси Х). Такую фигуру называют эллипсом
    (рис.18).

    Пример 3.     Выясним, что представляет собой
    график уравнения х 2 – у2 = 8.
    Воспользуемся формулой F= 0.
    Подставим в данное уравнение вместо Х и вместо У,
    получим:

    У: Что представляет собой график уравнения у = ?
    Д: Графиком уравнения у = является гипербола.
    У: Мы преобразовали уравнение вида х2 – у2=
    8 в уравнение у = .
    Какая линия будет являться графиком данного
    уравнения?
    Д: Значит, и графиком уравнения х 2 – у2
    = 8 является гипербола.
    У: Какие прямые являются асимптотами гиперболы
    у = .
    Д: Асимптотами гиперболы у = являются прямые у = 0 и х = 0.
    У: При выполненном повороте эти прямые перейдут
    в прямые = 0 и =0, т.е в прямые у = х и у
    = – х. (рис.19).

    Пример 4     : Выясним, какой вид примет
    уравнение у = х2параболы при повороте около
    начала координат на угол 900 по часовой
    стрелке.
    Используя формулу F (-у; х) = 0, заменим в уравнении
    у = х2переменную х на – у, а переменную у на
    х. Получим уравнение х = (-у)2, т. е. х = у2(рис.20).
    Мы рассмотрели примеры графиков уравнений
    второй степени с двумя переменными и выяснили,
    что графиками таких уравнений могут быть
    парабола, гипербола, эллипс (в частности
    окружность). Кроме того, графиком уравнения
    второй степени может являться пара прямых
    (пересекающихся или параллельных).Это так
    называемый вырожденный случай. Так графиком
    уравнения х2- у2= 0 является пара
    пересекающихся прямых (рис.21а),
    а графиком уравнения х2- 5х + 6 + 0у = 0-
    параллельных прямых.
    II Закрепление.
    (учащимся выдаются «Карточки-инструкции» по
    выполнению построений графиков уравнений с
    двумя переменными в программе Agrapher (Приложение 2) и карточки
    «Практическое задание» (Приложение
    3) с формулировкой заданий 1-8 Графики уравнений
    к заданиям 4-5 учитель демонстрирует на слайдах).
    Задание1    . Какие из пар (5;4), (1;0), (-5;-4) и (-1; –) являются
    решениями уравнения:
    а) х2 – у2 = 0, б) х3 – 1 = х2 у +
    6у ?
    Решение:
    Подставив в заданное уравнение, поочерёдно
    координаты данных точек убеждаемся, что ни одна
    данная пара не является решением уравнения х 2
    – у2 = 0, а решениями уравнения х3- 1 = х 2у
    + 6у являются пары (5;4), (1;0) и (-1; –).

    Ответ:
    125 – 1 = 100 + 24 (И)
    1 – 1= 0 + 0 (И)
    -125 – 1 =-100 – 24 (Л)
    -1 – 1 = –
    – (И)
    Ответ: а); б) (5;4), (1; 0), (-1; –).

    Задание 2    .     Найдите такие решения уравнения
    ху2 – х2у = 12, в которых значение х
    равно 3.

    Решение:     1)Подставим вместо Х в заданное
    уравнение значение 3.
    2)Получим квадратное уравнение относительно
    переменной У, имеющее вид:
    3у2- 9у = 12.
    4) Решим это уравнение:
    3у2- 9у – 12 = 0
    Д = 81 + 144 = 225

    Ответ    : пары (3;4) и (3;-1) являются решениями
    уравнения ху2- х2у = 12

    Задание3.     Определите степень уравнения:
    а) 2у2- 3х3+ 4х = 2; в) (3 х2+ х)(4х – у2)
    = х;
    б) 5у2- 3у2х2+ 2х3= 0; г) (2у – х2)2
    = х(х2+ 4ху + 1).

    Ответ:     а) 3; б) 5; в) 4; г) 4.

    Задание4.     Какая фигура является графиком
    уравнения:
    а) 2х = 5 + 3у; б) 6 х2- 5х = у – 1; в) 2(х + 1) = х2-
    у;
    г) (х – 1,5)(х – 4) = 0; д) ху – 1,2 = 0; е) х2+ у2=
    9.

    Ответ:     а) прямая (рис.23а);
    б) парабола, ветви которой направлены вверх (рис.23б); в) парабола, ветви
    которой направлены вверх (рис.23в),
    г) две параллельные прямые х = 1,5 и х = 4 (рис.23г); д) гипербола (рис.23д); е) окружность, с
    центром в начале координат, радиусом равным 3 (рис.23е).

    Задание5    .     Напишите уравнение, график
    которого симметричен графику уравнения х2-
    ху + 3 = 0 (рис.24) относительно:
    а) оси х; б) оси у; в)прямой у = х; г) прямой у =
    -х.
    Проверьте с помощью программы Agrapher
    правильность выполнения задания.

    Ответ:     а) х3+ ху + 3 = 0 (рис.24а);
    б) – х3+ ху + 3 = 0 (рис.24б);
    в) у3- ух + 3 = 0 (рис.24в);
    г) (-у3) + ух +3 = 0 (рис.24г).

    Задание6.     Составьте уравнение, график
    которого получается растяжением графика
    уравнения у= х2-3 (рис.25):
    а) от оси х в 2 раза; б) от оси у в 3 раза.
    Проверьте с помощью программы Agrapher
    правильность выполнения задания.

    Ответ:     а)у – х2+ 3 = 0 (рис.25а); б) у-(x)2+ 3 =
    0 (рис.25б).

    Задание7    .     На рисунке (рис.29)
    изображен график уравнения с двумя переменными.
    Найдите по графику (приближенно) два решения:
    а) с одинаковыми значениями х: х = 1; -2;
    б) с противоположными значениями у: у = 1, 2

    Ответ:     а) если х = 1, то у = -2,5 или у = 2,5, если х = -2,
    то у = -3,5 или у = -3,5;
    б если у = 2,то х = 2,если у =-2, то х =-2; если у = 1, то х =
    3,5, если у = -1, то х=-3,5

    Задание8.     Сравните взаимное расположение
    данных прямых и определите, каким
    преобразованием плоскости график первой прямой
    переводится в график второй прямой.
    а) 3х-7у = 5 и 3(х-1)-7у = 5
    б) 3х-7у = 5 и 3(х-1)-7(у+3) =5
    в) 3х-7у = 5 и 3х + 7у = 5
    г) 3х-7у = 5 и -3х-7у = 5
    д) 3х-7у = 5 и 3х-7у = -5
    е) 3х-7у = 5 и 7х-3у = 5

    Ответ:     а) прямые параллельны, перемещение
    параллельно оси х на 1 единицу вправо (рис.26а);
    б) прямые параллельны, перемещение параллельно
    оси х на 1 единицу вправо и параллельно оси у на 3
    единицы вниз (рис.26б);
    в) прямые пересекаются, симметричное
    отображение относительно оси х (рис.26в);
    г) прямые пересекаются, симметричное
    отображение относительно оси у (рис.26г);
    д) прямые параллельны, симметричное
    отображение относительно начала координат (рис.26д);
    е) прямые пересекаются, поворот около начала
    координат на 90по часовой стрелке и симметричное
    отображение относительно оси х (рис.26е).

    III. Самостоятельная работа обучающего
    характера.
    (учащимся выдаются карточки «Самостоятельная
    работа» и «Отчётная таблица результатов
    самостоятельной работы», в которую учащиеся
    записывают свои ответы и после самопроверки, по
    предложенной схеме оценивают работу) Приложение 4..
    I.вариант.
    1.Определите степень уравнения:
    а) 5х3-3х2у2+ 8 = 0; б) (х + у + 1) 2-(х-у)
    2= 2(х+у).
    2. Является ли пара чисел (-2;3) решением
    уравнения:
    а) х3+ у3-5х2 = 0; б) х4+4х3у
    +6х2у2+ 4ху3+ у4= 1.
    3. Найдите множество решений уравнения:
    х4+ у4-8х2+ 16 = 0.
    4. Какой кривой (гиперболой, окружностью,
    параболой) является множество точек, если
    уравнение этой кривой имеет вид:
    а) (х + 1)2+ (у-1)2= 4;
    б) х2-у2= 1;
    в) х – у2= 9.
    (проверьте с помощью программы Agrapher
    правильность выполнения задания)
    5. Постройте, используя программуAgrapher, график
    уравнения:
    х2- 2х + у2- 4у = 20.
    Укажите координаты центра окружности и её
    радиус.
    6. Как следует на координатной плоскости
    переместить гиперболу у = , чтобы её
    уравнение приняло вид х2- у2= 16 ?
    Проверьте свой ответ, выполнив графическое
    построение, используя программу Agrapher.
    7.Как следует на координатной плоскости
    переместить параболу у = х2, чтобы её
    уравнение приняло вид х = у2- 1

    II вариант.
    1.Определите степень уравнения:
    а)3ху = (у-х3)(х2+у); б) 2у3+5х2у2-
    7 = 0.
    2. Является ли пара чисел (-2;3) решением
    уравнения:
    а) х2-у2-3х = 1; б) 8х3+ 12х2у +
    6ху2+у3=-1.
    3. Найдите множество решений уравнения:
    х2+ у2-2х – 8у + 17 = 0.
    4. Какой кривой (гиперболой, окружностью,
    параболой) является множество точек, если
    уравнение этой кривой имеет вид:
    а) (х-2)2+ (у + 2)2=9
    б) у2- х2=1
    в) х = у2 – 1.
    (проверьте с помощью программы Agrapher
    правильность выполнения задания)
    5. Постройте, используя программуAgrapher, график
    уравнения:
    х2+ у2- 6х + 10у = 2.
    6.Как следует на координатной плоскости
    переместить гиперболу у = , чтобы её уравнение приняло
    вид х2- у2= 28 ?
    7.Как следует на координатной плоскости
    переместить параболу у = х2, чтобы её
    уравнение приняло вид х = у2+ 9.
    25.01.2007

  2. Faujin Ответить

    Как определить степень уравнения
    Уравнение представляет собой математическое соотношение, которое отражает равенство двух алгебраических выражений. Чтобы определить его степень, необходимо внимательно посмотреть на все присутствующие в нем переменные.

    Инструкция
    1
    Решение любого уравнения сводится к нахождению таких значений переменной х, которые после подстановки в исходное уравнение дают верное тождество – выражение, не вызывающее никаких сомнений.
    2
    Степень уравнения – это максимальный или наибольший показатель степени переменной, присутствующей в уравнении. Чтобы ее определить, достаточно обратить внимание на значение степеней имеющихся переменных. Максимальная величина и определяет степень уравнения.
    3
    Уравнения бывают разных степеней. К примеру, линейные уравнения вида ax+b=0 имеют первую степень. В них присутствуют только неизвестные в названной степени и числа. Важно отметить отсутствие дробей с неизвестной величиной в знаменателе. Любое линейное уравнение сводится к изначальному виду: ax+b=0, где b может являться любым числом, а a – любым, но не равным 0. Если вы привели запутанное и длинное выражение к надлежащему виду ax+b=0, можно с легкостью найти не более одного решения.
    4
    Если в уравнении есть неизвестное во второй степени, оно является квадратным. Кроме того, в нем могут быть и неизвестные в первой степени, и числа, и коэффициенты. Но в таком уравнении отсутствуют дроби с переменной в знаменателе. Любое квадратное уравнение, подобно линейному, сводится к виду: ax^2+bx +c=0. Здесь a, b и с – любые числа, при этом число a не должно быть равным 0. Если, упрощая выражение, вы обнаружили уравнение вида ax^2+bx+c=0, дальнейшее решение довольно простое и предполагает не более двух корней. В 1591 году Франсуа Виет вывел формулы для нахождения корней квадратных уравнений. А Евклид и Диофант Александрийский, Аль-Хорезми и Омар Хайям использовали геометрические способы нахождения их решений.
    5
    Существует также и третья группа уравнений, которая называется дробными рациональными уравнениями. Если в исследуемом уравнении присутствуют дроби с переменной в знаменателе, то это уравнение – дробное рациональное или же просто дробное. Чтобы найти решения таких уравнений, надо всего лишь уметь с помощью упрощений и преобразований сводить их к рассмотренным двум известным типам.
    6
    Все остальные уравнения составляют четвертую группу. Их больше всего. Сюда входят и кубические, и логарифмические, и показательные, и тригонометрические их разновидности.
    7
    Решение кубических уравнений состоит также в упрощении выражений и нахождении не более 3 корней. Уравнения, имеющие более высокую степень, решаются разными способами, в том числе и графическим, когда на основе известных данных рассматриваются построенные графики функций и отыскиваются точки пересечений линий графиков, координаты которых и являются их решениями.

  3. Вендетта Ответить

    В курсе математики 7 класса впервые встречаются с уравнениями с двумя переменными, но изучаются они лишь в контексте систем уравнений с двумя неизвестными. Именно поэтому из поля зрения выпадает целый ряд задач, в которых на коэффициенты уравнения введены некоторые условия, их ограничивающие. Кроме того, остаются без внимания и методы решения задач типа «Решить уравнение в натуральных или целых числах», хотя  в материалах ЕГЭ и на вступительных экзаменах задачи такого рода встречаются все чаще и чаще.
    Какое уравнение будет называться уравнением с двумя переменными?
    Так, например, уравнения 5x + 2y = 10, x2 + y2 = 20 или xy = 12 являются уравнениями с двумя переменными.
    Рассмотрим уравнение 2x – y = 1. Оно обращается в верное равенство при x = 2 и y = 3, поэтому эта пара значений переменных является решением рассматриваемого уравнения.
    Таким образом, решением любого уравнения с двумя переменными является множество упорядоченных пар (x; y), значений переменных, которые это уравнение обращают в верное числовое равенство.
    Уравнение с двумя неизвестными может:
    а) иметь одно решение. Например, уравнение x2 + 5y2 = 0 имеет единственное решение (0; 0);
    б) иметь несколько решений. Например, (5 -|x|) 2 + (|y| – 2)2 = 0 имеет 4 решения: (5; 2), (-5; 2), (5; -2), (-5; -2);
    в) не иметь решений. Например, уравнение x2 + y2 + 1 = 0 не имеет решений;
    г) иметь бесконечно много решений. Например, x + y = 3. Решениями этого уравнения будут являться числа, сумма которых равна 3. Множество решений данного уравнения можно записать в виде (k; 3 – k), где k – любое действительное число.
    Основными методами решения уравнений с двумя переменными являются методы, основанные на разложении выражений на множители, выделение полного квадрата, использование свойств квадратного уравнения, ограниченности выражений, оценочные методы. Уравнение, как правило, преобразовывают к виду, из которого можно получить систему для нахождения неизвестных.
    Разложение на множители
    Пример 1.
    Решить уравнение: xy – 2 = 2x – y.
    Решение.
    Группируем слагаемые с целью разложения на множители:
    (xy + y) – (2x + 2) = 0. Из каждой скобки вынесем общий множитель:
    y(x + 1) – 2(x + 1) = 0;
    (x + 1)(y – 2) = 0. Имеем:
    y = 2, x – любое действительное число или x = -1, y – любое действительное число.
    Таким образом, ответом являются все пары вида (x; 2), x € R и (-1; y), y € R.
    Равенство нулю неотрицательных чисел
    Пример 2.
    Решить уравнение: 9×2 + 4y2 + 13 = 12(x + y).
    Решение.
    Группируем:
    (9×2 – 12x + 4) + (4y2 – 12y + 9) = 0. Теперь каждую скобку можно свернуть по формуле квадрата разности.
    Получим:
    (3x – 2)2 + (2y – 3)2 = 0.
    Сумма двух неотрицательных выражений равна нулю, только если 3x – 2 = 0 и 2y – 3 = 0.
    А значит, x = 2/3 и y = 3/2.
    Ответ: (2/3; 3/2).
    Оценочный метод
    Пример 3.
    Решить уравнение: (x2 + 2x + 2)(y2 – 4y + 6) = 2.
    Решение.
    В каждой скобке выделим полный квадрат:
    ((x + 1)2 + 1)((y – 2)2 + 2) = 2. Оценим значение выражений, стоящих в скобках.
    (x + 1)2 + 1 ? 1 и (y – 2)2 + 2 ? 2, тогда левая часть уравнения всегда не меньше 2. Равенство возможно, если:
    (x + 1)2 + 1 = 1 и (y – 2)2 + 2 = 2, а значит x = -1, y = 2.
    Ответ: (-1; 2).
    Познакомимся с еще одним методом решения уравнений с двумя переменными второй степени. Этот метод заключается в том, что уравнение рассматривается как квадратное относительно какой-либо переменной.
    Пример 4.
    Решить уравнение: x2 – 6x + y – 4vy + 13 = 0.
    Решение.
    Решим уравнение как квадратное относительно x. Найдем дискриминант:
    D = 36 – 4(y – 4vy + 13) = -4y + 16vy – 16 = -4(vy – 2)2. Уравнение будет иметь решение только при D = 0, т. е. в том случае, если y = 4. Подставляем значение y в исходное уравнение и находим, что x = 3.
    Ответ: (3; 4).
    Часто в уравнениях с двумя неизвестными указывают ограничения на переменные.
    Пример 5.
    Решить уравнение в целых числах: x2 + 5y2 = 20x + 2.
    Решение.
    Перепишем уравнение в виде x2 = -5y2 + 20x + 2. Правая часть полученного уравнения при делении на 5 дает в остатке 2. Следовательно, x2 не делится на 5. Но квадрат числа, не делящегося на 5, дает в остатке 1 или 4. Таким образом, равенство невозможно и решений нет.
    Ответ: нет корней.
    Пример 6.
    Решить уравнение: (x2 – 4|x| + 5)(y2 + 6y + 12) = 3.
    Решение.
    Выделим полные квадраты в каждой скобке:
    ((|x| – 2)2 + 1)((y + 3)2 + 3) = 3. Левая часть уравнения всегда больше или равна 3. Равенство возможно при условии |x| – 2 = 0 и y + 3 = 0. Таким образом, x = ± 2, y = -3.
    Ответ: (2; -3) и (-2; -3).
    Пример 7.
    Для каждой пары целых отрицательных чисел (x; y), удовлетворяющих уравнению
    x2 – 2xy + 2y2 + 4y = 33, вычислить сумму (x + y). В ответе указать наименьшую из сумм.
    Решение.
    Выделим полные квадраты:
    (x2 – 2xy + y2) + (y2 + 4y + 4) = 37;
    (x – y)2 + (y + 2)2 = 37. Так как x и y – целые числа, то их квадраты также целые числа. Сумму квадратов двух целых чисел, равную 37, получим, если складываем 1 + 36. Следовательно:
    (x – y)2 = 36 и (y + 2)2 = 1
    или
    (x – y)2 = 1 и (y + 2)2 = 36.
    Решая эти системы и учитывая, что x и y – отрицательные, находим решения: (-7; -1), (-9; -3), (-7; -8), (-9; -8).
    Ответ: -17.
    Не стоит отчаиваться, если при решении уравнений с двумя неизвестными у вас возникают трудности. Немного практики, и вы сможете справиться с любыми уравнениями.
    Остались вопросы? Не знаете, как решать уравнения с двумя переменными?
    Чтобы получить помощь репетитора – зарегистрируйтесь.
    Первый урок – бесплатно!
    Зарегистрироваться
    © blog.tutoronline.ru,
    при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.

  4. DEAD GUEST Ответить

    «Корень n-ой степени» – Операция извлечение корня является обратной по отношению к возведению в соответствующую степень. Какая кривая является графиком функции y = x? ? -Показатель корня. Операцию нахождения корня из неотрицательного числа называют извлечением корня. Решите уравнения: Рассмотрим уравнение: Понятие корня n – й степени из действительного числа.
    «Решение уравнений высших степеней» – Рефлексия. Физкультминутка. Найти область определения функции. РАЗМИНКА (проверка д/з). Задания первого этапа. Что значит решить уравнение? Какие виды уравнений записаны на доске? Схема решения линейного уравнения квадратного уравнения биквадратного уравнения. Что записано на доске? Что называется корнем уравнения?
    «Степени двойки» – Переведём число 1998 из десятичной в двоичную систему. Правила перевода из одной системы счисления в другую. 1998 = 1024 +512+256+128+64+16 = =2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2. 3. Сложим десятичные значения. Таким образом: Следовательно, двоичная запись числа 1998 – 11111010000. Теперь переведём в десятичную запись 1011011101.
    «Степень с целым показателем» – Вычислите. Расположите в порядке убывания. Представьте выражение x-12 в виде произведения двух степеней с основанием x, если один множитель известен. При каких значениях х верно равенство. Представьте выражение в виде степени. Упростите.
    «Степени чисел» – Понятие степени с натуральным показателем сформировалось ещё у древних народов. Франсуа Виет ввёл буквы для обозначения в уравнениях коэффициенты неизвестных. Современные определения и обозначения степени берут начало от работ английских математиков. Степени. Диофант вводит символы для первых шести степеней неизвестного и обратных им величин.
    «Степень в корне» – Решить уравнение хn = a; Решить уравнение. Решите уравнение х4 = 1 графически. Тема: Понятие корня n – й степени из действительного числа. Где n – показатель корня, а – подкоренное число. графики пересекаются в точках (-1; 0) и (1; 0). Проблема. Аналогично, что уравнение х4 = 4 имеет два корня -2 и 2.

  5. эльвина Ответить

    Уравнение может содержать не одну, а две переменных. Понятно, что такие уравнения называются уравнениями с двумя переменными.
    Система уравнений – это два и более уравнений, которыми можно манипулировать для нахождения общих решений. Система из двух уравнений вкючает в себя две переменных, значения которых являются общими для обоих уравнений. С помощью одного уравнения системы решается другое, а в итоге решаются оба уравнения системы.
    Способы решения системы уравнений первой степени.
    1. Решение методом подстановки.
    Суть в том, что в системе уравнений выбираете наиболее простое, в котором одну переменную выражаете через другую. Результат подставляете во второе уравнение, благодаря чему преобразуете его в более простое уравнение с одной переменной. Вычисляете это уравнение и получаете значение одной из переменных. Подставляете его в первое уравнение и получаете значение второй переменной. Так вы решаете всю систему уравнений.
    Пример: Решим систему уравнений
    ¦x + y = 1
    ¦2x – y = 2
    Решение:
    Первое уравнение системы проще второго – его и используем.
    Выразим в нем x через у:
    x = 1 – y
    Подставляем это значение x в наше второе уравнение и находим значение y:
    2(1 – y) – y = 2
    2 – 2y – y = 2
    2 – 3y = 2
    3y = 2 – 2
    3y = 0
    y = 0.
    Мы получили значение y. Подставляем его в наше первое уравнение и находим теперь уже значение x:
    x + 0 = 1
    x = 1
    Мы нашли значения обеих переменных.
    Ответ:
    ¦x = 1
    ¦y = 0
    2. Решение методом сложения.
    Этот метод целесообразно применять, если при сложении одно из неизвестных пропадает.
    Пример 1: Решим систему уравнений
    ¦x + y = 5
    ¦x – y = 1
    Решение.
    Сложим (вычтем) почленно оба уравнения системы:
    ¦(x + y) + (x – y) = 5 + 1
    ¦(x + y) – (x – y) = 5 – 1
    Раскрываем скобки в обоих уравнениях и сводим подобные члены. В результате в первом уравнении пропадает у, во втором х. Мы получаем уравнения с одной переменной, которые проще решать:
    ¦ x + y + x – y = 6
    ¦ x + y – x + y = 4
    ↓
    ¦2x = 6
    ¦2y = 4
    ↓
    ¦x = 6 : 2
    ¦y = 4 : 2
    ↓
    ¦x = 3
    ¦y = 2
    Пример решен.
    Необязательно производить взаимное сложение и вычитание двух уравнений системы. Часто достаточно бывает произвести одно из двух действий, чтобы вычислить значение одной из двух переменных. А зная одну переменную, уже легко найти и вторую.
    Пример 2. Решить систему уравнений
    ¦2х + 4у = 26
    ¦8х + 4у = 44
    В обоих уравнениях есть число 4у. Значит, мы можем применить метод сложения. При этом произвести не взаимное сложение, а совершить лишь одно действие: вычесть из первого уравнения второе, чтобы 4у исчезло и чтобы в результате мы получили уравнение с одной переменной:
    2х + 4у – 8х – 4у = 26 – 44.
    -6х = -18
    х = -18 : (-6)
    х = 3
    Теперь можем найти и значение у, подставив значение х в любое из двух уравнений системы:
    2 · 3 + 4у = 26
    6 + 4у = 26
    4у = 20
    у = 20 : 4
    у = 5
    Ответ: х = 3, у = 5.
    Однако рассмотрим еще один пример.
    Пример 3: Решим систему уравнений
    ¦3х + 5у = 21
    ¦8х – 3у = 7
    Здесь нет переменных с одинаковыми коэффициентами, чтобы при вычитании они исчезли. Что делать в этом случае? Для таких случаев придумано оригинальное решение: умножим почленно первое уравнение на 3, а второе на 5. От этого истина не пострадает, потому что мы просто получим равносильные уравнения. Зато благодаря этому приему у нас появятся одинаковые переменные 15у:
    ¦(3х + 5у = 21) · 3
    ¦(8х – 3у = 7) · 5
    ↓
    ¦3 · 3х + 3 · 5у = 3 · 21
    ¦5 · 8х – 5 · 3у = 5 · 7
    ↓
    ¦9х + 15у = 63
    ¦40х – 15у = 35
    Итак, у нас появились одинаковые переменные и можем сложить два уравнения, чтобы прийти к уравнению с одной переменной:
    9х + 15у + 40х – 15у = 63 + 35
    49х = 98
    х = 2
    Осталось найти значение второй переменной – подставив значение х, например, в первое уравнение системы:
    3 · 2 + 5у = 21
    6 + 5у = 21
    5у = 21 – 6
    5у = 15
    у = 3.
    Ответ: х = 2; у = 3.
    Опять же не всегда нужно преобразовывать оба уравнения системы так, как было в предыдущем примере. Бывает и так, что достаточно изменить лишь одно из уравнений.
    Пример 4. Решим систему уравнений:
    ¦3х – 4у = 7
    ¦х + 3у = 11
    Здесь достаточно второе уравнение умножить на –3. Тогда мы получим число –3х, а при сложении двух уравнений придем к уравнению с одной переменной.
    Итак, умножаем второе уравнение на –3:
    (х + 3у = 11) · (–3),
    –3х – 9у = –33.
    Теперь складываем два уравнения, приходим к уравнению с одной переменной у и решаем его:
    3х – 4у –3х – 9у = 7 – 33,
    –13у = –26,
    у = 2.
    И находим значение х. Это проще сделать во втором уравнении:
    х + 3 · 2 = 11,
    х + 6 = 11,
    х = 5.
    Ответ: х = 5; у = 2.
    3. Решение методом введения новой переменной.
    Пример. Решить систему уравнений
    ¦ 2 3
    ¦———— + ———— = 2
    ¦ х – 3у 2х + у
    ¦
    ¦ 8 9
    ¦———— – ———— = 1
    ¦ х – 3у 2х + у
    Перед нами система сложных уравнений, осложненных дробными числами. Наша задача – упростить их, чтобы потом решить. Если применить какой-нибудь из первых двух методов, получатся еще более сложные уравнения. Зато хорошо подходит метод введения новой переменной, благодаря которому мы целую дробь можем заменить одной переменной. Как это сделать?
    Обратите внимание: у первых чисел обоих уравнений одинаковые знаменатели х – 3у, при этом их числители делятся на 2. У вторых чисел тоже одинаковые знаменатели 2х + у, а их числители делятся на 3. Этим и воспользуемся.
    1) Выпишем снова нашу систему уравнений, разложив на множители числители второго уравнения и вынеся их за дробь:
    ¦ 2 3
    ¦———— + ———— = 2
    ¦ х – 3у 2х + у
    ¦
    ¦ 2 3
    ¦4 · ———— – 3 · ———— = 1
    ¦ х – 3у 2х + у
    Теперь в обоих уравнениях у нас абсолютно одинаковые первые дроби и абсолютно одинаковые вторые дроби.
    2) Заменим эти дроби новыми переменными a и b следующим образом:
    2 3
    ———— = а, ———— = b.
    х – 3у 2х + у
    Так мы существенно упрощаем уравнения, которые обретают совсем иной вид:
    ¦ а + b = 2
    ¦4а – 3b = 1
    3) Применяем уже известный нам метод подстановки.
    Первое уравнение проще, поэтому сначала выражаем в нем а через b:
    а = 2 – b.
    Подставляем полученное значение а во второе уравнение, раскрываем скобки, приводим подобные члены и вычисляем численное значение b:
    4 · (2 – b) – 3b = 1,
    8 – 4b – 3b = 1,
    8 – 7b = 1,
    7b = 8 – 1,
    7b = 7,
    b = 1.
    Раз нам известно численное значение b, то мы легко можем найти и численное значение а. Это проще сделать с помощью первого уравнения:
    а + b = 2,
    а + 1 = 2,
    а = 2 – 1,
    а = 1.
    Итак:
    а = 1, b = 1.
    Вписываем в дроби эти значения а и b:
    ¦ 2
    ¦———— = 1
    ¦ х – 3у
    ¦
    ¦ 3
    ¦———— = 1
    ¦ 2х + у
    4) Преобразуем эти уравнения по известному вам правилу: неизвестные влево, известные вправо:
    ¦ х – 3у = 2 : 1
    ¦2х + у = 3 : 1
    ↓
    ¦ х – 3у = 2
    ¦2х + у = 3
    5) Решаем эту систему уравнений снова с помощью метода подстановки. Для этого в первом уравнении х выражаем через у:
    х = 2 + 3у.
    Подставляем во второе уравнение и находим у:
    2 · (2 + 3у) + у = 3
    4 + 6у + у = 3
    7у = 3 – 4
    7у = –1
    у = –1/7
    И с помощью первого уравнения находим х:
    х – 3у = 2
    х – 3 · (–1/7) = 2
    х + 3/17 = 2
    х = 2 – 3/7
    х = 11/7.
    Мы нашли значения х и у в нашей исходной системе уравнений – а значит, решили ее.
    Ответ: х = 11/7, у = –1/7
    ПРИМЕЧАНИЕ.
    Как видно из этого примера, нередки случаи, когда при решении системы уравнений надо последовательно применить сразу несколько методов.

Добавить ответ

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *