В какой форме представляются вещественные числа в компьютере?

19 ответов на вопрос “В какой форме представляются вещественные числа в компьютере?”

  1. Fenris Ответить

    Пример 2. Выполнить вычитание двоичных нормализованных чисел 0.10101*210 и 0.11101*21. Разность порядков уменьшаемого и вычитаемого здесь равна единице, поэтому перед вычитанием мантисса второго числа сдвигается на один разряд вправо:
    Результат получился не нормализованным, поэтому его мантисса сдвигается влево на два разряда с соответствующим уменьшением порядка на две единицы: 0.1101*20.
    Умножение
    При умножении двух нормализованных чисел их порядки складываются, а мантиссы перемножаются.
    Пример 3. Выполнить умножение двоичных нормализованных чисел:
    (0.11101*2101)*(0.1001*211) = (0.11101*0.1001)* 2(101+11) = 0.100000101*21000.
    Деление
    При делении двух нормализованных чисел из порядка делимого вычитается порядок делителя, а мантисса делимого делится на мантиссу делителя. Затем в случае необходимости полученный результат нормализуется.
    Пример 4. Выполнить деление двоичных нормализованных чисел:
    0.1111*2100 : 0.101*211 = (0.1111 : 0.101) * 2(100–11) = 1.1*21 = 0.11•210.
    Использование представления чисел с плавающей точкой существенно усложняет схему арифметико-логического устройства.
    Упражнения
    4.1. Используя Правило Счета, запишите первые 20 целых чисел в десятичной, двоичной, троичной, пятеричной и восьмеричной системах счисления.
    [ Ответ ]
    4.2. Какие целые числа следуют за числами:
    а) 12;
    е) 18;
    п) F16;
    б) 1012;
    ж) 78;
    м) 1F16;
    в) 1112;
    з) 378;
    н) FF16;
    г) 11112;
    и) 1778;
    о) 9AF916;
    д) 1010112;
    к) 77778;
    п) CDEF16 ?
    [ Ответ ]
    4.3. Какие целые числа предшествуют числам:
    а) 102;
    е) 108;
    л) 1016;
    б) 10102;
    ж) 208;
    м)2016;
    в) 10002;
    з) 1008;
    н) 10016;
    г) 100002;
    и) 1108;
    о) A1016;
    д) 101002;
    к) 10008;
    п) 100016 ?
    [ Ответ ]
    4.4. Какой цифрой заканчивается четное двоичное число? Какой цифрой заканчивается нечетное двоичное число? Какими цифрами может заканчиваться четное троичное число?
    [ Ответ ]
    4.5. Какое наибольшее десятичное число можно записать тремя цифрами:
    o а) в двоичной системе;
    o б) в восьмеричной системе;
    o в) в шестнадцатеричной системе?
    [ Ответ ]
    4.6. В какой системе счисления 21 + 24 = 100?
    Решение. Пусть x — искомое основание системы счисления. Тогда 100x = 1 · x2 + 0 · x1 + 0 · x0, 21x = 2 · x1 + 1 · x0, 24x = 2 · x1 + 4 · x0. Таким образом, x2 = 2x + 2x + 5 или x2 – 4x – 5 = 0. Положительным корнем этого квадратного уравнения является x = 5.
    Ответ. Числа записаны в пятеричной системе счисления.
    4.7. В какой системе счисления справедливо следующее:
    o а) 20 + 25 = 100;
    o б) 22 + 44 = 110?
    [ Ответ ]
    4.8. Десятичное число 59 эквивалентно числу 214 в некоторой другой системе счисления. Найдите основание этой системы.
    [ Ответ ]
    4.9. Переведите числа в десятичную систему, а затем проверьте результаты, выполнив обратные переводы:
    а) 10110112;
    е) 5178;
    л) 1F16;
    б) 101101112;
    ж) 10108;
    м) ABC16;
    в) 0111000012;
    з) 12348;
    н) 101016;
    г) 0,10001102;
    и) 0,348;
    о) 0,А416;
    д) 110100,112;
    к) 123,418;
    п) 1DE,C816.
    [ Ответ ]
    4.10. Переведите числа из десятичной системы в двоичную, восьмеричную и шестнадцатеричную, а затем проверьте результаты, выполнив обратные переводы:
    а) 12510; б) 22910; в) 8810; г) 37,2510; д) 206,12510.
    [ Ответ ]
    4.11. Переведите числа из двоичной системы в восьмеричную и шестнадцатеричную, а затем проверьте результаты, выполнив обратные переводы:
    а) 1001111110111,01112;
    г) 1011110011100,112;
    б) 1110101011,10111012;
    д) 10111,11111011112;
    в) 10111001,1011001112;
    е) 1100010101,110012.
    [ Ответ ]
    4.12. Переведите в двоичную и восьмеричную системы шестнадцатеричные числа:
    а) 2СE16; б) 9F4016; в) ABCDE16; г) 1010,10116; д) 1ABC,9D16.
    [ Ответ ]
    4.13. Выпишите целые числа:
    o а) от 1011012 до 1100002 в двоичной системе;
    o б) от 2023 до 10003 в троичной системе;
    o в) от 148 до 208 в восьмеричной системе;
    o г) от 2816 до 3016 в шестнадцатеричной системе.
    [ Ответ ]
    4.14. Для десятичных чисел 47 и 79 выполните цепочку переводов из одной системы счисления в другую:
    [ Ответ ]
    4.15. Составьте таблицы сложения однозначных чисел в троичной и пятеричной системах счисления.
    [ Ответ ]
    4.16. Составьте таблицы умножения однозначных чисел в троичной и пятеричной системах счисления.
    [ Ответ ]
    4.17. Сложите числа, а затем проверьте результаты, выполнив соответствующие десятичные сложения:
    а) 10111012 и 11101112;
    д) 378 и 758;
    и) A16 и F16;
    б) 1011,1012 и 101,0112;
    е) 1658 и 378;
    к) 1916 и C16;
    в) 10112, 112 и 111,12;
    ж) 7,58 и 14,68;
    л) A,B16 и E,F16;
    г) 10112 , 11,12 и 1112;
    з) 68, 178 и 78;
    м) E16, 916 и F16.
    [ Ответ ]
    4.18. В каких системах счисления выполнены следующие сложения? Найдите основания каждой системы:
    [ Ответ ]
    4.19. Найдите те подстановки десятичных цифр вместо букв, которые делают правильными выписанные результаты (разные цифры замещаются разными буквами):
    [ Ответ ]
    4.20. Вычтите:
    а) 1112 из 101002;
    д) 158 из 208;
    и) 1А16 из 3116;
    б) 10,112 из 100,12;
    е) 478 из 1028;
    к) F9E16 из 2А3016;
    в) 111,12 из 100102;
    ж) 56,78 из 1018;
    л) D,116 из B,9216;
    г) 100012 из 1110,112;
    з) 16,548 из 30,018;
    м) ABC16 из 567816.
    [ Ответ ]
    4.21. Перемножьте числа, а затем проверьте результаты, выполнив соответствующие десятичные умножения:
    а) 1011012 и 1012;
    д) 378 и 48;
    б) 1111012 и 11,012;
    е) 168 и 78;
    в) 1011,112 и 101,12;
    ж) 7,58 и 1,68;
    г) 1012 и 1111,0012;
    з) 6,258 и 7,128.
    [ Ответ ]
    4.22. Разделите 100101102 на 10102 и проверьте результат, умножая делитель на частное.
    [ Ответ ]
    4.23. Разделите 100110101002 на 11002 и затем выполните соответствующее десятичное и восьмеричное деление.
    [ Ответ ]
    4.24. Вычислите значения выражений:
    o а) 2568 + 10110,12 * (608 + 1210) – 1F16;
    o б) 1AD16 – 1001011002 : 10102 + 2178;
    o в) 101010 + (10616 – 110111012) 128;
    o г) 10112 * 11002 : 148 + (1000002 – 408).
    [ Ответ ]
    4.25. Расположите следующие числа в порядке возрастания:
    o а) 748, 1100102, 7010, 3816;
    o б) 6E16, 1428, 11010012, 10010;
    o в) 7778, 1011111112, 2FF16, 50010;
    o г) 10010, 11000002, 6016, 1418.
    [ Ответ ]
    4.26. Запишите уменьшающийся ряд чисел +3, +2, …, -3 в однобайтовом формате:
    o а) в прямом коде;
    o б) в обратном коде;
    o в) в дополнительном коде.
    [ Ответ ]
    4.27. Запишите числа в прямом коде (формат 1 байт):
    а) 31; б) -63; в) 65; г) -128.
    [ Ответ ]
    4.28. Запишите числа в обратном и дополнительном кодах (формат 1 байт):
    а) -9; б) -15; в) -127; г) -128.
    [ Ответ ]
    4.29. Найдите десятичные представления чисел, записанных в дополнительном коде:
    а) 1 1111000; б) 1 0011011; в) 1 1101001; г) 1 0000000.
    [ Ответ ]
    4.30. Найдите десятичные представления чисел, записанных в обратном коде:
    а) 1 1101000; б) 1 0011111; в) 1 0101011; г) 1 0000000.
    [ Ответ ]
    4.31. Выполните вычитания чисел путем сложения их обратных (дополнительных) кодов в формате 1 байт. Укажите, в каких случаях имеет место переполнение разрядной сетки:
    а) 9 – 2;
    г) -20 – 10;
    ж) -120 – 15;
    б) 2 – 9;
    д) 50 – 25;
    з) -126 – 1;
    в) -5 – 7;
    е) 127 – 1;
    и) -127 – 1.
    [ Ответ ]

  2. Mazushakar Ответить

    Как компьютер выполняет арифметические действия над нормализованными числами?
    К началу выполнения арифметического действия операнды операции помещаются в соответствующие регистры АЛУ.
    Сложение и вычитание
    При сложении и вычитании сначала производится подготовительная операция, называемая выравниванием порядков.
    В процессе выравнивания порядков мантисса числа с меньшим порядком сдвигается в своем регистре вправо на количество разрядов, равное разности порядков операндов. После каждого сдвига порядок увеличивается на единицу.
    В результате выравнивания порядков одноименные разряды чисел оказываются расположенными в соответствующих разрядах обоих регистров, после чего мантиссы складываются или вычитаются. В случае необходимости полученный результат нормализуется путем сдвига мантиссы результата влево. После каждого сдвига влево порядок результата уменьшается на единицу.
    Пример 1. Сложить двоичные нормализованные числа 0.10111 . 2-1 и 0.11011 . 210. Разность порядков слагаемых здесь равна трем, поэтому перед сложением мантисса первого числа сдвигается на три разряда вправо:

    Пример 2. Выполнить вычитание двоичных нормализованных чисел 0.10101 . 210 и 0.11101 . 21. Разность порядков уменьшаемого и вычитаемого здесь равна единице, поэтому перед вычитанием мантисса второго числа сдвигается на один разряд вправо:

    Результат получился не нормализованным, поэтому его мантисса сдвигается влево на два разряда с соответствующим уменьшением порядка на две единицы: 0.1101 . 20.
    Умножение
    При умножении двух нормализованных чисел их порядки складываются, а мантиссы перемножаются.
    Пример 3. Выполнить умножение двоичных нормализованных чисел:
    (0.11101 . 2101) . (0.1001 . 211) = (0.11101 . 0.1001) . 2(101+11) = 0.100000101 . 21000.
    Деление
    При делении двух нормализованных чисел из порядка делимого вычитается порядок делителя, а мантисса делимого делится на мантиссу делителя. Затем в случае необходимости полученный результат нормализуется.
    Пример 4. Выполнить деление двоичных нормализованных чисел:
    0.1111 . 2100 : 0.101 . 211 = (0.1111 : 0.101) . 2(100-11) = 1.1 . 21 = 0.11 . 210.
    Использование представления чисел с плавающей точкой существенно усложняет схему арифметико-логического устройства.
    Упражнения
    4.1. Используя Правило Счета, запишите первые 20 целых чисел в десятичной, двоичной, троичной, пятеричной и восьмеричной системах счисления.
    [ Ответ ]
    4.2. Какие целые числа следуют за числами:
    а) 12;
    е) 18;
    п) F16;
    б) 1012;
    ж) 78;
    м) 1F16;
    в) 1112;
    з) 378;
    н) FF16;
    г) 11112;
    и) 1778;
    о) 9AF916;
    д) 1010112;
    к) 77778;
    п) CDEF16 ?
    [ Ответ ]
    4.3. Какие целые числа предшествуют числам:
    а) 102;
    е) 108;
    л) 1016;
    б) 10102;
    ж) 208;
    м)2016;
    в) 10002;
    з) 1008;
    н) 10016;
    г) 100002;
    и) 1108;
    о) A1016;
    д) 101002;
    к) 10008;
    п) 100016 ?
    [ Ответ ]
    4.4. Какой цифрой заканчивается четное двоичное число? Какой цифрой заканчивается нечетное двоичное число? Какими цифрами может заканчиваться четное троичное число?
    [ Ответ ]
    4.5. Какое наибольшее десятичное число можно записать тремя цифрами:
    o а) в двоичной системе;
    o б) в восьмеричной системе;
    o в) в шестнадцатеричной системе?
    [ Ответ ]
    4.6. В какой системе счисления 21 + 24 = 100?
    Решение. Пусть x — искомое основание системы счисления. Тогда 100x = 1 · x2 + 0 · x1 + 0 · x0, 21x = 2 · x1 + 1 · x0, 24x = 2 · x1 + 4 · x0. Таким образом, x2 = 2x + 2x + 5 или x2 – 4x – 5 = 0. Положительным корнем этого квадратного уравнения является x = 5.
    Ответ. Числа записаны в пятеричной системе счисления.
    4.7. В какой системе счисления справедливо следующее:
    o а) 20 + 25 = 100;
    o б) 22 + 44 = 110?
    [ Ответ ]
    4.8. Десятичное число 59 эквивалентно числу 214 в некоторой другой системе счисления. Найдите основание этой системы.
    [ Ответ ]
    4.9. Переведите числа в десятичную систему, а затем проверьте результаты, выполнив обратные переводы:
    а) 10110112;
    е) 5178;
    л) 1F16;
    б) 101101112;
    ж) 10108;
    м) ABC16;
    в) 0111000012;
    з) 12348;
    н) 101016;
    г) 0,10001102;
    и) 0,348;
    о) 0,А416;
    д) 110100,112;
    к) 123,418;
    п) 1DE,C816.
    [ Ответ ]
    4.10. Переведите числа из десятичной системы в двоичную, восьмеричную и шестнадцатеричную, а затем проверьте результаты, выполнив обратные переводы:
    а) 12510; б) 22910; в) 8810; г) 37,2510; д) 206,12510.
    [ Ответ ]
    4.11. Переведите числа из двоичной системы в восьмеричную и шестнадцатеричную, а затем проверьте результаты, выполнив обратные переводы:
    а) 1001111110111,01112;
    г) 1011110011100,112;
    б) 1110101011,10111012;
    д) 10111,11111011112;
    в) 10111001,1011001112;
    е) 1100010101,110012.
    [ Ответ ]
    4.12. Переведите в двоичную и восьмеричную системы шестнадцатеричные числа:
    а) 2СE16; б) 9F4016; в) ABCDE16; г) 1010,10116; д) 1ABC,9D16.
    [ Ответ ]
    4.13. Выпишите целые числа:
    o а) от 1011012 до 1100002 в двоичной системе;
    o б) от 2023 до 10003 в троичной системе;
    o в) от 148 до 208 в восьмеричной системе;
    o г) от 2816 до 3016 в шестнадцатеричной системе.
    [ Ответ ]
    4.14. Для десятичных чисел 47 и 79 выполните цепочку переводов из одной системы счисления в другую:

    [ Ответ ]
    4.15. Составьте таблицы сложения однозначных чисел в троичной и пятеричной системах счисления.
    [ Ответ ]
    4.16. Составьте таблицы умножения однозначных чисел в троичной и пятеричной системах счисления.
    [ Ответ ]
    4.17. Сложите числа, а затем проверьте результаты, выполнив соответствующие десятичные сложения:
    а) 10111012 и 11101112;
    д) 378 и 758;
    и) A16 и F16;
    б) 1011,1012 и 101,0112;
    е) 1658 и 378;
    к) 1916 и C16;
    в) 10112, 112 и 111,12;
    ж) 7,58 и 14,68;
    л) A,B16 и E,F16;
    г) 10112 , 11,12 и 1112;
    з) 68, 178 и 78;
    м) E16, 916 и F16.
    [ Ответ ]
    4.18. В каких системах счисления выполнены следующие сложения? Найдите основания каждой системы:

    [ Ответ ]
    4.19. Найдите те подстановки десятичных цифр вместо букв, которые делают правильными выписанные результаты (разные цифры замещаются разными буквами):


    [ Ответ ]
    4.20. Вычтите:
    а) 1112 из 101002;
    д) 158 из 208;
    и) 1А16 из 3116;
    б) 10,112 из 100,12;
    е) 478 из 1028;
    к) F9E16 из 2А3016;
    в) 111,12 из 100102;
    ж) 56,78 из 1018;
    л) D,116 из B,9216;
    г) 100012 из 1110,112;
    з) 16,548 из 30,018;
    м) ABC16 из 567816.
    [ Ответ ]
    4.21. Перемножьте числа, а затем проверьте результаты, выполнив соответствующие десятичные умножения:
    а) 1011012 и 1012;
    д) 378 и 48;
    б) 1111012 и 11,012;
    е) 168 и 78;
    в) 1011,112 и 101,12;
    ж) 7,58 и 1,68;
    г) 1012 и 1111,0012;
    з) 6,258 и 7,128.
    [ Ответ ]
    4.22. Разделите 100101102 на 10102 и проверьте результат, умножая делитель на частное.
    [ Ответ ]
    4.23. Разделите 100110101002 на 11002 и затем выполните соответствующее десятичное и восьмеричное деление.
    [ Ответ ]
    4.24. Вычислите значения выражений:
    o а) 2568 + 10110,12 . (608 + 1210) – 1F16;
    o б) 1AD16 – 1001011002 : 10102 + 2178;
    o в) 101010 + (10616 – 110111012) 128;
    o г) 10112 . 11002 : 148 + (1000002 – 408).
    [ Ответ ]
    4.25. Расположите следующие числа в порядке возрастания:
    o а) 748, 1100102, 7010, 3816;
    o б) 6E16, 1428, 11010012, 10010;
    o в) 7778, 1011111112, 2FF16, 50010;
    o г) 10010, 11000002, 6016, 1418.
    [ Ответ ]
    4.26. Запишите уменьшающийся ряд чисел +3, +2, …, -3 в однобайтовом формате:
    o а) в прямом коде;
    o б) в обратном коде;
    o в) в дополнительном коде.
    [ Ответ ]
    4.27. Запишите числа в прямом коде (формат 1 байт):
    а) 31; б) -63; в) 65; г) -128.
    [ Ответ ]
    4.28. Запишите числа в обратном и дополнительном кодах (формат 1 байт):
    а) -9; б) -15; в) -127; г) -128.
    [ Ответ ]
    4.29. Найдите десятичные представления чисел, записанных в дополнительном коде:
    а) 1 1111000; б) 1 0011011; в) 1 1101001; г) 1 0000000.
    [ Ответ ]
    4.30. Найдите десятичные представления чисел, записанных в обратном коде:
    а) 1 1101000; б) 1 0011111; в) 1 0101011; г) 1 0000000.
    [ Ответ ]
    4.31. Выполните вычитания чисел путем сложения их обратных (дополнительных) кодов в формате 1 байт. Укажите, в каких случаях имеет место переполнение разрядной сетки:
    а) 9 – 2;
    г) -20 – 10;
    ж) -120 – 15;
    б) 2 – 9;
    д) 50 – 25;
    з) -126 – 1;
    в) -5 – 7;
    е) 127 – 1;
    и) -127 – 1.
    [ Ответ ]

  3. Bloodweaver Ответить

    В процессе выравнивания порядков мантисса числа с меньшим порядком сдвигается в своем регистре вправо на количество разрядов, равное разности порядков операндов. После каждого сдвига порядок увеличивается на единицу.
    В результате выравнивания порядков одноименные разряды чисел оказываются расположенными в соответствующих разрядах обоих регистров, после чего мантиссы складываются или вычитаются. В случае необходимости полученный результат нормализуется путем сдвига мантиссы результата влево. После каждого сдвига влево порядок результата уменьшается на единицу.
    Пример 1. Сложить двоичные нормализованные числа 0.10111 . 2-1 и 0.11011 . 210. Разность порядков слагаемых здесь равна трем, поэтому перед сложением мантисса первого числа сдвигается на три разряда вправо:

    Пример 2. Выполнить вычитание двоичных нормализованных чисел 0.10101 . 210 и 0.11101 . 21. Разность порядков уменьшаемого и вычитаемого здесь равна единице, поэтому перед вычитанием мантисса второго числа сдвигается на один разряд вправо:

    Результат получился не нормализованным, поэтому его мантисса сдвигается влево на два разряда с соответствующим уменьшением порядка на две единицы: 0.1101 . 20.
    Умножение
    При умножении двух нормализованных чисел их порядки складываются, а мантиссы перемножаются.
    Пример 3. Выполнить умножение двоичных нормализованных чисел:
    (0.11101 . 2101) . (0.1001 . 211) = (0.11101 . 0.1001) . 2(101+11) = 0.100000101 . 21000.
    Деление
    При делении двух нормализованных чисел из порядка делимого вычитается порядок делителя, а мантисса делимого делится на мантиссу делителя. Затем в случае необходимости полученный результат нормализуется.
    Пример 4. Выполнить деление двоичных нормализованных чисел:
    0.1111 . 2100 : 0.101 . 211 = (0.1111 : 0.101) . 2(100-11) = 1.1 . 21 = 0.11 . 210.
    Использование представления чисел с плавающей точкой существенно усложняет схему арифметико-логического устройства.
    Упражнения
    4.1. Используя Правило Счета, запишите первые 20 целых чисел в десятичной, двоичной, троичной, пятеричной и восьмеричной системах счисления.
    [ Ответ ]
    4.2. Какие целые числа следуют за числами:
    а) 12;
    е) 18;
    п) F16;
    б) 1012;
    ж) 78;
    м) 1F16;
    в) 1112;
    з) 378;
    н) FF16;
    г) 11112;
    и) 1778;
    о) 9AF916;
    д) 1010112;
    к) 77778;
    п) CDEF16 ?
    [ Ответ ]
    4.3. Какие целые числа предшествуют числам:
    а) 102;
    е) 108;
    л) 1016;
    б) 10102;
    ж) 208;
    м)2016;
    в) 10002;
    з) 1008;
    н) 10016;
    г) 100002;
    и) 1108;
    о) A1016;
    д) 101002;
    к) 10008;
    п) 100016 ?
    [ Ответ ]
    4.4. Какой цифрой заканчивается четное двоичное число? Какой цифрой заканчивается нечетное двоичное число? Какими цифрами может заканчиваться четное троичное число?
    [ Ответ ]
    4.5. Какое наибольшее десятичное число можно записать тремя цифрами:
    а) в двоичной системе;
    б) в восьмеричной системе;
    в) в шестнадцатеричной системе?
    [ Ответ ]
    4.6. В какой системе счисления 21 + 24 = 100?
    Решение. Пусть x — искомое основание системы счисления. Тогда 100x = 1 · x2 + 0 · x1 + 0 · x0, 21x = 2 · x1 + 1 · x0, 24x = 2 · x1 + 4 · x0. Таким образом, x2 = 2x + 2x + 5 или x2 – 4x – 5 = 0. Положительным корнем этого квадратного уравнения является x = 5.
    Ответ. Числа записаны в пятеричной системе счисления.
    4.7. В какой системе счисления справедливо следующее:
    а) 20 + 25 = 100;
    б) 22 + 44 = 110?
    [ Ответ ]
    4.8. Десятичное число 59 эквивалентно числу 214 в некоторой другой системе счисления. Найдите основание этой системы.
    [ Ответ ]
    4.9. Переведите числа в десятичную систему, а затем проверьте результаты, выполнив обратные переводы:
    а) 10110112;
    е) 5178;
    л) 1F16;
    б) 101101112;
    ж) 10108;
    м) ABC16;
    в) 0111000012;
    з) 12348;
    н) 101016;
    г) 0,10001102;
    и) 0,348;
    о) 0,А416;
    д) 110100,112;
    к) 123,418;
    п) 1DE,C816.
    [ Ответ ]
    4.10. Переведите числа из десятичной системы в двоичную, восьмеричную и шестнадцатеричную, а затем проверьте результаты, выполнив обратные переводы:
    а) 12510; б) 22910; в) 8810; г) 37,2510; д) 206,12510.
    [ Ответ ]
    4.11. Переведите числа из двоичной системы в восьмеричную и шестнадцатеричную, а затем проверьте результаты, выполнив обратные переводы:
    а) 1001111110111,01112;
    г) 1011110011100,112;
    б) 1110101011,10111012;
    д) 10111,11111011112;
    в) 10111001,1011001112;
    е) 1100010101,110012.
    [ Ответ ]
    4.12. Переведите в двоичную и восьмеричную системы шестнадцатеричные числа:
    а) 2СE16; б) 9F4016; в) ABCDE16; г) 1010,10116; д) 1ABC,9D16.
    [ Ответ ]
    4.13. Выпишите целые числа:
    а) от 1011012 до 1100002 в двоичной системе;
    б) от 2023 до 10003 в троичной системе;
    в) от 148 до 208 в восьмеричной системе;
    г) от 2816 до 3016 в шестнадцатеричной системе.
    [ Ответ ]
    4.14. Для десятичных чисел 47 и 79 выполните цепочку переводов из одной системы счисления в другую:

    [ Ответ ]
    4.15. Составьте таблицы сложения однозначных чисел в троичной и пятеричной системах счисления.
    [ Ответ ]
    4.16. Составьте таблицы умножения однозначных чисел в троичной и пятеричной системах счисления.
    [ Ответ ]
    4.17. Сложите числа, а затем проверьте результаты, выполнив соответствующие десятичные сложения:
    а) 10111012 и 11101112;
    д) 378 и 758;
    и) A16 и F16;
    б) 1011,1012 и 101,0112;
    е) 1658 и 378;
    к) 1916 и C16;
    в) 10112, 112 и 111,12;
    ж) 7,58 и 14,68;
    л) A,B16 и E,F16;
    г) 10112 , 11,12 и 1112;
    з) 68, 178 и 78;
    м) E16, 916 и F16.
    [ Ответ ]
    4.18. В каких системах счисления выполнены следующие сложения? Найдите основания каждой системы:

    [ Ответ ]
    4.19. Найдите те подстановки десятичных цифр вместо букв, которые делают правильными выписанные результаты (разные цифры замещаются разными буквами):


    [ Ответ ]
    4.20. Вычтите:
    а) 1112 из 101002;
    д) 158 из 208;
    и) 1А16 из 3116;
    б) 10,112 из 100,12;
    е) 478 из 1028;
    к) F9E16 из 2А3016;
    в) 111,12 из 100102;
    ж) 56,78 из 1018;
    л) D,116 из B,9216;
    г) 100012 из 1110,112;
    з) 16,548 из 30,018;
    м) ABC16 из 567816.
    [ Ответ ]
    4.21. Перемножьте числа, а затем проверьте результаты, выполнив соответствующие десятичные умножения:
    а) 1011012 и 1012;
    д) 378 и 48;
    б) 1111012 и 11,012;
    е) 168 и 78;
    в) 1011,112 и 101,12;
    ж) 7,58 и 1,68;
    г) 1012 и 1111,0012;
    з) 6,258 и 7,128.
    [ Ответ ]
    4.22. Разделите 100101102 на 10102 и проверьте результат, умножая делитель на частное.
    [ Ответ ]
    4.23. Разделите 100110101002 на 11002 и затем выполните соответствующее десятичное и восьмеричное деление.
    [ Ответ ]
    4.24. Вычислите значения выражений:
    а) 2568 + 10110,12 . (608 + 1210) – 1F16;
    б) 1AD16 – 1001011002 : 10102 + 2178;
    в) 101010 + (10616 – 110111012) 128;
    г) 10112 . 11002 : 148 + (1000002 – 408).
    [ Ответ ]
    4.25. Расположите следующие числа в порядке возрастания:
    а) 748, 1100102, 7010, 3816;
    б) 6E16, 1428, 11010012, 10010;
    в) 7778, 1011111112, 2FF16, 50010;
    г) 10010, 11000002, 6016, 1418.
    [ Ответ ]
    4.26. Запишите уменьшающийся ряд чисел +3, +2, …, -3 в однобайтовом формате:
    а) в прямом коде;
    б) в обратном коде;
    в) в дополнительном коде.
    [ Ответ ]
    4.27. Запишите числа в прямом коде (формат 1 байт):
    а) 31; б) -63; в) 65; г) -128.
    [ Ответ ]
    4.28. Запишите числа в обратном и дополнительном кодах (формат 1 байт):
    а) -9; б) -15; в) -127; г) -128.
    [ Ответ ]
    4.29. Найдите десятичные представления чисел, записанных в дополнительном коде:
    а) 1 1111000; б) 1 0011011; в) 1 1101001; г) 1 0000000.
    [ Ответ ]
    4.30. Найдите десятичные представления чисел, записанных в обратном коде:
    а) 1 1101000; б) 1 0011111; в) 1 0101011; г) 1 0000000.
    [ Ответ ]
    4.31. Выполните вычитания чисел путем сложения их обратных (дополнительных) кодов в формате 1 байт. Укажите, в каких случаях имеет место переполнение разрядной сетки:
    а) 9 – 2;
    г) -20 – 10;
    ж) -120 – 15;
    б) 2 – 9;
    д) 50 – 25;
    з) -126 – 1;
    в) -5 – 7;
    е) 127 – 1;
    и) -127 – 1.
    [ Ответ ]
    Ответы — Раздел 4. Арифметические основы компьютеров
    4.1. в) троичная: 0, 1, 2, 10, 11, 12, 20, 21, 22, 100, 101, 102, 110, 111, 112, 120, 121, 122, 200, 201; г) пятеричная: 0, 1, 2, 3, 4, 10, 11, 12, 13, 14, 20, 21, 22, 23, 24, 30, 31, 32, 33, 34.
    4.2. а) 102; б) 1102; в) 10002; г) 100002; д) 1011002; е) 28; ж) 108; з) 408; и) 2008; к) 100008; л) 1016; м) 2016; н) 10016; о) 9AFA16; п) CDF016.
    4.3. а) 12; б) 10012; в) 1112; г) 11112; д) 100112; е) 78; ж) 178; з) 778; и) 1078; к) 7778; л) F16; м) 1F16; н) FF16; о) A0F16; п) FFF16.
    4.4. Четное двоичное число оканчивается цифрой 0, нечетное двоичное — цифрой 1, четное троичное — цифрами 0, 1 или 2.
    4.5. а) 7; б) 511; в) 4091.
    4.7. а) ни в какой; б) в шестеричной.
    4.8. Основание 5.
    4.9. а) 91; б) 183; в) 225; г) 35/64; д) 52,75; е) 335; ж) 520; з) 668; и) 7/16; к) 8333/64; л) 31; м) 2748; н) 4112; о) 41/64; п) 47825/32.
    4.10. а) 11111012; 1758; 7D16; б) 111001012; 3458; E516; в) 10110002; 1308; 5816; г) 100101,012; 45,28; 25,416; д) 11001110,0012; 316,18; CE,216.
    4.11. а) 11767,348; 13F7,716; б) 1653,5648; 3AB,BA16; в) 271,5478; B9,B3816; г) 13634,68; 179C,C16; д) 27,76748; 17,FBC16; е) 1425,628; 315,C816.
    4.12. а) 10110011102; 13168; б) 10011111010000002; 1175008; в) 101010111100110111102; 25363368; г) 1000000010000,0001000000012; 10020,04018; д) 1101010111100,100111012; 15274,4728.
    4.13. а) 1011012, 1011102, 1011112, 1100002; б) 2023, 2103, 2113, 2123, 2203, 2213, 2223, 10003; в) 148, 158, 168, 178, 208; г) 2816, 2916, 2A16, 2B16, 2C16, 2D16, 2E16, 2F16, 3016;
    4.14. а) 4710 – 1011112 – 578 – 4710 – 578 – 1011112 – 2F16 – 4710 – 2F16 – 1011112 – 4710; б) 7910 – 10011112 – 1178 – 7910 – 1178 – 10011112 – 4F16 – 7910 – 4F16 – 10011112 – 7910.
    4.15.
    +
    +
    4.16.
    x
    x
    4.17. а) 110101002; б) 10001,02; в) 10101,12; г) 11001,12; д) 1348; е) 2248; ж) 24,38; з) 348; и) 1916; к) 2516; л) 19,A16; м) 2616.
    4.18. а) в 16-й; б) в 10-й; в) в 3-й; г) в 8-й; д) в 16-й.
    4.19. в) А=9, B=4, C=5, D=3, F=1, L=0, M=7, N=8; г) A=3, B=6, C=2, D=5, E=9, F=7, G=1, H=0, I=4, J=8; д) A=9, B=3, C=4, D=2, E=1, F=8, G=0, H=7, I=6.
    4.20. а) 11012; б) 1,112; в) 1010,12; г) -10,012; д) 38; е) 338; ж) 22,18; з) 11,258; и) 1716; к) 1A9216; л) -1,7E16; м) 4BBC16.
    4.21. а) 111000012; б) 11000110,012; в) 1000000,1012; г) 1001011,1012; д) 1748; е) 1428; ж) 15.268; з) 55.22228.
    4.22. 11112.
    4.23. 11001112; 10310; 1478.
    4.24. а) 149310; б) 54210; в) 142010; г) 1110.
    4.25. а) 1100102, 3816, 748, 7010; б) 1428, 10010, 11010012, 6E16; в) 1011111112, 50010, 7778, 2FF16; г) 11000002, 6016, 1418, 10010.
    4.26. а) 00000011, 00000010, 00000001, 00000000, 10000001, 10000010, 10000011; б) 00000011, 00000010, 00000001, 00000000, 11111110, 11111101, 11111100; в) 00000011, 00000010, 00000001, 00000000, 11111111, 11111110, 11111101.
    4.27. а) 00001111; б) 10111111; в) 01000001; г) невозможно.
    4.28. Обратный: а) 11110110, б) 11110000, в) 10000000, г) невозможнo. Дополнительный: а) 11110111; б) 11110001; в) 10000001; г) 10000000.
    4.29. а) -8; б) -101; в) -23; г) -128.
    4.30. а) -23; б) -96; в) -84; г) -127.
    4.31. Обратный: а) 00000111; б) 11111000; в) 11110011; г) 11100001; д) 00011001; е) 01111110; ж) переполнение; з) 10000000; и) невозможно. Дополнительный: а) 00000111; б) 11111001; в) 11110100; г) 11100010; д) 00011001; е) 01111110; ж) переполнение; з) 10000001; и) 10000000.

  4. Dourr Ответить

    Система вещественных чисел в математических вычислениях предполагается непрерывной и бесконечной, т.е. не имеющей ограничений на диапазон и точность представления чисел. Однако в компьютерах числа хранятся в регистрах и ячейках памяти с ограниченным количеством разрядов. В следствие этого система вещественных чисел, представимых в машине, является дискретной (прерывной) и конечной.
    При написании вещественных чисел в программах вместо привычной запятой принято ставить точку. Для отображения вещественных чисел, которые могут быть как очень маленькими, так и очень большими, используется форма записи чисел с порядком основания системы счисления. Например, десятичное число 1.25 в этой форме можно представить так:
    1.25 . 100 = 0.125 . 101 = 0.0125 . 102 = …
    или так:
    12.5 . 10-1 = 125.0 . 10-2 = 1250.0 . 10-3 = … .
    Любое число N в системе счисления с основанием q можно записать в виде N = M . qp, где M — множитель, содержащий все цифры числа (мантисса), а p — целое число, называемое порядком. Такой способ записи чисел называется представлением числа с плавающей точкой.
    Если “плавающая” точка расположена в мантиссе перед первой значащей цифрой, то при фиксированном количестве разрядов, отведённых под мантиссу, обеспечивается запись максимального количества значащих цифр числа, то есть максимальная точность представления числа в машине. Из этого следует:
    Мантисса должна быть правильной дробью, у которой первая цифра после точки (запятой в обычной записи) отлична от нуля: 0.12 < = |M| < 1. Если это требование выполнено, то число называется нормализованным Мантиссу и порядок q-ичного числа принято записывать в системе с основанием q, а само основание — в десятичной системе. Примеры нормализованного представления:
    Десятичная система Двоичная система
    753.15 = 0.75315 . 103; —101.01 = —0.10101 . 211 (порядок 112 = 310)
    — 0.000034 = — 0.34 . 10-4; 0.000011 = 0.11 . 2-100 (порядок —1002 = —410).
    Вещественные числа в компьютерах различных типов записываются по-разному, тем не менее, все компьютеры поддерживают несколько международных стандартных форматов, различающихся по точности, но имеющих одинаковую структуру следующего вида:

    Здесь порядок n-разрядного нормализованного числа задается в так называемой смещенной форме: если для задания порядка выделено k разрядов, то к истинному значению порядка, представленного в дополнительном коде, прибавляют смещение, равное (2k-1 — 1). Например, порядок, принимающий значения в диапазоне от —128 до +127, представляется смещенным порядком, значения которого меняются от 0 до 255.
    Использование смещенной формы позволяет производить операции над порядками, как над беззнаковыми числами, что упрощает операции сравнения, сложения и вычитания порядков, а также упрощает операцию сравнения самих нормализованных чисел.
    Чем больше разрядов отводится под запись мантиссы, тем выше точность представления числа. Чем больше разрядов занимает порядок, тем шире диапазон от наименьшего отличного от нуля числа до наибольшего числа, представимого в машине при заданном формате.
    Стандартные форматы представления вещественных чисел:
    1) одинарный — 32-разрядное нормализованное число со знаком, 8-разрядным смещенным порядком и 24-разрядной мантиссой (старший бит мантиссы, всегда равный 1, не хранится в памяти, и размер поля, выделенного для хранения мантиссы, составляет только 23 разряда).
    2) двойной — 64-разрядное нормализованное число со знаком, 11-разрядным смещенным порядком и 53-разрядной мантиссой (старший бит мантиссы не хранится, размер поля, выделенного для хранения мантиссы, составляет 52 разряда).
    3) расширенный — 80-разрядное число со знаком, 15-разрядным смещенным порядком и 64-разрядной мантиссой. Позволяет хранить ненормализованные числа.
    Следует отметить, что вещественный формат с m-разрядной мантиссой позволяет абсолютно точно представлять m-разрядные целые числа, т. е. любое двоичное целое число, содержащее не более m разрядов, может быть без искажений преобразовано в вещественный формат.

  5. bla bla bla Ответить

    Система вещественных чисел в математических вычислениях предполагается непрерывной и бесконечной, т. е. не имеющей ограничений на диапазон и точность представления чисел. Однако в компьютерах числа хранятся в регистрах и ячейках памяти с ограниченным количеством разрядов. Вследствие этого система вещественных чисел, представимых в машине, является дискретной и конечной.
    При написании вещественных чисел в программах вместо привычной запятой принято ставить точку.
    Для отображения вещественных чисел, которые могут быть как очень маленькими, так и очень большими, используется форма записи чисел с порядком основания системы счисления.
    Пример.
    Десятичное число 1.25 в этой форме можно представить так:
    1.25 * 10° = 0.125 * 101 = 0.0125 * 102 = … или так:
    12.5 * 10-1 = 125.0 * 102 = 1250.0 * 10 -3 = … .
    Любое число N в системе счисления с основанием q можно записать в | виде N = М * qp, где М — множитель, содержащий все цифры числа (мантисса), а р — целое число, называемое порядком. Такой способ записи чисел называется представлением числа с плавающей точкой.
    Если плавающая точка расположена в мантиссе перед первой значащей цифрой, то при фиксированном количестве разрядов, отведенных под мантиссу, обеспечивается запись максимального количества значащих цифр числа, т. е, максимальная точность представления числа в машине. Из этого следует, что мантисса должна быть правильной дробью, у которой первая цифра после точки (запятой в обычной записи) отлична от нуля: 0.12 < М < 1. Если это требование выполнено, то число называется нормализованным. Мантиссу и порядок q-ичного числа принято записывать в системе с основанием q, а само основание — в десятичной системе. I
    Пример нормализованного представления.
    Десятичная система: Двоичная система:
    753.15 = 0.75315- 103; -101.01 = -0.10101 * 211 (порядок 112= 310);
    -0.000034 = -0.34 * 10 -4. 0.000011 = 0.11 * 2 -100 (порядок -1002 = -4 10).
    Вещественные числа в компьютерах различных типов записываются по-разному, но все компьютеры поддерживают несколько международных стандартных форматов, различающихся по точности, но имеющих одинаковую структуру следующего вида:
    Здесь порядок n-разрядного нормализованного числа задается в так называемой смещённой форме: если для задания порядка выделено k разрядов, то к истинному значению порядка, представленного в дополнительном коде, прибавляют смещение, равное (2k-1–1). Например, порядок, принимающий значения в диапазоне от –128 до +127, представляется смещенным порядком, значения которого меняются от 0 до 255. Использование смещенной формы позволяет производить операции над порядками как над беззнаковыми числами, что упрощает операции сравнения, сложения и вычитания порядков, а также операцию сравнения самих нормализованных чисел.
    Чем больше разрядов отводится под запись мантиссы, тем выше точность представления числа. Чем больше разрядов занимает порядок, тем шире диапазон от наименьшего отличного от нуля числа до наибольшего числа, представимого в машине при заданном формате.
    Стандартные форматы представления вещественных чисел:
    1) Одинарный — 32-разрядное нормализованное число со знаком, 8-разрядным смещенным порядком и 24-разрядной мантиссой (старший бит мантиссы, всегда равный 1, не хранится в памяти, и размер поля, выделенного для хранения мантиссы, составляет только 23 разряда).
    2) Двойной — 64-разрядное нормализованное число со знаком, 11-разрядным смещенным порядком и 53-разрядной мантиссой (старший бит мантиссы не хранится, и размер поля, выделенного для хранения мантиссы, составляет 52 разряда).
    3) Расширенный — 80-разрядное число со знаком, 15-разрядным смещенным порядком и 64-разрядной мантиссой. Позволяет хранить ненормализованные числа.
    Следует отметить, что вещественный формат с m-разрядной мантиссой позволяет абсолютно точно представлять m-разрядные целые числа, т. е. любое двоичное целое число, содержащее не более т разрядов, может быть без искажений преобразовано в вещественный формат.

  6. superlittlekapricorn Ответить

    Нормальной формой числа с плавающей запятой называется такая форма, в которой мантисса (без учёта знака) в десятичной системе находится на полуинтервале [0; 1). Такая форма записи имеет недостаток: некоторые числа записываются неоднозначно (например, 0,0001 можно записать в 4 формах — 0,0001?100, 0,001?10?1, 0,01?10?2, 0,1?10?3), поэтому распространена также другая форма записи —нормализованная, в которой мантисса десятичного числа принимает значения от 1 (включительно) до 10 (не включительно), а мантисса двоичного числа принимает значения от 1 (включительно) до 2 (не включительно). То есть в мантиссе слева от запятой до применения порядка находится ровно один знак. В такой форме любое число (кроме 0) записывается единственным образом. Ноль же представить таким образом невозможно, поэтому стандарт предусматривает специальную последовательность битов для задания числа 0 (а заодно и некоторых других полезных чисел, таких как и ).

  7. Broadwood Ответить

    где m – множитель, содержащий все цифры числа (мантисса), p – целое число, называемое порядком.
    Если плавающая точка расположена в мантиссе перед первой значащей цифрой, то при фиксированном количестве разрядов, отведенных под мантиссу, обеспечивается запись максимального количества значащих цифр числа, т. е. максимальная точность представления числа в машине.
    Если в мантиссе первая цифра после точки (запятой) отлична от нуля, то такое число называется нормализованным.
    Мантиссу и порядок q-ичного числа принято записывать в системе с основанием q, а само основание — в десятичной системе.
    Пример 4.5. Приведем примеры нормализованного представления числа в десятичной системе:
    2178,01 = 0,217801 · 104
    0,0045 = 0,45 · 10-2
    Примеры в двоичной системе:
    10110,01 = 0,1011001 · 2101 (порядок 1012 = 510)
    Современными компьютерами поддерживаются несколько международных стандартных форматов хранения вещественных чисел с плавающей точкой, различающихся по точности, но все они имеют одинаковую структуру. Вещественное число хранится в трех частях: знак мантиссы, смещенный порядок и мантисса:

    Смещенный порядок n-разрядного нормализованного числа вычисляется следующим образом: если для задания порядка выделено k разрядов, то к истинному значению порядка, представленного в дополнительном коде, прибавляют смещение, равное (2k-1 – 1).
    Таким образом, порядок, принимающий значения в диапазоне от -128 до +127, преобразуется в смещенный порядок в диапазоне от 0 до 255. Смещенный порядок хранится в виде беззнакового числа, что упрощает операции сравнения, сложения и вычитания порядков, а также упрощает операцию сравнения самих нормализованных чисел.
    Количество разрядов, отводимых под порядок, влияет на диапазон от наименьшего отличного от нуля числа до наибольшего числа, представимого в машине при заданном формате. Очевидно, что чем больше разрядов отводится под запись мантиссы, тем выше точность представления числа. В связи с тем, что у нормализованных вещественных чисел старший бит мантиссы всегда равен 1, этот старший бит не хранится в памяти.
    Любое двоичное целое число, содержащее не более m разрядов, может быть без искажений преобразовано в вещественный формат.
    Таблица 4.3. Стандартные форматы представления вещественных чисел
    Формат
    Что хранится
    Кол-во битов, отводимых под смещенный порядок
    Кол-во битов, отводимых под мантиссу
    Одинарный
    32-разрядное нормализованное число со знаком
    8
    23
    Двойной
    64-разрядное нормализованное число со знаком
    11
    52
    Расширенный
    80-разрядное число со знаком (возможно ненормализованные)
    15
    64
    Пример 4.6. Представление нормализованных чисел в одинарном формате.
    Проиллюстрируем, как будет храниться число 37,1610. При переводе в двоичное число не получается точного перевода: 100101,(00101000111101011100) – дробная часть, заключенная в скобках, повторяется в периоде.
    Переводим число в нормализованный вид:
    0,100101(00101000111101011100) · 2110
    Представим вещественное число в 32-разрядном формате:
    Знак числа «+», поэтому в знаковый разряд (31) заносим 0.
    Для задания порядка выделено 8 разрядов, к истинному значению порядка, представленного в дополнительном коде, прибавляем смещение (27 – 1) = 127. Так как порядок положительный, то прямой код порядка совпадает с дополнительным, вычислим смещенный порядок: 00000110 + 01111111 = 10000101. Заносим полученный смещенный порядок.
    Заносим мантиссу, при этом старший разряд мантиссы убираем (он всегда равен 1).
    1
    1
    1
    1
    1
    1
    1
    1
    1
    1
    1
    1
    1
    1
    1
    31
    30
    29
    28
    27
    26
    25
    24
    23
    22
    21
    20
    19
    18
    17
    16
    15
    14
    13
    12
    11
    10
    9
    8
    7
    6
    5
    4
    3
    2
    1
    Знак
    Смещенный порядок
    Мантисса
    В данном примере мы смогли перенести только 24 разряда, остальные были утеряны с потерей точности представления числа.
    ← 4.1. Представление целых чисел в компьютере
    4.3. Представление в компьютере текстовой… >

  8. Kerdin Ответить

    Доброго времени суток уважаемый пользователь. На этой страничке мы поговорим на такие темы, как: Вещественные числа, Вещественные числа в памяти компьютера.
    Предположим, в компьютер встроили устройство, кото­рое переводит числа из десятичной системы счисления в двоичную и обратно. Достаточно ли этого для представления чисел в памяти ЭВМ? Оказывается, нет. Мало научиться записывать числа, важно облегчить процесс автоматизированного выполнения арифметических действий над ними.
    Вернемся к первым ЭВМ. Основным видом их «деятель­ности» были вычисления, но объём оперативной памяти и быстродействие процессора были невелики и инженерам приходилось придумывать разнообразные способы хранения и обработки чисел, чтобы даже сложные расчёты выполня­лись за разумное время.

    Вещественные числа в памяти компьютера.

    Операции над целыми числами выполнять проще, но на практике измерения в целых числах встречаются не так уж часто. Поэтому для целых чисел решено было отводить один или два байта. Один байт чаще всего отводился для всевозможных счётчиков, то есть для представления целых положитель­ных чисел.
    Максимальным десятичным числом, которое можно было закодировать таким образом, было 255 в десятичной = 11111111 в двоичной = 2^8 — 1.
    Для представления положительных и отрицательных це­лых чисел отводилось два байта (16 битов). В качестве при­знака, передающего знак числа, было выбрано значение старшего бита: 0 означал, что закодировано положительное число,  1 — отрицательное.
    Максимальным десятичным числом, которое можно было закодировать таким образом, было 32767 в десятичной = 01111111 11111111 в двоичной =2^15. Целые без знака — это множество положитель­ных чисел в диапазоне [0, 2к-1], где к — это разряд­ность ячейки памяти, выделяемой под число. На­пример, если под целое число выделяется ячейка памяти размером в 16 разрядов (2 байта), то самое большое число будет таким: 0111111111111111. Например, десятичное число 255 после перевода в двоичную систему счисления и вписывания в 16-разрядную ячейку памяти будет иметь следующее внутреннее представление: 0000000011111111.
    Отрицательные целые числа представляются в до­полнительном коде. Дополнительный код поло­жительного числа N — это такое его двоичное пред­ставление, которое при сложении с кодом числа N дает значение 2^к. Здесь к — количество разрядов в ячейке памяти. Например, дополнительный код числа 255 будет следующим: 1111111100000001.
    Это и есть представление отрицательного числа -255. Сложим коды чисел 255 и —255:

    Вычитание.

    1
    1
    1
    1
    1
    1
    1
    1
    255
    1
    1
    1
    1
    1
    1
    1
    1
    1
    -255
    1
    Единичка в старшем разряде «выпала» из ячейки, поэтому сумма получилась равной нулю. Но так и должно быть: N + (— N) = 0. Процессор компьюте­ра операцию вычитания выполняет как сложение с дополнительным кодом вычитаемого числа. При этом переполнение ячейки (выход за предельные значе­ния) не вызывает прерывания выполнения программы. Это обстоятельство программист обязан знать и учитывать!
    С вещественными числами дело обстояло немного слож­нее, поскольку надо было придумать способ, одинаковый для кодирования и больших, и маленьких чисел, то есть и миллион (1 000 000), и одну миллионную (0,000 001) хоте­лось бы кодировать посредством одного и того же алгорит­ма.
    В соответствии с принципом позиционности любое деся­тичное число можно представить в виде произведения двух чисел, одно из которых меньше единицы, а другое представ­ляет собой некоторую степень десяти.
    Такое представление чисел называется записью с плава­ющей точкой (запись 123,45 — запись с фиксированной точкой). В этой записи число имеет четыре характеристи­ки:
    Знак числа.
    Знак порядка.
    Порядок (степень числа 10).
    Мантисса (дробная часть числа).
    При двоичном кодировании необходимо было все эти ха­рактеристики как-то отразить.
    Максимальный порядок числа был равен 111111в двоичной = 63 в десятичной,следовательно, максимальным числом, которое можно было закодировать таким образом, было 10^63.
    Формат представления вещественных чисел в ком­пьютере называется форматом с плавающей точ­кой. Вещественное число R представляется в виде произведения мантиссы т на основание системы счисления п в некоторой целой степени р, которую называют порядком: R = т х п^р.
    Чтобы не было неоднозначности, договорились в ЭВМ использовать нормализованное представление числа в форме с плавающей точкой. Мантисса в нормализованном представлении должна удовлетво­рять условию: 0,1п<  т < 1я. Иначе говоря, мантисса меньше единицы и первая значащая цифра — не ноль. В некоторых случаях условие нормализации принимают следующим: 1 с индексом и < т < 10 с индексом п. В памяти компьютера мантисса представляет­ся как целое число, содержащее только значащие цифры (0 целых и запятая не хранятся). Следова­тельно, внутреннее представление вещественного числа сводится к представлению пары целых чисел: мантиссы и порядка. Было решено отводить под вещественные числа 4 байта (32 бита). Три младших байта отводилось под запись ман­тиссы, а старший байт включал в себя: Один (старший) бит — знак числа: 0 — положительное, 1 — отрицательное. Один бит — знак порядка: 0-положительный, 1-отрицательный. Младшие 6 битов — порядок числа. В разных типах компьютеров применяются различные варианты представления чисел в форме с плавающей точкой. Рассмотрим один из вариантов внутреннего представления вещественного числа в четырехбайтовой ячейке памяти. В ячейке должна содержаться следующая инфор­мация о числе: знак числа, порядок и значащие циф­ры мантиссы. Машинный порядок Мантисса 1-й байт. 1-й, 2-й и 3-й байты. В старшем бите 1-го байта хранится знак числа: 0 обозначает плюс, 1 — минус. Оставшиеся 7 бит пер­вого байта содержат машинный порядок. В следую­щих трех байтах хранятся значащие цифры мантис­сы (24 разряда).
    В семи двоичных разрядах помещаются двоичные числа в диапазоне от 0000000 до 1111111. Значит, машинный порядок изменяется в диапазоне от 0 до 127 (в десятичной системе счисления). Всего 128 значений. Порядок, очевидно, может быть как положительным, так и отрицательным. Разумно эти 128 значений разделить поровну между положительными и отрицательными значениями порядка: от —64 до 63.
    Машинный порядок смещен относительно ма­тематического и имеет только положительные зна­чения. Смещение выбирается так, чтобы минимальному математическому значению порядка соответ­ствовал ноль. Связь между машинным порядком (Мр) и математическим (р) в рассматриваемом случае выражается формулой:
    Мр = р + 64. Полученная формула записана в десятичной си­стеме. В двоичной системе формула имеет вид: МР = Р +10000000.
    Для записи внутреннего представления веществен­ного числа необходимо:
    Перевести модуль данного числа в двоичную систему счисления с 24 значащими цифрами.
    Нормализовать двоичное число.
    Найти машинный порядок в двоичной системе счисления.
    Учитывая знак числа, выписать его представле­ние в четырехбайтовом машинном слове.
    Диапазон вещественных чисел значительно шире диапазона целых чисел. Положительные и отрица­тельные числа расположены симметрично относи­тельно нуля. Следовательно, максимальное и мини­мальное числа равны между собой по модулю.
    Наименьшее по абсолютной величине число рав­но нулю. Наибольшее по абсолютной величине чис­ло в форме с плавающей точкой — это число с самой большой мантиссой и самым большим порядком.
    Если при вычислениях с вещественными числами результат выходит за пределы допустимого диапа­зона, то выполнение программы прерывается. Такое происходит, например, при делении на ноль, или на очень маленькое число, близкое к нулю.
    Вещественные числа, разрядность мантиссы кото­рых превышает число разрядов, выделенных под мантиссу в ячейке памяти, представляются в компью­тере приближенно (с «обрезанной» мантиссой). Например, рациональное десятичное число 0,1 в компьютере будет представлено приближенно (ок­ругленно), поскольку в двоичной системе счисления его мантисса имеет бесконечное число цифр. След­ствием такой приближенности является погрешность машинных вычислений с вещественными числами.
    Вычисления с вещественными числами компьютер выполняет приближенно. Погрешность таких вычис­лений называют погрешностью машинных ок­руглений.
    Множество вещественных чисел, точно представимых в памяти компьютера в форме с плавающей точкой, является ограниченным и дискретным. Дискретность является следствием ограниченного числа разрядов мантиссы, о чем говорилось выше.
    В настоящее время, когда быстродействие процессоров и объём оперативной памяти достаточно велики, а обычной разрядностью компьютеров становится 32 или 64 бита, уже нет жёстких требований к использованию экономных кодов для записи чисел.
    На этом данную статью я заканчиваю, надеюсь, вы полностью разобрались с темами: Вещественные числа, Вещественные числа в памяти компьютера.
    в нормализованном представлении должна удовлетво­рять условию: 0,1п

  9. TacmaH_c_TacmaHkou Ответить

    Система вещественных чисел в математических вычислениях предполагается непрерывной и бесконечной, т.е. не имеющей ограничений на диапазон и точность представления чисел. Однако в компьютерах числа хранятся в регистрах и ячейках памяти с ограниченным количеством разрядов. В следствие этого система вещественных чисел, представимых в машине, является дискретной (прерывной) и конечной.
    При написании вещественных чисел в программах вместо привычной запятой принято ставить точку. Для отображения вещественных чисел, которые могут быть как очень маленькими, так и очень большими, используется форма записи чисел с порядком основания системы счисления. Например, десятичное число 1.25 в этой форме можно представить так:
    1.25 . 100 = 0.125 . 101 = 0.0125 . 102 = …
    или так:
    12.5 . 10-1 = 125.0 . 10-2 = 1250.0 . 10-3 = … .
    Любое число N в системе счисления с основанием q можно записать в виде N = M . qp, где M — множитель, содержащий все цифры числа (мантисса), а p — целое число, называемое порядком. Такой способ записи чисел называется представлением числа с плавающей точкой.
    Если “плавающая” точка расположена в мантиссе перед первой значащей цифрой, то при фиксированном количестве разрядов, отведённых под мантиссу, обеспечивается запись максимального количества значащих цифр числа, то есть максимальная точность представления числа в машине. Из этого следует:
    Мантисса должна быть правильной дробью, у которой первая цифра после точки (запятой в обычной записи) отлична от нуля: 0.12 < = |M| < 1. Если это требование выполнено, то число называется нормализованным Мантиссу и порядок q-ичного числа принято записывать в системе с основанием q, а само основание — в десятичной системе. Примеры нормализованного представления:
    Десятичная система Двоичная система
    753.15 = 0.75315 . 103; —101.01 = —0.10101 . 211 (порядок 112 = 310)
    — 0.000034 = — 0.34 . 10-4; 0.000011 = 0.11 . 2-100 (порядок —1002 = —410).
    Вещественные числа в компьютерах различных типов записываются по-разному, тем не менее, все компьютеры поддерживают несколько международных стандартных форматов, различающихся по точности, но имеющих одинаковую структуру следующего вида:

    Здесь порядок n-разрядного нормализованного числа задается в так называемой смещенной форме: если для задания порядка выделено k разрядов, то к истинному значению порядка, представленного в дополнительном коде, прибавляют смещение, равное (2k-1 — 1). Например, порядок, принимающий значения в диапазоне от —128 до +127, представляется смещенным порядком, значения которого меняются от 0 до 255.

  10. Thorgalis Ответить

    Система вещественных чисел в математических вычислениях предполагается непрерывной и бесконечной, т.е. не имеющей ограничений на диапазон и точность представления чисел. Однако в компьютерах числа хранятся в регистрах и ячейках памяти с ограниченным количеством разрядов. В следствие этого система вещественных чисел, представимых в машине, является дискретной (прерывной) и конечной.
    При написании вещественных чисел в программах вместо привычной запятой принято ставить точку. Для отображения вещественных чисел, которые могут быть как очень маленькими, так и очень большими, используется форма записи чисел с порядком основания системы счисления. Например, десятичное число 1.25 в этой форме можно представить так:
    1.25 . 100 = 0.125 . 101 = 0.0125 . 102 = …
    или так:
    12.5 . 10-1 = 125.0 . 10-2 = 1250.0 . 10-3 = … .
    Любое число N в системе счисления с основанием q можно записать в виде N = M . qp, где M — множитель, содержащий все цифры числа (мантисса), а p — целое число, называемое порядком. Такой способ записи чисел называется представлением числа с плавающей точкой.
    Если “плавающая” точка расположена в мантиссе перед первой значащей цифрой, то при фиксированном количестве разрядов, отведённых под мантиссу, обеспечивается запись максимального количества значащих цифр числа, то есть максимальная точность представления числа в машине. Из этого следует:
    Мантисса должна быть правильной дробью, у которой первая цифра после точки (запятой в обычной записи) отлична от нуля: 0.12 < = |M| < 1. Если это требование выполнено, то число называется нормализованным
    Мантиссу и порядок q-ичного числа принято записывать в системе с основанием q, а само основание — в десятичной системе. Примеры нормализованного представления:
    Десятичная система Двоичная система
    753.15 = 0.75315     . 103; —101.01 = —0.10101 . 211 (порядок 112 = 310)
    — 0.000034 = — 0.34 . 10-4; 0.000011 = 0.11 . 2-100 (порядок —1002 = —410).
    Вещественные числа в компьютерах различных типов записываются по-разному, тем не менее, все компьютеры поддерживают несколько международных стандартных форматов, различающихся по точности, но имеющих одинаковую структуру следующего вида:

    Здесь порядок n-разрядного нормализованного числа задается в так называемой смещенной форме: если для задания порядка выделено k разрядов, то к истинному значению порядка, представленного в дополнительном коде, прибавляют смещение, равное (2k-1 — 1). Например, порядок, принимающий значения в диапазоне от —128 до +127, представляется смещенным порядком, значения которого меняются от 0 до 255.
    Использование смещенной формы позволяет производить операции над порядками, как над беззнаковыми числами, что упрощает операции сравнения, сложения и вычитания порядков, а также упрощает операцию сравнения самих нормализованных чисел.

  11. Skits Ответить

    Система вещественных чисел в математических вычислениях предполагается непрерывной и бесконечной, т.е. не имеющей ограничений на диапазон и точность представления чисел. Однако в компьютерах числа хранятся в регистрах и ячейках памяти с ограниченным количеством разрядов. В следствие этого система вещественных чисел, представимых в машине, является дискретной (прерывной) и конечной.
    При написании вещественных чисел в программах вместо привычной запятой принято ставить точку. Для отображения вещественных чисел, которые могут быть как очень маленькими, так и очень большими, используется форма записи чисел с порядком основания системы счисления. Например, десятичное число 1.25 в этой форме можно представить так:
    1.25 . 100 = 0.125 . 101 = 0.0125 . 102 = …
    или так:
    12.5 . 10-1 = 125.0 . 10-2 = 1250.0 . 10-3 = … .
    Любое число N в системе счисления с основанием q можно записать в виде N = M . qp, где M — множитель, содержащий все цифры числа (мантисса), а p — целое число, называемое порядком. Такой способ записи чисел называется представлением числа с плавающей точкой.
    Если “плавающая” точка расположена в мантиссе перед первой значащей цифрой, то при фиксированном количестве разрядов, отведённых под мантиссу, обеспечивается запись максимального количества значащих цифр числа, то есть максимальная точность представления числа в машине. Из этого следует:
    Мантисса должна быть правильной дробью, у которой первая цифра после точки (запятой в обычной записи) отлична от нуля: 0.12 < = |M| < 1. Если это требование выполнено, то число называется нормализованным Мантиссу и порядок q-ичного числа принято записывать в системе с основанием q, а само основание — в десятичной системе. Примеры нормализованного представления:
    Десятичная система Двоичная система
    753.15 = 0.75315 . 103; —101.01 = —0.10101 . 211 (порядок 112 = 310)
    — 0.000034 = — 0.34 . 10-4; 0.000011 = 0.11 . 2-100 (порядок —1002 = —410).
    Вещественные числа в компьютерах различных типов записываются по-разному, тем не менее, все компьютеры поддерживают несколько международных стандартных форматов, различающихся по точности, но имеющих одинаковую структуру следующего вида:

    Здесь порядок n-разрядного нормализованного числа задается в так называемой смещенной форме: если для задания порядка выделено k разрядов, то к истинному значению порядка, представленного в дополнительном коде, прибавляют смещение, равное (2k-1 — 1). Например, порядок, принимающий значения в диапазоне от —128 до +127, представляется смещенным порядком, значения которого меняются от 0 до 255.

  12. Нюша Ответить

    Система вещественных чисел в математических вычислениях предполагается непрерывной и бесконечной, т.е. не имеющей ограничений на диапазон и точность представления чисел. Однако в компьютерах числа хранятся в регистрах и ячейках памяти с ограниченным количеством разрядов. Вследствие этого система вещественных чисел, представимых в машине, является дискретной (прерывной) и конечной.
    При написании вещественных чисел в программах вместо привычной запятой принято ставить точку. Для отображения вещественных чисел, которые могут быть как очень маленькими, так и очень большими, используется форма записи чисел с порядком основания системы счисления. Например, десятичное число 1.25 в этой форме можно представить так:
    1.25 . 100 = 0.125 . 101 = 0.0125 . 102 = …
    или так:
    12.5 . 10-1 = 125.0 . 10-2 = 1250.0 . 10-3 = … .
    Любое число N в системе счисления с основанием q можно записать в виде N = M . qp, где M — множитель, содержащий все цифры числа (мантисса), а p — целое число, называемое порядком. Такой способ записи чисел называется представлением числа с плавающей точкой.
    Если “плавающая” точка расположена в мантиссе перед первой значащей цифрой, то при фиксированном количестве разрядов, отведённых под мантиссу, обеспечивается запись максимального количества значащих цифр числа, то есть максимальная точность представления числа в машине. Из этого следует:
    Мантисса должна быть правильной дробью, у которой первая цифра после точки (запятой в обычной записи) отлична от нуля: 0.12 < = |M| < 1. Если это требование выполнено, то число называется нормализованным Мантиссу и порядок q-ичного числа принято записывать в системе с основанием q, а само основание — в десятичной системе. Примеры нормализованного представления:
    Десятичная система Двоичная система
    753.15 = 0.75315 . 103; —101.01 = —0.10101 . 211 (порядок 112 = 310)
    — 0.000034 = — 0.34 . 10-4; 0.000011 = 0.11 . 2-100 (порядок —1002 = —410).
    Вещественные числа в компьютерах различных типов записываются по-разному, тем не менее, все компьютеры поддерживают несколько международных стандартных форматов, различающихся по точности, но имеющих одинаковую структуру следующего вида:

    Здесь порядок n-разрядного нормализованного числа задается в так называемой смещенной форме: если для задания порядка выделено k разрядов, то к истинному значению порядка, представленного в дополнительном коде, прибавляют смещение, равное (2k-1 — 1). Например, порядок, принимающий значения в диапазоне от —128 до +127, представляется смещенным порядком, значения которого меняются от 0 до 255.
    Использование смещенной формы позволяет производить операции над порядками, как над беззнаковыми числами, что упрощает операции сравнения, сложения и вычитания порядков, а также упрощает операцию сравнения самих нормализованных чисел.
    Чем больше разрядов отводится под запись мантиссы, тем выше точность представления числа. Чем больше разрядов занимает порядок, тем шире диапазон от наименьшего отличного от нуля числа до наибольшего числа, представимого в машине при заданном формате.
    Стандартные форматы представления вещественных чисел:
    1) одинарный — 32-разрядное нормализованное число со знаком, 8-разрядным смещенным порядком и 24-разрядной мантиссой (старший бит мантиссы, всегда равный 1, не хранится в памяти, и размер поля, выделенного для хранения мантиссы, составляет только 23 разряда).
    2) двойной — 64-разрядное нормализованное число со знаком, 11-разрядным смещенным порядком и 53-разрядной мантиссой (старший бит мантиссы не хранится, размер поля, выделенного для хранения мантиссы, составляет 52 разряда).
    3) расширенный — 80-разрядное число со знаком, 15-разрядным смещенным порядком и 64-разрядной мантиссой. Позволяет хранить ненормализованные числа.
    Следует отметить, что вещественный формат с m-разрядной мантиссой позволяет абсолютно точно представлять m-разрядные целые числа, т. е. любое двоичное целое число, содержащее не более m разрядов, может быть без искажений преобразовано в вещественный формат.

  13. summer Ответить

    1. Число 6.2510 = 110.012 = 0,11001•211 :
    2. Число –0.12510 = –0.0012 = –0.1*2–10 (отрицательный порядок записан в дополнительном коде):
    Как компьютер выполняет арифметические действия над нормализованными числами?
    К началу выполнения арифметического действия операнды операции помещаются в соответствующие регистры АЛУ.
    Сложение и вычитание
    При сложении и вычитании сначала производится подготовительная операция, называемая выравниванием порядков.
    В процессе выравнивания порядков мантисса числа с меньшим порядком сдвигается в своем регистре вправо на количество разрядов, равное разности порядков операндов. После каждого сдвига порядок увеличивается на единицу.
    В результате выравнивания порядков одноименные разряды чисел оказываются расположенными в соответствующих разрядах обоих регистров, после чего мантиссы складываются или вычитаются.
    В случае необходимости полученный результат нормализуется путем сдвига мантиссы результата влево. После каждого сдвига влево порядок результата уменьшается на единицу.
    Пример 1. Сложить двоичные нормализованные числа 0.10111•2–1 и 0.11011*210. Разность порядков слагаемых здесь равна трем, поэтому перед сложением мантисса первого числа сдвигается на три разряда вправо:
    Пример 2. Выполнить вычитание двоичных нормализованных чисел 0.10101*210 и 0.11101*21. Разность порядков уменьшаемого и вычитаемого здесь равна единице, поэтому перед вычитанием мантисса второго числа сдвигается на один разряд вправо:
    Результат получился не нормализованным, поэтому его мантисса сдвигается влево на два разряда с соответствующим уменьшением порядка на две единицы: 0.1101*20.
    Умножение
    При умножении двух нормализованных чисел их порядки складываются, а мантиссы перемножаются.
    Пример 3. Выполнить умножение двоичных нормализованных чисел:
    (0.11101*2101)*(0.1001*211) = (0.11101*0.1001)* 2(101+11) = 0.100000101*21000.
    Деление
    При делении двух нормализованных чисел из порядка делимого вычитается порядок делителя, а мантисса делимого делится на мантиссу делителя. Затем в случае необходимости полученный результат нормализуется.
    Пример 4. Выполнить деление двоичных нормализованных чисел:
    0.1111*2100 : 0.101*211 = (0.1111 : 0.101) * 2(100–11) = 1.1*21 = 0.11•210.
    Использование представления чисел с плавающей точкой существенно усложняет схему арифметико-логического устройства.
    Упражнения
    4.1. Используя Правило Счета, запишите первые 20 целых чисел в десятичной, двоичной, троичной, пятеричной и восьмеричной системах счисления.
    [ Ответ ]
    4.2. Какие целые числа следуют за числами:
    а) 12;
    е) 18;
    п) F16;
    б) 1012;
    ж) 78;
    м) 1F16;
    в) 1112;
    з) 378;
    н) FF16;
    г) 11112;
    и) 1778;
    о) 9AF916;
    д) 1010112;
    к) 77778;
    п) CDEF16 ?
    [ Ответ ]
    4.3. Какие целые числа предшествуют числам:
    а) 102;
    е) 108;
    л) 1016;
    б) 10102;
    ж) 208;
    м)2016;
    в) 10002;
    з) 1008;
    н) 10016;
    г) 100002;
    и) 1108;
    о) A1016;
    д) 101002;
    к) 10008;
    п) 100016 ?
    [ Ответ ]
    4.4. Какой цифрой заканчивается четное двоичное число? Какой цифрой заканчивается нечетное двоичное число? Какими цифрами может заканчиваться четное троичное число?
    [ Ответ ]
    4.5. Какое наибольшее десятичное число можно записать тремя цифрами:
    o а) в двоичной системе;
    o б) в восьмеричной системе;
    o в) в шестнадцатеричной системе?
    [ Ответ ]
    4.6. В какой системе счисления 21 + 24 = 100?
    Решение. Пусть x — искомое основание системы счисления. Тогда 100x = 1 · x2 + 0 · x1 + 0 · x0, 21x = 2 · x1 + 1 · x0, 24x = 2 · x1 + 4 · x0. Таким образом, x2 = 2x + 2x + 5 или x2 – 4x – 5 = 0. Положительным корнем этого квадратного уравнения является x = 5.
    Ответ. Числа записаны в пятеричной системе счисления.
    4.7. В какой системе счисления справедливо следующее:
    o а) 20 + 25 = 100;
    o б) 22 + 44 = 110?
    [ Ответ ]
    4.8. Десятичное число 59 эквивалентно числу 214 в некоторой другой системе счисления. Найдите основание этой системы.
    [ Ответ ]
    4.9. Переведите числа в десятичную систему, а затем проверьте результаты, выполнив обратные переводы:
    а) 10110112;
    е) 5178;
    л) 1F16;
    б) 101101112;
    ж) 10108;
    м) ABC16;
    в) 0111000012;
    з) 12348;
    н) 101016;
    г) 0,10001102;
    и) 0,348;
    о) 0,А416;
    д) 110100,112;
    к) 123,418;
    п) 1DE,C816.
    [ Ответ ]
    4.10. Переведите числа из десятичной системы в двоичную, восьмеричную и шестнадцатеричную, а затем проверьте результаты, выполнив обратные переводы:
    а) 12510; б) 22910; в) 8810; г) 37,2510; д) 206,12510.
    [ Ответ ]
    4.11. Переведите числа из двоичной системы в восьмеричную и шестнадцатеричную, а затем проверьте результаты, выполнив обратные переводы:
    а) 1001111110111,01112;
    г) 1011110011100,112;
    б) 1110101011,10111012;
    д) 10111,11111011112;
    в) 10111001,1011001112;
    е) 1100010101,110012.
    [ Ответ ]
    4.12. Переведите в двоичную и восьмеричную системы шестнадцатеричные числа:
    а) 2СE16; б) 9F4016; в) ABCDE16; г) 1010,10116; д) 1ABC,9D16.
    [ Ответ ]
    4.13. Выпишите целые числа:
    o а) от 1011012 до 1100002 в двоичной системе;
    o б) от 2023 до 10003 в троичной системе;
    o в) от 148 до 208 в восьмеричной системе;
    o г) от 2816 до 3016 в шестнадцатеричной системе.
    [ Ответ ]
    4.14. Для десятичных чисел 47 и 79 выполните цепочку переводов из одной системы счисления в другую:
    [ Ответ ]
    4.15. Составьте таблицы сложения однозначных чисел в троичной и пятеричной системах счисления.
    [ Ответ ]
    4.16. Составьте таблицы умножения однозначных чисел в троичной и пятеричной системах счисления.
    [ Ответ ]
    4.17. Сложите числа, а затем проверьте результаты, выполнив соответствующие десятичные сложения:
    а) 10111012 и 11101112;
    д) 378 и 758;
    и) A16 и F16;
    б) 1011,1012 и 101,0112;
    е) 1658 и 378;
    к) 1916 и C16;
    в) 10112, 112 и 111,12;
    ж) 7,58 и 14,68;
    л) A,B16 и E,F16;
    г) 10112 , 11,12 и 1112;
    з) 68, 178 и 78;
    м) E16, 916 и F16.
    [ Ответ ]
    4.18. В каких системах счисления выполнены следующие сложения? Найдите основания каждой системы:
    [ Ответ ]
    4.19. Найдите те подстановки десятичных цифр вместо букв, которые делают правильными выписанные результаты (разные цифры замещаются разными буквами):
    [ Ответ ]
    4.20. Вычтите:
    а) 1112 из 101002;
    д) 158 из 208;
    и) 1А16 из 3116;
    б) 10,112 из 100,12;
    е) 478 из 1028;
    к) F9E16 из 2А3016;
    в) 111,12 из 100102;
    ж) 56,78 из 1018;
    л) D,116 из B,9216;
    г) 100012 из 1110,112;
    з) 16,548 из 30,018;
    м) ABC16 из 567816.
    [ Ответ ]
    4.21. Перемножьте числа, а затем проверьте результаты, выполнив соответствующие десятичные умножения:
    а) 1011012 и 1012;
    д) 378 и 48;
    б) 1111012 и 11,012;
    е) 168 и 78;
    в) 1011,112 и 101,12;
    ж) 7,58 и 1,68;
    г) 1012 и 1111,0012;
    з) 6,258 и 7,128.
    [ Ответ ]
    4.22. Разделите 100101102 на 10102 и проверьте результат, умножая делитель на частное.
    [ Ответ ]
    4.23. Разделите 100110101002 на 11002 и затем выполните соответствующее десятичное и восьмеричное деление.
    [ Ответ ]
    4.24. Вычислите значения выражений:
    o а) 2568 + 10110,12 * (608 + 1210) – 1F16;
    o б) 1AD16 – 1001011002 : 10102 + 2178;
    o в) 101010 + (10616 – 110111012) 128;
    o г) 10112 * 11002 : 148 + (1000002 – 408).
    [ Ответ ]
    4.25. Расположите следующие числа в порядке возрастания:
    o а) 748, 1100102, 7010, 3816;
    o б) 6E16, 1428, 11010012, 10010;
    o в) 7778, 1011111112, 2FF16, 50010;
    o г) 10010, 11000002, 6016, 1418.
    [ Ответ ]
    4.26. Запишите уменьшающийся ряд чисел +3, +2, …, -3 в однобайтовом формате:
    o а) в прямом коде;
    o б) в обратном коде;
    o в) в дополнительном коде.
    [ Ответ ]
    4.27. Запишите числа в прямом коде (формат 1 байт):
    а) 31; б) -63; в) 65; г) -128.
    [ Ответ ]
    4.28. Запишите числа в обратном и дополнительном кодах (формат 1 байт):
    а) -9; б) -15; в) -127; г) -128.
    [ Ответ ]
    4.29. Найдите десятичные представления чисел, записанных в дополнительном коде:
    а) 1 1111000; б) 1 0011011; в) 1 1101001; г) 1 0000000.
    [ Ответ ]
    4.30. Найдите десятичные представления чисел, записанных в обратном коде:
    а) 1 1101000; б) 1 0011111; в) 1 0101011; г) 1 0000000.
    [ Ответ ]
    4.31. Выполните вычитания чисел путем сложения их обратных (дополнительных) кодов в формате 1 байт. Укажите, в каких случаях имеет место переполнение разрядной сетки:
    а) 9 – 2;
    г) -20 – 10;
    ж) -120 – 15;
    б) 2 – 9;
    д) 50 – 25;
    з) -126 – 1;
    в) -5 – 7;
    е) 127 – 1;
    и) -127 – 1.
    [ Ответ ]

  14. НеПодарок Ответить

    Система вещественных чисел в математических вычислениях предполагается непрерывной и бесконечной, т.е. не имеющей ограничений на диапазон и точность представления чисел. Однако в компьютерах числа хранятся в регистрах и ячейках памяти с ограниченным количеством разрядов. В следствие этого система вещественных чисел, представимых в машине, является дискретной (прерывной) и конечной.
    При написании вещественных чисел в программах вместо привычной запятой принято ставить точку. Для отображения вещественных чисел, которые могут быть как очень маленькими, так и очень большими, используется форма записи чисел с порядком основания системы счисления. Например, десятичное число 1.25 в этой форме можно представить так:
    1.25 . 100 = 0.125 . 101 = 0.0125 . 102 = …
    или так:
    12.5 . 10-1 = 125.0 . 10-2 = 1250.0 . 10-3 = … .
    Любое число N в системе счисления с основанием q можно записать в виде N = M . qp, где M — множитель, содержащий все цифры числа (мантисса), а p — целое число, называемое порядком. Такой способ записи чисел называется представлением числа с плавающей точкой.
    Если “плавающая” точка расположена в мантиссе перед первой значащей цифрой, то при фиксированном количестве разрядов, отведённых под мантиссу, обеспечивается запись максимального количества значащих цифр числа, то есть максимальная точность представления числа в машине. Из этого следует:
    Мантисса должна быть правильной дробью, у которой первая цифра после точки (запятой в обычной записи) отлична от нуля: 0.12 < = |M| < 1. Если это требование выполнено, то число называется нормализованным
    Мантиссу и порядок q-ичного числа принято записывать в системе с основанием q, а само основание — в десятичной системе. Примеры нормализованного представления:
    Десятичная система
    Двоичная система
    753.15 = 0.75315 . 103;
    – 101.01 = – 0.10101 . 211 (порядок 112 = 310)
    – 0.000034 = – 0.34 . 10-4;
    0.000011 = 0.11 . 2-100 (порядок —1002 = —410).
    Вещественные числа в компьютерах различных типов записываются по-разному, тем не менее, все компьютеры поддерживают несколько международных стандартных форматов, различающихся по точности, но имеющих одинаковую структуру следующего вида:

    Здесь порядок n-разрядного нормализованного числа задается в так называемой смещенной форме: если для задания порядка выделено k разрядов, то к истинному значению порядка, представленного в дополнительном коде, прибавляют смещение, равное (2k-1 — 1). Например, порядок, принимающий значения в диапазоне от —128 до +127, представляется смещенным порядком, значения которого меняются от 0 до 255.

  15. VideoAnswer Ответить

Добавить ответ

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *