В какой стране математика стала дедуктивной наукой?

15 ответов на вопрос “В какой стране математика стала дедуктивной наукой?”

ENOS 15-11-2019 Ответить

ВИКТОРИНА ПО ИСТОРИИ МАТЕМАТИКИ
1. В какой стране математика стала дедуктивной наукой?
А) Индия Б) Египет В) Греция Г) Китай
2. Первый кризис в развитии математики был связан с
А) с открытием несоизмеримости Б) с появлением «Апорий» Зенона
В) с формулировкой аксиомы параллельных Г) с пифагорейским учением о числе
3. Кто первым ввел в математику доказательство?
А) Архимед Б) Фалес В) Евклид Г) Пифагор
4. Проблемой квадратуры круга занимались в научной школе
А) пифагорейцев Б) элеатов В) атомистов Г) софистов
5. Родоначальником алгебры считается
А) Диофант Б) Ф.Виет В) Ал-Хорезми г) М.Штифель
6. «Отцом буквенной алгебры» считается
А) Диофант Б) Ф.Виет В) Ал-Хорезми г) М.Штифель
7. Общую классификацию уравнений 1-3 степени дал
А) ал-Хорезми Б) Омар Хайям И) ал-Бируни Г) ал-Каши
8. Метод фэн-чен в китайской математике связан
А) с решением систем линейных уравнений Б) с решением квадратных уравнений
В) с вычислением площадей геометрических фигур Г) с доказательством иррациональности ?
9. Отношение последующего члена ряда Фибоначчи к предыдущему связано
А) с числом ? Б) С числом е В) с числом золотого сечения г) с числом
10. Мнимые числа впервые встретились в работах
А) Д.Кардано Б) К. Ф.Гаусса В) Р. Бомбелли Г) Р.Декарта
11. «Он всю жизнь занимался созданной им «воображаемой геометрией», но в этой воображаемой науке не было ничего фантастического. Она и есть несомненная реальная вещь»
А) К.Ф.Гаусс Б) Н.И.Лобачевский В) Ф.Клейн Г) Б.Риман
12. Он является основателем дифференциальной, проективной, начертательной геометрии
А). Р.Декарт Б) Ж.Дезарг В) Ж.В.Понселе Г) Г.Монж
13. Кто ввел термин «функция»?
А) Р.Декарт Б) И.Ньютон В) Г.В.Лейбниц Г) Л.Эйлер
14. Автором «Новой стереометрии винных бочек» и создателем метода измерения объемов тел вращения является
А) Б.Кавальери Б) И.Кеплер В) Г.Галилей Г) П.Ферма
15. Взаимно обратный характер задач на касательные и квадратуры установил
А) Д.Валли Б) И.Ньютон В) И.Кеплер Г) И.Барроу
16. В «Аналисте» Д.Беркли выступил против
А) дифференциального исчисления Б) метода неделимых
В) аналитической геометрии Г) теории числе
17. Теорию «компенсации ошибок» разрабатывал
А) Ж.Р.Даламбер Б) Ж.Л.Лагранж В) Л.Эйлер Г) Л.Карно
18. Пример непрерывной всюду функции, не имеющей производной ни в одной точке, построил
А) О.Л.Коши Б) Л.Эйлер В) Г.Ф.Гаусс Г) К.Вейерштрасс
19. С докладом об основных проблемах математики выступил
А) Д.Гильберт Б) Ф.Клейн В) Б.Риман Г) А.Пуанкаре
20. Основателем логицизма является
А) Г.Вейль Б) Г.Фреге В) А.Вейль Г) Г.В.Лейбниц
21. О ком сказано: «Его книга является первым фундаментальным трудом в истории русской математики. Заглавие не определяет содержание. По существу его книга является энциклопедией математических знаний»?
А) Л.Эйлер Б) Кирик Новгородский В) Л.Ф.Магницкий Г) М.В.Остроградский
22. Первые серьезные исследования по теории вероятностей в России были начаты
А) Л.Эйлером Б) П.Л.Чебышевым В) Л.Магницкий Г) М.В.Остроградским
23. Московское математическое общество было создано благодаря деятельности
А) Д.М.Перевощикова Б) Н.Д.Брашмана В) Н.В.Бугаева Г) Д.Ф.Егорова
24. Кто адресат обращения Ш.Эрмита: «Вы являетесь гордостью науки в России, одним из первых геометров Европы, одним из величайших геометров вех времен»?
А) Л.Эйлер Б) П.Л.Чебышев В) Д.Ф.Егоров Г) М.В.Остроградский
23. Кто из математиков работал в Варшавском университете?
А) Г.Ф.Вороной Б) Н.Д.Брашман В) О.И.Сомов Г) А.А.Марков
100%Украинка 15-11-2019 Ответить

Название1. В какой стране математика стала дедуктивной наукой?Дата конвертации08.04.2013Размер28.12 Kb.ТипДокументыисточник
1. В какой стране математика стала дедуктивной наукой?
А) Индия Б) Египет В) Греция Г) Китай
2. Первый кризис в развитии математики был связан с
А) с открытием несоизмеримости Б) с появлением «Апорий» Зенона
В) с формулировкой аксиомы параллельных Г) с пифагорейским учением о числе
3. Кто первым ввел в математику доказательство?
А) Архимед Б) Фалес В) Евклид Г) Пифагор
4. Проблемой квадратуры круга занимались в научной школе
А) пифагорейцев Б) элеатов В) атомистов Г) софистов
^ 5. Родоначальником алгебры считается
А) Диофант Б) Ф.Виет В) Ал-Хорезми г) М.Штифель
6. «Отцом буквенной алгебры» считается
А) Диофант Б) Ф.Виет В) Ал-Хорезми г) М.Штифель
^ 7. Общую классификацию уравнений 1-3 степени дал
А) ал-Хорезми Б) Омар Хайям И) ал-Бируни Г) ал-Каши
8. Метод фэн-чен в китайской математике связан
А) с решением систем линейных уравнений Б) с решением квадратных уравнений
В) с вычислением площадей геометрических фигур Г) с доказательством иррациональности ?
^ 9. Отношение последующего члена ряда Фибоначчи к предыдущему связано
А) с числом ? Б) С числом е В) с числом золотого сечения г) с числом
^ 10. Мнимые числа впервые встретились в работах
А) Д.Кардано Б) К. Ф.Гаусса В) Р. Бомбелли Г) Р.Декарта
11. «Он всю жизнь занимался созданной им «воображаемой геометрией», но в этой воображаемой науке не было ничего фантастического. Она и есть несомненная реальная вещь»
А) К.Ф.Гаусс Б) Н.И.Лобачевский В) Ф.Клейн Г) Б.Риман
^ 12. Он является основателем дифференциальной, проективной, начертательной геометрии
А). Р.Декарт Б) Ж.Дезарг В) Ж.В.Понселе Г) Г.Монж
13. Кто ввел термин «функция»?
А) Р.Декарт Б) И.Ньютон В) Г.В.Лейбниц Г) Л.Эйлер
^ 14. Автором «Новой стереометрии винных бочек» и создателем метода измерения объемов тел вращения является
А) Б.Кавальери Б) И.Кеплер В) Г.Галилей Г) П.Ферма
^ 15. Взаимно обратный характер задач на касательные и квадратуры установил
А) Д.Валли Б) И.Ньютон В) И.Кеплер Г) И.Барроу
16. В «Аналисте» Д.Беркли выступил против
А) дифференциального исчисления Б) метода неделимых
В) аналитической геометрии Г) теории числе
^ 17. Теорию «компенсации ошибок» разрабатывал
А) Ж.Р.Даламбер Б) Ж.Л.Лагранж В) Л.Эйлер Г) Л.Карно
18. Пример непрерывной всюду функции, не имеющей производной ни в одной точке, построил
А) О.Л.Коши Б) Л.Эйлер В) Г.Ф.Гаусс Г) К.Вейерштрасс
^ 19. С докладом об основных проблемах математики выступил
А) Д.Гильберт Б) Ф.Клейн В) Б.Риман Г) А.Пуанкаре
20. Основателем логицизма является
А) Г.Вейль Б) Г.Фреге В) А.Вейль Г) Г.В.Лейбниц
21. О ком сказано: «Его книга является первым фундаментальным трудом в истории русской математики. Заглавие не определяет содержание. По существу его книга является энциклопедией математических знаний»?
А) Л.Эйлер Б) Кирик Новгородский В) Л.Ф.Магницкий Г) М.В.Остроградский
^ 22. Первые серьезные исследования по теории вероятностей в России были начаты
А) Л.Эйлером Б) П.Л.Чебышевым В) Л.Магницкий Г) М.В.Остроградским
23. Московское математическое общество было создано благодаря деятельности
А) Д.М.Перевощикова Б) Н.Д.Брашмана В) Н.В.Бугаева Г) Д.Ф.Егорова
24. Кто адресат обращения Ш.Эрмита: «Вы являетесь гордостью науки в России, одним из первых геометров Европы, одним из величайших геометров вех времен»?
А) Л.Эйлер Б) П.Л.Чебышев В) Д.Ф.Егоров Г) М.В.Остроградский
23. Кто из математиков работал в Варшавском университете?
А) Г.Ф.Вороной Б) Н.Д.Брашман В) О.И.Сомов Г) А.А.Марков
Faunos 15-11-2019 Ответить

Название1. В какой стране математика стала дедуктивной наукой?Дата конвертации29.03.2013Размер28.22 Kb.ТипДокументыисточник
1. В какой стране математика стала дедуктивной наукой?
А) Индия Б) Египет В) Греция Г) Китай
2. Первый кризис в развитии математики был связан с
А) с открытием несоизмеримости Б) с появлением «Апорий» Зенона
В) с формулировкой аксиомы параллельных Г) с пифагорейским учением о числе
3. Кто первым ввел в математику доказательство?
А) Архимед Б) Фалес В) Евклид Г) Пифагор
4. Проблемой квадратуры круга занимались в научной школе
А) пифагорейцев Б) элеатов В) атомистов Г) софистов
^ 5. Родоначальником алгебры считается
А) Диофант Б) Ф.Виет В) Ал-Хорезми г) М.Штифель
6. «Отцом буквенной алгебры» считается
А) Диофант Б) Ф.Виет В) Ал-Хорезми г) М.Штифель
^ 7. Общую классификацию уравнений 1-3 степени дал
А) ал-Хорезми Б) Омар Хайям И) ал-Бируни Г) ал-Каши
8. Метод фэн-чен в китайской математике связан
А) с решением систем линейных уравнений Б) с решением квадратных уравнений
В) с вычислением площадей геометрических фигур Г) с доказательством иррациональности ?
^ 9. Отношение последующего члена ряда Фибоначчи к предыдущему связано
А) с числом ? Б) С числом е В) с числом золотого сечения г) с числом
^ 10. Мнимые числа впервые встретились в работах
А) Д.Кардано Б) К. Ф.Гаусса В) Р. Бомбелли Г) Р.Декарта
11. «Он всю жизнь занимался созданной им «воображаемой геометрией», но в этой воображаемой науке не было ничего фантастического. Она и есть несомненная реальная вещь»
А) К.Ф.Гаусс Б) Н.И.Лобачевский В) Ф.Клейн Г) Б.Риман
^ 12. Он является основателем дифференциальной, проективной, начертательной геометрии
А). Р.Декарт Б) Ж.Дезарг В) Ж.В.Понселе Г) Г.Монж
13. Кто ввел термин «функция»?
А) Р.Декарт Б) И.Ньютон В) Г.В.Лейбниц Г) Л.Эйлер
^ 14. Автором «Новой стереометрии винных бочек» и создателем метода измерения объемов тел вращения является
А) Б.Кавальери Б) И.Кеплер В) Г.Галилей Г) П.Ферма
^ 15. Взаимно обратный характер задач на касательные и квадратуры установил
А) Д.Валлиc Б) И.Ньютон В) И.Кеплер Г) И.Барроу
16. В «Аналисте» Д.Беркли выступил против
А) дифференциального исчисления Б) метода неделимых
В) аналитической геометрии Г) теории числе
^ 17. Теорию «компенсации ошибок» разрабатывал
А) Ж.Р.Даламбер Б) Ж.Л.Лагранж В) Л.Эйлер Г) Л.Карно
18. Пример непрерывной всюду функции, не имеющей производной ни в одной точке, построил
А) О.Л.Коши Б) Л.Эйлер В) Г.Ф.Гаусс Г) К.Вейерштрасс
^ 19. С докладом об основных проблемах математики в XX веке выступил
А) Д.Гильберт Б) Ф.Клейн В) Б.Риман Г) А.Пуанкаре
20. Основателем логицизма является
А) Г.Вейль Б) Г.Фреге В) А.Вейль Г) Г.В.Лейбниц
21. О ком сказано: «Его книга является первым фундаментальным трудом в истории русской математики. Заглавие не определяет содержание. По существу его книга является энциклопедией математических знаний»?
А) Л.Эйлер Б) Кирик Новгородский В) Л.Ф.Магницкий Г) М.В.Остроградский
^ 22. Первые серьезные исследования по теории вероятностей в России были начаты
А) Л.Эйлером Б) П.Л.Чебышевым В) Л.Магницкий Г) М.В.Остроградским
23. Московское математическое общество было создано благодаря деятельности
А) Д.М.Перевощикова Б) Н.Д.Брашмана В) Н.В.Бугаева Г) Д.Ф.Егорова
24. Кто адресат обращения Ш.Эрмита: «Вы являетесь гордостью науки в России, одним из первых геометров Европы, одним из величайших геометров вех времен»?
А) Л.Эйлер Б) П.Л.Чебышев В) Д.Ф.Егоров Г) М.В.Остроградский
23. Кто из математиков работал в Варшавском университете?
А) Г.Ф.Вороной Б) Н.Д.Брашман В) О.И.Сомов Г) А.А.Марков
Kerafym 15-11-2019 Ответить

Размещено на http://www.allbest.ru/
Слово «математика» произошло от др.-греч. mбthзma, что означает изучение, знание, наука, и др.-греч. mathзmatikуs, первоначально означающего восприимчивый, успевающий, позднее относящийся к изучению, математике. В частности, ars mathematica, означает искусство математики.
Математика — наука о структурах, порядке и отношениях, которая исторически сложилась на основе операций подсчёта, измерения и описания форм реальных объектов.
«Математика – царица наук» – говорили древние и, во многом, были правы. Математика – одна из древнейших наук, возникшая раньше письменности и многого другого. Ещё люди каменного века занимались простейшим счётом, делая зазубрины на кости и дереве пометки на различных предметах. Учёными найден наскальный рисунок, датированный ещё эпохой палеолита, изображающий число 35 в виде выстроенных в ряд 35 палочек пальцев. Первые достижения геометрии связанны с такими простыми понятиями как прямая и окружность.
Своё дальнейшее развитие царица наук получила с помощью вавилонян и египтян. Представители этих двух цивилизаций, в отличии от праздных греков, использовали науку в основном для хозяйственных нужд. Клинописные глиняные таблички вавилонян, датированные промежутком времени с 2000 тыс. лет до н. э. до 200 тыс. лет до н. э., способны много сказать нам об уровне хозяйственной жизни древней цивилизации. Алгебры вавилоняне использовали для торговли, подсчёта налогов, строительства зернохранилищ. Важнейшей задачей для тогдашних учёных был расчёт календаря, так как по нему велись все сельскохозяйственные работы. Деление окружности на 360 градусов, а минуты на 60 секунд, ввели в обиход именно вавилоняне. Система записи чисел тогда была достаточно сложной: например одни и те же символы могли обозначать как число 21, так и дробь 21/60, и даже (20/60 + 1/60*60). Неоднозначность записи разрешалась в зависимости от контекста. Во многих областях алгебры вавилоняне достигли впечатляющих успехов: им было известно примерное значение корня из двух, способ решения квадратных уравнений и уравнений с десятью неизвестными. Уравнения кубов и четвёртой степени так же не являлись неразрешимой задачкой для наших предков.
Не меньших, по тем временам, успехов достигли в алгебре и геометрии египтяне. Жители долины Нила, подобно народу Месопотамии, использовали математику как практическое орудие. Египтяне вычисляли вес тел, площади посевов, размеры налогов, и объёмы зернохранилищ. Нередкой была задачка, сколько пшеницы потребуется для варки определённого количества кружек пива. Попадались и более сложные задачки, например, с условием, что для варки используются разные сорта зерновых. В таких случаях использовались переводные коэффициенты. Однако главной областью приложения математических знаний была астрономия. Наблюдая за движениями небесных тел, составлялись карты и календари, вычислялись орбиты и прочие параметры, заметные древних астрономам. Математика, используемая при сооружении пирамид, надо сказать, была достаточно примитивной. Задачи и решения, приведенные в папирусах, сформулированы чисто рецептурно, без каких бы то ни было объяснений. Египтяне имели дело только с простейшими типами квадратных уравнений и арифметической и геометрической прогрессиями, а потому и те общие правила, которые они смогли вывести, были также самого простейшего вида.
В целом, сложно назвать древнею математику прогрессивной и развитой. Она сыграла огромную роль в становлении эти двух цивилизаций, ведь не имея таких знаний, нашим предкам не удалось бы создать действенные оросительные системы, вести упорядоченный сбор налогов, успешно заниматься земледелием. Однако, ни вавилонская, ни египетская математики не располагали общими методами; весь свод математических знаний представлял собой скопление эмпирических формул и правил.
С точки зрения 20 в. родоначальниками математики явились греки. Им мы обязаны большей частью современных гипотез и основополагающих теорем, они первыми пришли к дедуктивному методу исследования математики. И тому есть простейшее объяснение – рабство. Общество, целиком и полностью основанное на невольничьем труде, могло позволить себе заниматься математикой, естествознанием или философией. Как мы уже обговорили, математика до греков представляла собой собрание эмпирических знаний, ничем не систематизированных. Напротив, в дедуктивном рассуждении новое утверждение выводится из принятых посылок способом, исключавшим возможность его неприятия. Настаивание греков на дедуктивном доказательстве было экстраординарным шагом. Ни одна другая цивилизация не дошла до идеи получения заключений исключительно на основе дедуктивного рассуждения, исходящего из явно сформулированных аксиом. Одно из объяснений приверженности греков методам дедукции мы находим в, уже обговоренном, устройстве греческого общества классического периода. Математики и философы (нередко это были одни и те же лица) принадлежали к высшим слоям общества, где любая практическая деятельность рассматривалась как недостойное занятие. Математики предпочитали абстрактные рассуждения о числах и пространственных отношениях решению практических задач. Математика делилась на арифметику – теоретический аспект и логистику – вычислительный аспект. Заниматься логистикой предоставляли свободнорожденным низших классов и рабам.
Дедуктивный характер греческой математики полностью сформировался ко времени Платона и Аристотеля. Изобретение дедуктивной математики принято приписывать Фалесу Милетскому, который, как и многие древнегреческие математики классического периода, был также философом. Ещё один великий грек, чьё имя мы ассоциируем с математическими науками, был Пифагор. Пифагор и его последователи, пифагорейцы, создали чистую математику в форме чисел и геометрии. Целые числа они представляли в виде конфигураций из точек или камешков, и даже слово “калькуляция” (расчет, вычисление) берет начало от греческого слова, означающего “камешек”. Числа 3, 6, 10 и т.д. пифагорейцы называли треугольными, так как соответствующее число камешков можно расположить в виде треугольника, числа 4, 9, 16 и т.д. – квадратными, так как соответствующее число камешков можно расположить в виде квадрата, и т.д. Из простых геометрических конфигураций возникали некоторые свойства целых чисел. При этом полное неприятие и даже смятение вызывали у греков иррациональные числа. Впервые столкнувшись в геометрии с числом корень из двух, пифагорейцы растерялись и даже решили держать открытие в тайне. Число, которое невозможно представить в виде двух целых чисел категорически не согласовывалось с мировоззрением греков. Это пример тесного переплетений тогдашних наук. Мы так же можем увидеть его и в неспособности пифагорейцев представить число без наделения его каким-либо качеством. Так, двойка у эллинов отождествлялась с мнением, четвёрка со справедливостью, так как являлась суммой перемноженных двоек.
В целом, даже не имея жизни в практических, прикладных науках, и распространяясь исключительно в высших кругах, математика играла важную роль в жизни Эллады. Платон, и вовсе, считал алгебры и геометрию, не просто посредниками между идеями и данными чувственного опыта – математический порядок мужчина воспринимал точным отражением самой сути реальности. математика геометрия пифагор дедуктивный
Однако греческий период подошёл к концу и около 300 лет до н. э. начался новый виток развития математики – Александрийский. В целом математики александрийского периода были больше склонны к решению чисто технических задач, чем к философии. Великие александрийские математики – Эратосфен, Архимед, Гиппарх, Птолемей – продемонстрировали силу греческого гения в теоретическом абстрагировании, но столь же охотно применяли свой талант к решению практических проблем и чисто количественных задач. Эратосфен нашел простой метод точного вычисления длины окружности Земли, ему же принадлежит календарь, в котором каждый четвертый год имеет на один день больше, чем другие. Величайшим математиком древности был Архимед. Ему принадлежат формулировки многих теорем о площадях и объемах сложных фигур и тел, вполне строго доказанные им методом исчерпывания. Архимед всегда стремился получить точные решения и находил верхние и нижние оценки для иррациональных чисел. Например, работая с правильным 96-угольником, он безукоризненно доказал, что точное значение числа p находится между 31/7 и 310/71. Архимед доказал также несколько теорем, содержавших новые результаты геометрической алгебры. Ему принадлежит формулировка задачи о рассечении шара плоскостью так, чтобы объемы сегментов находились между собой в заданном отношении. Архимед был величайшим математическим физиком древности. Его сочинение о плавающих телах заложило основы гидростатики.
К сожалению, период Александрии был недолог. После падения её в 33. Году от мечей римской империи, математика на некоторое время застыла в своём развитии. Римляне не внесли каких-либо серьёзных новшеств, используя достижения предыдущих эпох и вообще уделяя больше времени практическим проблемам. Не менее «застойными» были и средние века. Сказывалось не только отсутствие образованны людей – в средние века в Европе исследование природы любыми способами, включая математические, считалось предосудительным занятием, т.к. главной стала теологическая ветвь науки. Уровень математического знания не поднимался выше арифметики и простых разделов из Начал Евклида. Наиболее важным разделом математики в Средние века считалась астрология; астрологов называли математиками. А поскольку медицинская практика основывалась преимущественно на астрологических показаниях или противопоказаниях, медикам не оставалось ничего другого, как стать математиками. Центр научной мысли теперь переместился в Индию, а потом в арабские страны. В Индии зарождается алгебра, вводятся десятичная система счисления и нуль для обозначения отсутствия единиц данного разряда.
Новым подъёмом математики можно считать эпоху Возрождения, но лишь в некоторой мере. Началом же современной математики считают 16 век. Именно это время ознаменовалось важнейшими достижениями в алгебре и геометрии. Были введены десятичные дроби и, естественно, правила обращения с ними. Настоящим триумфом стало изобретение в 1617 году логарифмов. Сформировавшаяся к тому времени сеть учебных заведений по всей Европе уже могла взрастить образованных эрудированных людей, которые, с помощью всё расширяющегося набора средств, продвигали вперёд алгебры и геометрию. Однако многое тогдашние вычисления и размышления современным математикам всё ещё могли бы показаться странными и глупыми. В частности, всё ещё не была решена судьба иррациональных чисел. В то время как Декарт и ряд других математиков свободно использовали их в алгебраических управлениях и вычислениях, знаменитый учёный Паскаль искренне верил, что всевозможные корни не имеют права на жизнь за пределами геометрических уравнений. Не утихали споры касательно правомерности использования отрицательных чисел. Если некоторые математики свободно с ними работали, другие наотрез отказывались подобные величины рассматривать. Недопустимыми большая часть мирового сообщества считала и уравнения с комплексными числами, как, например, 5 + корень из пяти. Уже упомянутый выше Декарт упорно именовал такие уравнения «мнимыми». Эти числа были под подозрением даже в 18 в., хотя Л.Эйлер с успехом пользовался ими. Комплексные числа окончательно признали только в начале 19 в., когда математики освоились с их геометрическим представлением.
Подлинным переворотом, истинно поднявшим уровень математической науки, стало изобретение аналитической или координатной геометрии. Учёным, внедрившим её в научное сообщество, считается Декарт. Евклидова геометрическая алгебра для каждого построения требовала изобретения своего оригинального метода и не могла предложить количественную информацию, необходимую науке. Декарт решил эту проблему: он формулировал геометрические задачи алгебраически, решал алгебраическое уравнение и лишь затем строил искомое решение – отрезок, имевший соответствующую длину. Аналитическая геометрия стала одним из важнейших открытий, так как полностью поменяла ролями геометрию и алгебру. Как заметил великий французский математик Лагранж, “пока алгебра и геометрия двигались каждая своим путем, их прогресс был медленным, а приложения ограниченными. Но когда эти науки объединили свои усилия, они позаимствовали друг у друга новые жизненные силы и с тех пор быстрыми шагами направились к совершенству”.
Время с начала 16 века считается началом современной математики, так как именно тогда с помощью этой науки стали подходить ко всем вопросам естествознания. Физика, химия, инженерия, астрономия и многие другие науки начали активно использовать математические методы для своего развития. В наше время уже не одно утверждение, теория или гипотеза не могут считаться истинными, если не доказаны математически. Создание дифференциального и интегрального исчислений ознаменовало начало “высшей математики”. Практически любое физическое явление можно просто и понятно расписать математическими средствами, математическим анализом.
Когда-то И.Кант сказал: «Математика – наука, брошенная человеком на исследование мира в его возможных вариантах”. Математику дано видеть мир во всех его логических вариантах. Ему разрешены построения, противоречивые физически, главное, чтобы они не были противоречивы логически. Физики говорят, каков мир, математики исследуют, каким бы он мог быть в его потенциальных версиях. Как замечает австрийский математик и писатель нашего времени Р. Музиль, «математика есть роскошь броситься вперед, очертя голову, потому математики предаются самому отважному и восхитительному авантюризму, какой доступен человеку». Раскованность и рискованность – преимущество не только собственно математика, но и любого исследователя, поскольку он мыслит математически, то есть, по выражению Г. Вейля, пытаясь дать “теоретическое изображение бытия на фоне возможного”. Но у учёного нет возможности для бескрайнего фантазирования. Истина состоит в том, что нематематические науки, сталкиваясь с запретами в проявлении какого-либо свойства, действия, не знают границ, до которых распространяется их компетенция. Это может знать только математика, которая владеет расчётами на основе количественного описания явлений. Другие науки не могут устанавливать пределы возможного – той количественной меры, которая определяет вариантность изменений. Например, биолог не знает пределы возможного для жизни и познаёт её в диапазоне наблюдаемого.
Т. к. абстракции математики отдалены от конкретных свойств, она способна проводить аналогии между качественно различными объектами, переходить от одной области реальности к другой. Д. Пойа назвал это свойство математики умением “наводить мосты над пропастью”. Там, где конкретная наука останавливается, математика может переносить свои структуры на соседние, близкие и далекие, регионы природы.
Однако, как кажется мне, математическая наука абсолютно лишает мир многообразия. Как выразился русский математик И.Шафаревич она «убивает индивидуальность». Он пишет: «Мы имеем, скажем, яблоко, цветок, кошку, дом, солдата, студента, луну. Можно сосчитать и объявить, что их 7. Но 7 чего? Единственный ответ: “7 предметов”. Различия между солдатом, луной, яблоком и т.д. исчезают. Они все потеряли свою индивидуальность и превратились в лишенные признаков “предметы”». То есть счёт делает предметы равными.
Невозможно, конечно, отрицать, что современный мир нельзя представить без математики и её достижений, но лично я предпочитаю углубляться в другие школьные предметы.
Размещено на Allbest.ru
Dухман 15-11-2019 Ответить

Известно, что в Вавилоне и Египте (2 тыс. лет до н.э.) решали математические задачи арифметического, алгебраического и геометрического содержания. При этом нередко обращались к определенным правилам, таблицам. Но теорий, из которых выводились бы эти правила, чаще всего не существовало. Поэтому не удивительно, что среди этих правил были и такие, которые давали в некоторых случаях правильные результаты, а в других – ошибочные. Следует также подчеркнуть, что накопление математических знаний в Египте имело эмпирический характер.
Становление математики как науки началось в Древней Греции, где появились значительные достижения в области геометрии. Именно в Греции начиная с XII в. до н.э. разрабатывается математическая теория. Из науки практической математика превращается в логическую, дедуктивную,
Знаменательным событием в истории развития математики было появление, меньше чем за 300 лет до н.э., классического произведения Эвклида «Начало», где систематически изложена геометрия приблизительно в том объеме, в котором она теперь изучается в средней школе. Кроме того, в нем есть данные о делении чисел и решении квадратных уравнений. В III в. до н.э. Агголоний написал книгу о свойствах некоторых чудесных кривых – эллипса, гиперболы и параболы.
Однако в эпоху рабовладельческого общества развитие науки осуществлялось очень медленно. Это объясняется, прежде всего, отрывом теории от практики, господством убеждений, что настоящая наука не должна интересоваться жизненными потребностям людей, что применять науку на практике – означает унижать ее. В этот период в Древней Греции господствовала идеалистическая философская школа Платона, которая установила в математике ряд запретов и ограничений, негативное значение которых чувствуется иногда и до сих пор (например, пользование только циркулем и линейкой при геометрических построениях). Но уже тогда были ученые, которые правильно рассматривали взаимоотношения теории и практики, опыта и логики, логической дедукции. К ним следует отнести Архимеда, Демокрита, Евклида и других.
Одновременно с греческой, и в основном независимо от нее, развивалась математическая наука в Индии, где не было характерного для греческой математики отрыва теории от практики, логики от опыта. И хотя индийская математика не достигла уровня развития математики греков, она создала немало ценного, что вошло в мировую науку и сохранилось до нашего времени, например десятичная система счисления, решение уравнений 1-й и 2-й степени, введение синуса и т.д.
Преемниками как греческой, так и индийской математической науки стали народы, которые были объединены в VIII в. арабским халифатом. Среди них необычайно важную роль в истории культуры сыграли народы Средней Азии и Закавказья – узбеки, таджики, азербайджанцы. Научные работы тогда писались на арабском языке, который был международным языком стран Ближнего и Среднего Востока, Начиная с VIII в. на арабский язык переводятся произведения индийских и греческих математиков, благодаря чему с ними смогли познакомиться европейцы. Период с XII по XV в. характеризуется началом овладения учеными Европы древней математической наукой. Этого требовали торговые операции большого масштаба. На латинский язык начали переводить научные произведения и первые книги по математике, написанные в Азии.
В конце XV ст. введение книгопечатания ускорило развитие математики как науки в целом. В XVI в. было сделано несколько выдающихся математических открытий: найдено решение уравнений 3-й и 4-й степени в радикалах, установлены методы приближенных вычислений, достигнуты большие успехи в создании алгебраической символики.
На основании археологических данных, изучения летописей можно сделать вывод, что общий уровень математических знаний на Руси в XII-XVI вв. был не ниже, чем в Западной Европе того времени, несмотря на татаро-монгольское нашествие, тормозившее развитие культуры.
Второй этап развития математики по продолжительности намного короче, чем первый. Он охватывает XVI – начало XIX в. С XVI в. начинается расцвет математики в Европе. В это время зарождаются новые математические теории, которые принадлежат к области высшей математики. Основу высшей математики составляют аналитическая геометрия, дифференциальное и интегральное исчисления. Их возникновение связано с именами великих ученых XVII в. Декарта, Ферма, Ньютона, Лейбница. Появилась возможность с помощью математических методов изучать движение, процессы изменения величин и геометрических фигур. Огромное значение имело введение системы координат, измерение величин и понятие «функция».
Выдающимся открытием философии этого периода является признание общности движения и измерения (функции).
Следует отметить, что на первом этапе математика несовершенно отображала количественные отношения и пространственные формы действительности. Во втором этапе развития математики основным объектом изучения стали зависимости между изменяющимися величинами.
Особенно бурно на этом этапе развивалась математика в России. В XVI в. появилось много рукописей математического содержания, посвященных арифметике и геометрии. Именно тогда вышла книга по элементарной математике Л.Ф. Маг-ницкого «Арифметика» (1703 г.). По этой книге обучался математике М.В. Ломоносов.
Л.Ф. Магницкий был достаточно образованным человеком своего времени. Он закончил Московскую славяно-греко-латинскую академию, где получил разностороннее образование. Зная много европейских языков, Л.Ф. Магницкий ознакомился с методической литературой разных стран, в том числе и по математике. Свои знания он изложил в книге, которая стала первым российским учебником по арифметике. По своему характеру учебник не был по-настоящему академическим. Часто мысли излагались в стихотворной форме, текст сопровождался символическими рисунками. Однако это было более менее систематизированное изложение начальной математики. Кроме того, в учебнике был помещен материал по алгебре, геометрии и тригонометрии.
Долгое время единственным высшим учебным заведением Восточной Европы была Киево-Могилянская академия. Она играла важную роль в развитии науки, культурного и литературного процесса на Украине XVII-XVIII вв., входившей тогда в состав России. В этот период весьма плодотворными были научные связи Киево-Могилянской академии с образовательными учреждениями Кракова, Магдебурга, Константинополя и др. С конца XVIII в. академия постепенно теряет роль культурно-образовательного центра и в 1817 году закрывается. Ее функции приняли Киевская духовная академия (1819 г.) и Киевский университет (1834 г.).
В 1724 году была создана Петербургская академия наук, где с 1727 года работал великий математик Л. Эйлер, опубликовавший большую часть своих трудов (473) в изданиях Академии.
В 1755 году благодаря заботам выдающегося российского ученого М.В. Ломоносова был основан первый российский университет в Москве. Появились многочисленные русские переводы лучших иностранных учебников по математике, а также ряд оригинальных российских учебников по арифметике, алгебре, геометрии, тригонометрии и анализу, которые по научному уровню не уступали западноевропейским учебникам того времени.
Третий этап развития математики – с XIX в. до наших дней. Он характеризуется интенсивным развитием классической высшей математики. Математика стала наукой о количественных и пространственных формах действительного мира в их взаимосвязи. Она переросла предыдущие рамки, ограничивавшие ее изучением чисел, величин, процессов изменения геометрических фигур и их превращений, и стала наукой о более общих количественных отношениях, для которых числа и величины являются лишь отдельными случаями.
Большой вклад в развитие математики внесли российские ученые (М.И. Лобачевский, П.Л. Чебышев, А.М. Колмогоров и др.). Современная математика достигла очень высокого уровня развития. Теперь насчитывается несколько десятков разных областей математики, каждая из которых имеет свое содержание, свои методы исследования и сферы применения.
Во второй половине XX в. возникли математическая экономика, математическая биология и лингвистика, математическая логика, теория информации и др.
Современное развитие общества, экономики и культуры предусматривает высокий уровень обработки информации. Решение многих научных и хозяйственных задач невозможно без использования вычислительной техники, создания специального оборудования и машин. Сейчас широко используются вычислительно-аналитические и электронно-вычислительные машины, работающие с недоступной для человека быстротой.
В середине XX в. возникла кибернетика – новая математическая наука. Кибернетика – наука о руководстве, связи и переработке информации. Основателем ее считается американский математик Норберт Винер, в 1948 году опубликовавший книгу под названием «Кибернетика, или Руководство и связь в живом организме и машине». Кибернетика возникла благодаря синтезированию данных целого ряда смежных научных дисциплин: теории информации, теории вероятности, автоматов, а также данных физиологии высшей нервной деятельности, современной вычислительной техники и автоматики.
Кибернетика – одна из самых молодых математических наук, ей всего несколько десятков лет, но перспективы ее развития велики. Кибернетические машины руководят полетом космических кораблей, они находятся на службе у медицины и др. Однако все эти машины производит и строит сам человек. Все это продукт человеческого гения, результат его знаний, где ведущее место занимают математические науки. Итак, математика, возникшая из практических потребностей человека, преобразовалась в комплексную науку, обеспечивающую дальнейшее развитие современного общества.
Yggnaya 15-11-2019 Ответить

Египет. Наше
знание древнеегипетской математики
основано главным образом на двух
папирусах, датируемых примерно 1700 до н.э.
Излагаемые в этих папирусах
математические сведения восходят к еще
более раннему периоду – ок. 3500 до н.э.
Египтяне использовали математику,
чтобы вычислять вес тел, площади
посевов и объемы зернохранилищ,
размеры податей и количество камней,
требуемое для возведения тех или иных
сооружений. В папирусах можно найти
также задачи, связанные с определением
количества зерна, необходимого для
приготовления заданного числа кружек
пива, а также более сложные задачи,
связанные с различием в сортах зерна;
для этих случаев вычислялись
переводные коэффициенты.
Но главной областью
применения математики была астрономия,
точнее расчеты, связанные с календарем.
Календарь использовался для
определения дат религиозных
праздников и предсказания ежегодных
разливов Нила. Однако уровень развития
астрономии в Древнем Египте намного
уступал уровню ее развития в Вавилоне.
Древнеегипетская
письменность основывалась на
иероглифах. Система счисления того
периода также уступала вавилонской.
Египтяне пользовались непозиционной
десятичной системой, в которой числа от
1 до 9 обозначались соответствующим
числом вертикальных черточек, а для
последовательных степеней числа 10
вводились индивидуальные символы.
Последовательно комбинируя эти
символы, можно было записать любое
число. С появлением папируса возникло
так называемое иератическое письмо-скоропись,
способствовавшее, в свою очередь,
появлению новой числовой системы. Для
каждого из чисел от 1 до 9 и для каждого
из первых девяти кратных чисел 10, 100 и т.д.
использовался специальный
опознавательный символ. Дроби
записывались в виде суммы дробей с
числителем, равным единице. С такими
дробями египтяне производили все
четыре арифметические операции, но
процедура таких вычислений оставалась
очень громоздкой.
Геометрия у египтян
сводилась к вычислениям площадей
прямоугольников, треугольников,
трапеций, круга, а также формулам
вычисления объемов некоторых тел. Надо
сказать, что математика, которую
египтяне использовали при
строительстве пирамид, была простой и
примитивной.
Задачи и решения,
приведенные в папирусах,
сформулированы чисто рецептурно, без
каких бы то ни было объяснений.
Египтяне имели дело только с
простейшими типами квадратных
уравнений и арифметической и
геометрической прогрессиями, а потому
и те общие правила, которые они смогли
вывести, были также самого простейшего
вида. Ни вавилонская, ни египетская
математики не располагали общими
методами; весь свод математических
знаний представлял собой скопление
эмпирических формул и правил.
Хотя майя, жившие в
Центральной Америке, не оказали
влияния на развитие математики, их
достижения, относящиеся примерно к 4 в.,
заслуживают внимания. Майя, по-видимому,
первыми использовали специальный
символ для обозначения нуля в своей
двадцатиричной системе. У них были две
системы счисления: в одной применялись
иероглифы, а в другой, более
распространенной, точка обозначала
единицу, горизонтальная черта – число
5, а символ
обозначал нуль. Позиционные
обозначения начинались с числа 20, а
числа записывались по вертикали сверху
вниз..
ГРЕЧЕСКАЯ
МАТЕМАТИКА
Классическая
Греция. С точки зрения 20 в.
родоначальниками математики явились
греки классического периода (6–4 вв. до н.э.).
Математика, существовавшая в более
ранний период, была набором
эмпирических заключений. Напротив, в
дедуктивном рассуждении новое
утверждение выводится из принятых
посылок способом, исключавшим
возможность его неприятия.
Настаивание греков на
дедуктивном доказательстве было
экстраординарным шагом. Ни одна другая
цивилизация не дошла до идеи получения
заключений исключительно на основе
дедуктивного рассуждения, исходящего из
явно сформулированных аксиом. Одно из
объяснений приверженности греков
методам дедукции мы находим в
устройстве греческого общества
классического периода. Математики и
философы (нередко это были одни и те же
лица) принадлежали к высшим слоям
общества, где любая практическая
деятельность рассматривалась как
недостойное занятие. Математики
предпочитали абстрактные рассуждения о
числах и пространственных отношениях
решению практических задач. Математика
делилась на арифметику – теоретический
аспект и логистику – вычислительный
аспект. Заниматься логистикой
предоставляли свободнорожденным низших
классов и рабам.
Греческая система
счисления была основана на
использовании букв алфавита. Аттическая
система, бывшая в ходу с 6–3 вв. до н.э.,
использовала для обозначения единицы
вертикальную черту, а для обозначения
чисел 5, 10, 100, 1000 и 10 000 начальные буквы их
греческих названий. В более поздней
ионической системе счисления для
обозначения чисел использовались 24
буквы греческого алфавита и три
архаические буквы. Кратные 1000 до 9000
обозначались так же, как первые девять
целых чисел от 1 до 9, но перед каждой
буквой ставилась вертикальная черта.
Десятки тысяч обозначались буквой М (от
греческого мириои – 10 000), после которой
ставилось то число, на которое нужно
было умножить десять тысяч.
Дедуктивный характер
греческой математики полностью
сформировался ко времени Платона и
Аристотеля. Изобретение дедуктивной
математики принято приписывать Фалесу
Милетскому (ок. 640–546 до н.э.), который, как
и многие древнегреческие математики
классического периода, был также
философом. Высказывалось предположение,
что Фалес использовал дедукцию для
доказательства некоторых результатов в
геометрии, хотя это сомнительно.
Другим великим греком, с
чьим именем связывают развитие
математики, был Пифагор (ок. 585–500 до н.э.).
Полагают, что он мог познакомиться с
вавилонской и египетской математикой во
время своих долгих странствий. Пифагор
основал движение, расцвет которого
приходится на период ок. 550–300 до н.э.
Пифагорейцы создали чистую математику в
форме теории чисел и геометрии. Целые
числа они представляли в виде
конфигураций из точек или камешков,
классифицируя эти числа в соответствии
с формой возникающих фигур («фигурные
числа»). Слово «калькуляция» (расчет,
вычисление) берет начало от греческого
слова, означающего «камешек». Числа 3, 6, 10
и т.д. пифагорейцы называли треугольными,
так как соответствующее число камешков
можно расположить в виде треугольника,
числа 4, 9, 16 и т.д. – квадратными, так как
соответствующее число камешков можно
расположить в виде квадрата, и т.д.
Из простых геометрических
конфигураций возникали некоторые
свойства целых чисел. Например,
пифагорейцы обнаружили, что сумма двух
последовательных треугольных чисел
всегда равна некоторому квадратному
числу. Они открыли, что если (в
современных обозначениях) n2 –
квадратное число, то n2 + 2n +1 = (n + 1)2.
Число, равное сумме всех своих
собственных делителей, кроме самого
этого числа, пифагорейцы называли
совершенным. Примерами совершенных
чисел могут служить такие целые числа,
как 6, 28 и 496. Два числа пифагорейцы
называли дружественными, если каждое из
чисел равно сумме делителей другого;
например, 220 и 284 – дружественные числа (и
здесь само число исключается из
собственных делителей).
Для пифагорейцев любое
число представляло собой нечто большее,
чем количественную величину. Например,
число 2 согласно их воззрению означало
различие и потому отождествлялось с
мнением. Четверка представляла
справедливость, так как это первое число,
равное произведению двух одинаковых
множителей.
Пифагорейцы также открыли,
что сумма некоторых пар квадратных
чисел есть снова квадратное число.
Например, сумма 9 и 16 равна 25, а сумма 25 и
144 равна 169. Такие тройки чисел, как 3, 4 и 5
или 5, 12 и 13, называются пифагоровыми
числами. Они имеют геометрическую
интерпретацию, если два числа из тройки
приравнять длинам катетов
прямоугольного треугольника, то третье
число будет равно длине его гипотенузы.
Такая интерпретация, по-видимому,
привела пифагорейцев к осознанию более
общего факта, известного ныне под
названием теоремы Пифагора, согласно
которой в любом прямоугольном
треугольнике квадрат длины гипотенузы
равен сумме квадратов длин катетов.
Рассматривая прямоугольный
треугольник с единичными катетами,
пифагорейцы обнаружили, что длина его
гипотенузы равна ,
и это повергло их в смятение, ибо они
тщетно пытались представить число в
виде отношения двух целых чисел, что
было крайне важно для их философии.
Величины, непредставимые в виде
отношения целых чисел, пифагорейцы
назвали несоизмеримыми; современный
термин – «иррациональные числа». Около
300 до н.э. Евклид доказал, что число несоизмеримо.
Пифагорейцы имели дело с
иррациональными числами, представляя
все величины геометрическими образами.
Если 1 и считать
длинами некоторых отрезков, то различие
между рациональными и иррациональными
числами сглаживается. Произведение
чисел и есть
площадь прямоугольника со сторонами
длиной и .Мы
и сегодня иногда говорим о числе 25 как о
квадрате 5, а о числе 27 – как о кубе 3.
Древние греки решали
уравнения с неизвестными посредством
геометрических построений. Были
разработаны специальные построения для
выполнения сложения, вычитания,
умножения и деления отрезков,
извлечения квадратных корней из длин
отрезков; ныне этот метод называется
геометрической алгеброй.
Приведение задач к
геометрическому виду имело ряд важных
последствий. В частности, числа стали
рассматриваться отдельно от геометрии,
поскольку работать с несоизмеримыми
отношениями можно было только с помощью
геометрических методов. Геометрия стала
основой почти всей строгой математики
по крайней мере до1600. И даже в 18 в., когда
уже были достаточно развиты алгебра и
математический анализ, строгая
математика трактовалась как геометрия,
и слово «геометр» было равнозначно
слову «математик».
Именно пифагорейцам мы во
многом обязаны той математикой, которая
затем была систематизированно изложена
и доказана в Началах Евклида. Есть
основания полагать, что именно они
открыли то, что ныне известно как
теоремы о треугольниках, параллельных
прямых, многоугольниках, окружностях,
сферах и правильных многогранниках.
Одним из самых выдающихся
пифагорейцев был Платон (ок. 427–347 до н.э.).
Платон был убежден, что физический мир
постижим лишь посредством математики.
Считается, что именно ему принадлежит
заслуга изобретения аналитического
метода доказательства. (Аналитический
метод начинается с утверждения, которое
требуется доказать, и затем из него
последовательно выводятся следствия до
тех пор, пока не будет достигнут какой-нибудь
известный факт; доказательство
получается с помощью обратной процедуры.)
Принято считать, что последователи
Платона изобрели метод доказательства,
получивший название «доказательство от
противного». Заметное место в истории
математики занимает Аристотель, ученик
Платона. Аристотель заложил основы
науки логики и высказал ряд идей
относительно определений, аксиом,
бесконечности и возможности
геометрических построений.
Величайшим из греческих
математиков классического периода,
уступавшим по значимости полученных
результатов только Архимеду, был Евдокс
(ок. 408–355 до н.э.). Именно он ввел понятие
величины для таких объектов, как отрезки
прямых и углы. Располагая понятием
величины, Евдокс логически строго
обосновал пифагорейский метод
обращения с иррациональными числами.
Работы Евдокса позволили
установить дедуктивную структуру
математики на основе явно формулируемых
аксиом. Ему же принадлежит и первый шаг в
создании математического анализа,
поскольку именно он изобрел метод
вычисления площадей и объемов,
получивший название «метода
исчерпывания». Этот метод состоит в
построении вписанных и описанных
плоских фигур или пространственных тел,
которые заполняют («исчерпывают»)
площадь или объем той фигуры или того
тела, которое является предметом
исследования. Евдоксу же принадлежит и
первая астрономическая теория,
объясняющая наблюдаемое движение
планет. Предложенная Евдоксом теория
была чисто математической; она
показывала, каким образом комбинации
вращающихся сфер с различными радиусами
и осями вращения могут объяснить
кажущиеся нерегулярными движения
Солнца, Луны и планет.
Около 300 до н.э. результаты
многих греческих математиков были
сведены в единое целое Евклидом,
написавшим математический шедевр
Начала. Из немногих проницательно
отобранных аксиом Евклид вывел около 500
теорем, охвативших все наиболее важные
результаты классического периода. Свое
сочинение Евклид начал с определения
таких терминов, как прямая, угол и
окружность. Затем он сформулировал
десять самоочевидных истин, таких, как «целое
больше любой из частей». И из этих десяти
аксиом Евклид смог вывести все теоремы.
Для математиков текст Начал Евклида
долгое время служил образцом строгости,
пока в 19 в. не обнаружилось, что в нем
имеются серьезные недостатки, такие как
неосознанное использование
несформулированных в явном виде
допущений.
Аполлоний (ок. 262–200 до н.э.)
жил в александрийский период, но его
основной труд выдержан в духе
классических традиций. Предложенный им
анализ конических сечений – окружности,
эллипса, параболы и гиперболы – явился
кульминацией развития греческой
геометрии. Аполлоний также стал
основателем количественной
математической астрономии.
Александрийский
период. В этот период, который
начался около 300 до н.э., характер
греческой математики изменился.
Александрийская математика возникла в
результате слияния классической
греческой математики с математикой
Вавилонии и Египта. В целом математики
александрийского периода были больше
склонны к решению чисто технических
задач, чем к философии. Великие
александрийские математики – Эратосфен,
Архимед, Гиппарх, Птолемей, Диофант и
Папп – продемонстрировали силу
греческого гения в теоретическом
абстрагировании, но столь же охотно
применяли свой талант к решению
практических проблем и чисто
количественных задач.
Эратосфен (ок. 275–194 до н.э.)
нашел простой метод точного вычисления
длины окружности Земли, ему же
принадлежит календарь, в котором каждый
четвертый год имеет на один день больше,
чем другие. Астроном Аристарх (ок. 310–230
до н.э.) написал сочинение О размерах и
расстояниях Солнца и Луны, содержавшее
одну из первых попыток определения этих
размеров и расстояний; по своему
характеру работа Аристарха была
геометрической.
Величайшим математиком
древности был Архимед (ок. 287–212 до н.э.).
Ему принадлежат формулировки многих
теорем о площадях и объемах сложных
фигур и тел, вполне строго доказанные им
методом исчерпывания. Архимед всегда
стремился получить точные решения и
находил верхние и нижние оценки для
иррациональных чисел. Например, работая
с правильным 96-угольником, он
безукоризненно доказал, что точное
значение числа p находится между 31/7
и 310/71. Архимед доказал также
несколько теорем, содержавших новые
результаты геометрической алгебры. Ему
принадлежит формулировка задачи о
рассечении шара плоскостью так, чтобы
объемы сегментов находились между собой
в заданном отношении. Архимед решил эту
задачу, отыскав пересечение параболы и
равнобочной гиперболы.
Архимед был величайшим
математическим физиком древности. Для
доказательства теорем механики он
использовал геометрические соображения.
Его сочинение О плавающих телах
заложило основы гидростатики. Согласно
легенде, Архимед открыл носящий его имя
закон, согласно которому на тело,
погруженное в воду, действует
выталкивающая сила, равная весу
вытесненной им жидкости, во время
купания, находясь в ванной, и не в силах
совладать с охватившей его радостью
открытия, выбежал обнаженный на улицу с
криком: «Эврика!» («Открыл!»)
Во времена Архимеда уже не
ограничивались геометрическими
построениями, осуществимыми только с
помощью циркуля и линейки. Архимед
использовал в своих построениях спираль,
а Диоклес (конец 2 в. до н.э.) решил
проблему удвоения куба с помощью
введенной им кривой, получившей
название циссоиды.
В александрийский период
арифметика и алгебра рассматривались
независимо от геометрии. Греки
классического периода имели логически
обоснованную теорию целых чисел, однако
александрийские греки, восприняв
вавилонскую и египетскую арифметику и
алгебру, во многом утратили уже
наработанные представления о
математической строгости. Живший между
100 до н.э. и 100 н.э. Герон Александрийский
трансформировал значительную часть
геометрической алгебры греков в
откровенно нестрогие вычислительные
процедуры. Однако, доказывая новые
теоремы евклидовой геометрии, он по-прежнему
руководствовался стандартами
логической строгости классического
периода.
Первой достаточно
объемистой книгой, в которой арифметика
излагалась независимо от геометрии,
было Введение в арифметику Никомаха (ок.
100 н.э.). В истории арифметики ее роль
сравнима с ролью Начал Евклида в истории
геометрии. На протяжении более 1000 лет
она служила стандартным учебником,
поскольку в ней ясно, четко и
всеобъемлюще излагалось учение о целых
числах (простых, составных, взаимно
простых, а также о пропорциях). Повторяя
многие пифагорейские утверждения,
Введение Никомаха вместе с тем шло
дальше, так как Никомах видел и более
общие отношения, хотя и приводил их без
доказательства.
Знаменательной вехой в
алгебре александрийских греков стали
работы Диофанта (ок. 250). Одно из главных
его достижений связано с введением в
алгебру начал символики. В своих работах
Диофант не предлагал общих методов, он
имел дело с конкретными положительными
рациональными числами, а не с их
буквенными обозначениями. Он заложил
основы т.н. диофантова анализа –
исследования неопределенных уравнений.
Высшим достижением
александрийских математиков стало
создание количественной астрономии.
Гиппарху (ок. 161–126 до н.э.) мы обязаны
изобретением тригонометрии. Его метод
был основан на теореме, утверждающей,
что в подобных треугольниках отношение
длин любых двух сторон одного из них
равно отношению длин двух
соответственных сторон другого. В
частности, отношение длины катета,
лежащего против острого угла А в
прямоугольном треугольнике, к длине
гипотенузы должно быть одним и тем же
для всех прямоугольных треугольников,
имеющих один и тот же острый угол А. Это
отношение известно как синус угла А.
Отношения длин других сторон
прямоугольного треугольника получили
название косинуса и тангенса угла А.
Гиппарх изобрел метод вычисления таких
отношений и составил их таблицы.
Располагая этими таблицами и легко
измеримыми расстояниями на поверхности
Земли, он смог вычислить длину ее
большой окружности и расстояние до Луны.
По его расчетам, радиус Луны составил
одну треть земного радиуса; по
современным данным отношение радиусов
Луны и Земли составляет 27/1000. Гиппарх
определил продолжительность солнечного
года с ошибкой всего лишь в 61/2
минуты; считается, что именно он ввел
широты и долготы.
Греческая тригонометрия и
ее приложения в астрономии достигли
пика своего развития в Альмагесте
египтянина Клавдия Птолемея (умер в 168 н.э.).
В Альмагесте была представлена теория
движения небесных тел, господствовавшая
вплоть до 16 в., когда ее сменила теория
Коперника. Птолемей стремился построить
самую простую математическую модель,
сознавая, что его теория – всего лишь
удобное математическое описание
астрономических явлений, согласованное
с наблюдениями. Теория Коперника
одержала верх именно потому, что как
модель она оказалась проще.
Упадок Греции. После
завоевания Египта римлянами в 31 до н.э.
великая греческая александрийская
цивилизация пришла в упадок. Цицерон с
гордостью утверждал, что в отличие от
греков римляне не мечтатели, а потому
применяют свои математические знания на
практике, извлекая из них реальную
пользу. Однако в развитие самой
математики вклад римлян был
незначителен. Римская система счисления
основывалась на громоздких
обозначениях чисел. Главной ее
особенностью был аддитивный принцип.
Даже вычитательный принцип, например,
запись числа 9 в виде IX, вошел в широкое
употребление только после изобретения
наборных литер в 15 в. Римские
обозначения чисел применялись в
некоторых европейских школах примерно
до 1600, а в бухгалтерии и столетием позже.
ИНДИЯ И АРАБЫ
Преемниками греков в
истории математики стали индийцы.
Индийские математики не занимались
доказательствами, но они ввели
оригинальные понятия и ряд эффективных
методов. Именно они впервые ввели нуль и
как кардинальное число, и как символ
отсутствия единиц в соответствующем
разряде. Махавира (850 н.э.) установил
правила операций с нулем, полагая,
однако, что деление числа на нуль
оставляет число неизменным. Правильный
ответ для случая деления числа на нуль
был дан Бхаскарой (р. в 1114), ему же
принадлежат правила действий над
иррациональными числами. Индийцы ввели
понятие отрицательных чисел (для
обозначения долгов). Самое раннее их
использование мы находим у Брахмагупты (ок.
630). Ариабхата (р. 476) пошел дальше
Диофанта в использовании непрерывных
дробей при решении неопределенных
уравнений.
Наша современная система
счисления, основанная на позиционном
принципе записи чисел и нуля как
кардинального числа и использовании
обозначения пустого разряда, называется
индо-арабской. На стене храма,
построенного в Индии ок. 250 до н.э.,
обнаружено несколько цифр, напоминающих
по своим очертаниям наши современные
цифры.
Около 800 индийская
математика достигла Багдада. Термин «алгебра»
происходит от начала названия книги Аль-джебр
ва-л-мукабала (Восполнение и
противопоставление), написанной в 830
астрономом и математиком аль-Хорезми. В
своем сочинении он воздавал должное
заслугам индийской математики. Алгебра
аль-Хорезми была основана на трудах
Брахмагупты, но в ней явственно
различимы вавилонское и греческое
влияния. Другой выдающийся арабский
математик Ибн аль-Хайсам (ок. 965–1039)
разработал способ получения
алгебраических решений квадратных и
кубических уравнений. Арабские
математики, в их числе и Омар Хайям,
умели решать некоторые кубические
уравнения с помощью геометрических
методов, используя конические сечения.
Арабские астрономы ввели в
тригонометрию понятие тангенса и
котангенса. Насирэддин Туси (1201–1274) в
Трактате о полном четырехугольнике
систематически изложил плоскую и
сферическую геометрии и первым
рассмотрел тригонометрию отдельно от
астрономии.
И все же самым важным
вкладом арабов в математику стали их
переводы и комментарии к великим
творениям греков. Европа познакомилась
с этими работами после завоевания
арабами Северной Африки и Испании, а
позднее труды греков были переведены на
латынь.
Литература:
Ван-дер-Варден Б.Л. Пробуждающаяся наука. Математика Древнего Египта, Вавилона и Греции. М., 1959
Юшкевич А.П. История математики в средние века. М., 1961
Даан-Дальмедико А., Пейффер Ж. Пути и лабиринты. Очерки по истории математики. М., 1986
Клейн Ф. Лекции о развитии математики в XIX столетии. М., 1989
Источник: http://www.krugosvet.ru
Douzahn 15-11-2019 Ответить

Введение
Самой древней математической деятельностью был счет. Счет был необходим, чтобы следить за поголовьем скота и вести торговлю. Некоторые первобытные племена подсчитывали количество предметов, сопоставляя им различные части тела, главным образом пальцы рук и ног. Наскальный рисунок, сохранившийся до наших времен от каменного века, изображает число 35 в виде серии выстроенных в ряд 35 палочек-пальцев. Первыми существенными успехами в арифметике стали концептуализация числа и изобретение четырех основных действий: сложения, вычитания, умножения и деления. Первые достижения геометрии связаны с такими простыми понятиями, как прямая и окружность. Дальнейшее развитие математики началось примерно в 3000 до н.э. благодаря вавилонянам и египтянам.
1. ГРЕЧЕСКАЯ МАТЕМАТИКА
Классическая Греция. С точки зрения 20 в. родоначальниками математики явились греки классического периода (6-4 вв. до н.э.). Математика, существовавшая в более ранний период, была набором эмпирических заключений. Напротив, в дедуктивном рассуждении новое утверждение выводится из принятых посылок способом, исключавшим возможность его неприятия.
Настаивание греков на дедуктивном доказательстве было экстраординарным шагом. Ни одна другая цивилизация не дошла до идеи получения заключений исключительно на основе дедуктивного рассуждения, исходящего из явно сформулированных аксиом. Одно из объяснений приверженности греков методам дедукции мы находим в устройстве греческого общества классического периода. Математики и философы (нередко это были одни и те же лица) принадлежали к высшим слоям общества, где любая практическая деятельность рассматривалась как недостойное занятие. Математики предпочитали абстрактные рассуждения о числах и пространственных отношениях решению практических задач. Математика делилась на арифметику – теоретический аспект и логистику – вычислительный аспект. Заниматься логистикой предоставляли свободнорожденным низших классов и рабам.
Греческая система счисления была основана на использовании букв алфавита. Аттическая система, бывшая в ходу с 6-3 вв. до н.э., использовала для обозначения единицы вертикальную черту, а для обозначения чисел 5, 10, 100, 1000 и 10 000 начальные буквы их греческих названий. В более поздней ионической системе счисления для обозначения чисел использовались 24 буквы греческого алфавита и три архаические буквы. Кратные 1000 до 9000 обозначались так же, как первые девять целых чисел от 1 до 9, но перед каждой буквой ставилась вертикальная черта. Десятки тысяч обозначались буквой М (от греческого мириои – 10 000), после которой ставилось то число, на которое нужно было умножить десять тысяч.
Дедуктивный характер греческой математики полностью сформировался ко времени Платона и Аристотеля. Изобретение дедуктивной математики принято приписывать Фалесу Милетскому (ок. 640-546 до н.э.), который, как и многие древнегреческие математики классического периода, был также философом. Высказывалось предположение, что Фалес использовал дедукцию для доказательства некоторых результатов в геометрии, хотя это сомнительно.
Другим великим греком, с чьим именем связывают развитие математики, был Пифагор (ок. 585-500 до н.э.). Полагают, что он мог познакомиться с вавилонской и египетской математикой во время своих долгих странствий. Пифагор основал движение, расцвет которого приходится на период ок. 550-300 до н.э. Пифагорейцы создали чистую математику в форме теории чисел и геометрии. Целые числа они представляли в виде конфигураций из точек или камешков, классифицируя эти числа в соответствии с формой возникающих фигур («фигурные числа»). Слово «калькуляция» (расчет, вычисление) берет начало от греческого слова, означающего «камешек». Числа 3, 6, 10 и т.д. пифагорейцы называли треугольными, так как соответствующее число камешков можно расположить в виде треугольника, числа 4, 9, 16 и т.д. – квадратными, так как соответствующее число камешков можно расположить в виде квадрата, и т.д.
Из простых геометрических конфигураций возникали некоторые свойства целых чисел. Например, пифагорейцы обнаружили, что сумма двух последовательных треугольных чисел всегда равна некоторому квадратному числу. Они открыли, что если (в современных обозначениях) n2 – квадратное число, то n2 + 2n +1 = (n + 1)2. Число, равное сумме всех своих собственных делителей, кроме самого этого числа, пифагорейцы называли совершенным. Примерами совершенных чисел могут служить такие целые числа, как 6, 28 и 496. Два числа пифагорейцы называли дружественными, если каждое из чисел равно сумме делителей другого; например, 220 и 284 – дружественные числа (и здесь само число исключается из собственных делителей).
Для пифагорейцев любое число представляло собой нечто большее, чем количественную величину. Например, число 2 согласно их воззрению означало различие и потому отождествлялось с мнением. Четверка представляла справедливость, так как это первое число, равное произведению двух одинаковых множителей.
Пифагорейцы также открыли, что сумма некоторых пар квадратных чисел есть снова квадратное число. Например, сумма 9 и 16 равна 25, а сумма 25 и 144 равна 169. Такие тройки чисел, как 3, 4 и 5 или 5, 12 и 13, называются пифагоровыми числами. Они имеют геометрическую интерпретацию, если два числа из тройки приравнять длинам катетов прямоугольного треугольника, то третье число будет равно длине его гипотенузы. Такая интерпретация, по-видимому, привела пифагорейцев к осознанию более общего факта, известного ныне под названием теоремы Пифагора, согласно которой в любом прямоугольном треугольнике квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длин катетов.
Рассматривая прямоугольный треугольник с единичными катетами, пифагорейцы обнаружили, что длина его гипотенузы равна , и это повергло их в смятение, ибо они тщетно пытались представить число в виде отношения двух целых чисел, что было крайне важно для их философии. Величины, непредставимые в виде отношения целых чисел, пифагорейцы назвали несоизмеримыми; современный термин – «иррациональные числа». Около 300 до н.э. Евклид доказал, что число несоизмеримо. Пифагорейцы имели дело с иррациональными числами, представляя все величины геометрическими образами. Если 1 и считать длинами некоторых отрезков, то различие между рациональными и иррациональными числами сглаживается. Произведение чисел и есть площадь прямоугольника со сторонами длиной и .Мы и сегодня иногда говорим о числе 25 как о квадрате 5, а о числе 27 – как о кубе 3.
Древние греки решали уравнения с неизвестными посредством геометрических построений. Были разработаны специальные построения для выполнения сложения, вычитания, умножения и деления отрезков, извлечения квадратных корней из длин отрезков; ныне этот метод называется геометрической алгеброй.
Приведение задач к геометрическому виду имело ряд важных последствий. В частности, числа стали рассматриваться отдельно от геометрии, поскольку работать с несоизмеримыми отношениями можно было только с помощью геометрических методов. Геометрия стала основой почти всей строгой математики по крайней мере до1600. И даже в 18 в., когда уже были достаточно развиты алгебра и математический анализ, строгая математика трактовалась как геометрия, и слово «геометр» было равнозначно слову «математик».
Именно пифагорейцам мы во многом обязаны той математикой, которая затем была систематизированно изложена и доказана в Началах Евклида. Есть основания полагать, что именно они открыли то, что ныне известно как теоремы о треугольниках, параллельных прямых, многоугольниках, окружностях, сферах и правильных многогранниках.
Одним из самых выдающихся пифагорейцев был Платон (ок. 427-347 до н.э.). Платон был убежден, что физический мир постижим лишь посредством математики. Считается, что именно ему принадлежит заслуга изобретения аналитического метода доказательства. (Аналитический метод начинается с утверждения, которое требуется доказать, и затем из него последовательно выводятся следствия до тех пор, пока не будет достигнут какой-нибудь известный факт; доказательство получается с помощью обратной процедуры.) Принято считать, что последователи Платона изобрели метод доказательства, получивший название «доказательство от противного». Заметное место в истории математики занимает Аристотель, ученик Платона. Аристотель заложил основы науки логики и высказал ряд идей относительно определений, аксиом, бесконечности и возможности геометрических построений.
Величайшим из греческих математиков классического периода, уступавшим по значимости полученных результатов только Архимеду, был Евдокс (ок. 408-355 до н.э.). Именно он ввел понятие величины для таких объектов, как отрезки прямых и углы. Располагая понятием величины, Евдокс логически строго обосновал пифагорейский метод обращения с иррациональными числами.
Работы Евдокса позволили установить дедуктивную структуру математики на основе явно формулируемых аксиом. Ему же принадлежит и первый шаг в создании математического анализа, поскольку именно он изобрел метод вычисления площадей и объемов, получивший название «метода исчерпывания». Этот метод состоит в построении вписанных и описанных плоских фигур или пространственных тел, которые заполняют («исчерпывают») площадь или объем той фигуры или того тела, которое является предметом исследования. Евдоксу же принадлежит и первая астрономическая теория, объясняющая наблюдаемое движение планет. Предложенная Евдоксом теория была чисто математической; она показывала, каким образом комбинации вращающихся сфер с различными радиусами и осями вращения могут объяснить кажущиеся нерегулярными движения Солнца, Луны и планет.
Около 300 до н.э. результаты многих греческих математиков были сведены в единое целое Евклидом, написавшим математический шедевр Начала. Из немногих проницательно отобранных аксиом Евклид вывел около 500 теорем, охвативших все наиболее важные результаты классического периода. Свое сочинение Евклид начал с определения таких терминов, как прямая, угол и окружность. Затем он сформулировал десять самоочевидных истин, таких, как «целое больше любой из частей». И из этих десяти аксиом Евклид смог вывести все теоремы. Для математиков текст Начал Евклида долгое время служил образцом строгости, пока в 19 в. не обнаружилось, что в нем имеются серьезные недостатки, такие как неосознанное использование несформулированных в явном виде допущений.
Аполлоний (ок. 262-200 до н.э.) жил в александрийский период, но его основной труд выдержан в духе классических традиций. Предложенный им анализ конических сечений – окружности, эллипса, параболы и гиперболы – явился кульминацией развития греческой геометрии. Аполлоний также стал основателем количественной математической астрономии.
Александрийский период. В этот период, который начался около 300 до н.э., характер греческой математики изменился. Александрийская математика возникла в результате слияния классической греческой математики с математикой Вавилонии и Египта. В целом математики александрийского периода были больше склонны к решению чисто технических задач, чем к философии. Великие александрийские математики – Эратосфен, Архимед, Гиппарх, Птолемей, Диофант и Папп – продемонстрировали силу греческого гения в теоретическом абстрагировании, но столь же охотно применяли свой талант к решению практических проблем и чисто количественных задач.
Эратосфен (ок. 275-194 до н.э.) нашел простой метод точного вычисления длины окружности Земли, ему же принадлежит календарь, в котором каждый четвертый год имеет на один день больше, чем другие. Астроном Аристарх (ок. 310-230 до н.э.) написал сочинение О размерах и расстояниях Солнца и Луны, содержавшее одну из первых попыток определения этих размеров и расстояний; по своему характеру работа Аристарха была геометрической.
Величайшим математиком древности был Архимед (ок. 287-212 до н.э.). Ему принадлежат формулировки многих теорем о площадях и объемах сложных фигур и тел, вполне строго доказанные им методом исчерпывания. Архимед всегда стремился получить точные решения и находил верхние и нижние оценки для иррациональных чисел. Например, работая с правильным 96-угольником, он безукоризненно доказал, что точное значение числа ? находится между 31/7 и 310/71. Архимед доказал также несколько теорем, содержавших новые результаты геометрической алгебры. Ему принадлежит формулировка задачи о рассечении шара плоскостью так, чтобы объемы сегментов находились между собой в заданном отношении. Архимед решил эту задачу, отыскав пересечение параболы и равнобочной гиперболы.
Архимед был величайшим математическим физиком древности. Для доказательства теорем механики он использовал геометрические соображения. Его сочинение О плавающих телах заложило основы гидростатики. Согласно легенде, Архимед открыл носящий его имя закон, согласно которому на тело, погруженное в воду, действует выталкивающая сила, равная весу вытесненной им жидкости, во время купания, находясь в ванной, и не в силах совладать с охватившей его радостью открытия, выбежал обнаженный на улицу с криком: «Эврика!» («Открыл!»)
Во времена Архимеда уже не ограничивались геометрическими построениями, осуществимыми только с помощью циркуля и линейки. Архимед использовал в своих построениях спираль, а Диоклес (конец 2 в. до н.э.) решил проблему удвоения куба с помощью введенной им кривой, получившей название циссоиды.
В александрийский период арифметика и алгебра рассматривались независимо от геометрии. Греки классического периода имели логически обоснованную теорию целых чисел, однако александрийские греки, восприняв вавилонскую и египетскую арифметику и алгебру, во многом утратили уже наработанные представления о математической строгости. Живший между 100 до н.э. и 100 н.э. Герон Александрийский трансформировал значительную часть геометрической алгебры греков в откровенно нестрогие вычислительные процедуры. Однако, доказывая новые теоремы евклидовой геометрии, он по-прежнему руководствовался стандартами логической строгости классического периода.
Первой достаточно объемистой книгой, в которой арифметика излагалась независимо от геометрии, было Введение в арифметику Никомаха (ок. 100 н.э.). В истории арифметики ее роль сравнима с ролью Начал Евклида в истории геометрии. На протяжении более 1000 лет она служила стандартным учебником, поскольку в ней ясно, четко и всеобъемлюще излагалось учение о целых числах (простых, составных, взаимно простых, а также о пропорциях). Повторяя многие пифагорейские утверждения, Введение Никомаха вместе с тем шло дальше, так как Никомах видел и более общие отношения, хотя и приводил их без доказательства.
Знаменательной вехой в алгебре александрийских греков стали работы Диофанта (ок. 250). Одно из главных его достижений связано с введением в алгебру начал символики. В своих работах Диофант не предлагал общих методов, он имел дело с конкретными положительными рациональными числами, а не с их буквенными обозначениями. Он заложил основы т.н. диофантова анализа – исследования неопределенных уравнений.
Высшим достижением александрийских математиков стало создание количественной астрономии. Гиппарху (ок. 161-126 до н.э.) мы обязаны изобретением тригонометрии. Его метод был основан на теореме, утверждающей, что в подобных треугольниках отношение длин любых двух сторон одного из них равно отношению длин двух соответственных сторон другого. В частности, отношение длины катета, лежащего против острого угла А в прямоугольном треугольнике, к длине гипотенузы должно быть одним и тем же для всех прямоугольных треугольников, имеющих один и тот же острый угол А. Это отношение известно как синус угла А. Отношения длин других сторон прямоугольного треугольника получили название косинуса и тангенса угла А. Гиппарх изобрел метод вычисления таких отношений и составил их таблицы. Располагая этими таблицами и легко измеримыми расстояниями на поверхности Земли, он смог вычислить длину ее большой окружности и расстояние до Луны. По его расчетам, радиус Луны составил одну треть земного радиуса; по современным данным отношение радиусов Луны и Земли составляет 27/1000. Гиппарх определил продолжительность солнечного года с ошибкой всего лишь в 61/2 минуты; считается, что именно он ввел широты и долготы.
Греческая тригонометрия и ее приложения в астрономии достигли пика своего развития в Альмагесте египтянина Клавдия Птолемея (умер в 168 н.э.). В Альмагесте была представлена теория движения небесных тел, господствовавшая вплоть до 16 в., когда ее сменила теория Коперника. Птолемей стремился построить самую простую математическую модель, сознавая, что его теория – всего лишь удобное математическое описание астрономических явлений, согласованное с наблюдениями. Теория Коперника одержала верх именно потому, что как модель она оказалась проще.
Упадок Греции. После завоевания Египта римлянами в 31 до н.э. великая греческая александрийская цивилизация пришла в упадок. Цицерон с гордостью утверждал, что в отличие от греков римляне не мечтатели, а потому применяют свои математические знания на практике, извлекая из них реальную пользу. Однако в развитие самой математики вклад римлян был незначителен. Римская система счисления основывалась на громоздких обозначениях чисел. Главной ее особенностью был аддитивный принцип. Даже вычитательный принцип, например, запись числа 9 в виде IX, вошел в широкое употребление только после изобретения наборных литер в 15 в. Римские обозначения чисел применялись в некоторых европейских школах примерно до 1600, а в бухгалтерии и столетием позже.
2. СРЕДНИЕ ВЕКА И ВОЗРОЖДЕНИЕ
Средневековая Европа. Римская цивилизация не оставила заметного следа в математике, поскольку была слишком озабочена решением практических проблем. Цивилизация, сложившаяся в Европе раннего Средневековья (ок. 400-1100), не была продуктивной по прямо противоположной причине: интеллектуальная жизнь сосредоточилась почти исключительно на теологии и загробной жизни. Уровень математического знания не поднимался выше арифметики и простых разделов из Начал Евклида. Наиболее важным разделом математики в Средние века считалась астрология; астрологов называли математиками. А поскольку медицинская практика основывалась преимущественно на астрологических показаниях или противопоказаниях, медикам не оставалось ничего другого, как стать математиками.
Около 1100 в западноевропейской математике начался почти трехвековой период освоения сохраненного арабами и византийскими греками наследия Древнего мира и Востока. Поскольку арабы владели почти всеми трудами древних греков, Европа получила обширную математическую литературу. Перевод этих трудов на латынь способствовал подъему математических исследований. Все великие ученые того времени признавали, что черпали вдохновение в трудах греков.
Первым заслуживающим упоминания европейским математиком стал Леонардо Пизанский (Фибоначчи). В своем сочинении Книга абака (1202) он познакомил европейцев с индо-арабскими цифрами и методами вычислений, а также с арабской алгеброй. В течение следующих нескольких веков математическая активность в Европе ослабла. Свод математических знаний той эпохи, составленный Лукой Пачоли в 1494, не содержал каких-либо алгебраических новшеств, которых не было у Леонардо.
Возрождение. Среди лучших геометров эпохи Возрождения были художники, развившие идею перспективы, которая требовала геометрии со сходящимися параллельными прямыми. Художник Леон Баттиста Альберти (1404-1472) ввел понятия проекции и сечения. Прямолинейные лучи света от глаза наблюдателя к различным точкам изображаемой сцены образуют проекцию; сечение получается при прохождении плоскости через проекцию. Чтобы нарисованная картина выглядела реалистической, она должна была быть таким сечением. Понятия проекции и сечения порождали чисто математические вопросы. Например, какими общими геометрическими свойствами обладают сечение и исходная сцена, каковы свойства двух различных сечений одной и той же проекции, образованных двумя различными плоскостями, пересекающими проекцию под различными углами? Из таких вопросов и возникла проективная геометрия. Ее основатель – Ж.Дезарг (1593-1662) с помощью доказательств, основанных на проекции и сечении, унифицировал подход к различным типам конических сечений, которые великий греческий геометр Аполлоний рассматривал отдельно.
3. НАЧАЛО СОВРЕМЕННОЙ МАТЕМАТИКИ
Наступление 16 в. в Западной Европе ознаменовалось важными достижениями в алгебре и арифметике. Были введены в обращение десятичные дроби и правила арифметических действий с ними. Настоящим триумфом стало изобретение в 1614 логарифмов Дж.Непером. К концу 17 в. окончательно сложилось понимание логарифмов как показателей степени с любым положительным числом, отличным от единицы, в качестве основания. С начала 16 в. более широко стали употребляться иррациональные числа. Б.Паскаль (1623-1662) и И.Барроу (1630-1677), учитель И.Ньютона в Кембриджском университете, утверждали, что такое число, как , можно трактовать лишь как геометрическую величину. Однако в те же годы Р.Декарт (1596-1650) и Дж.Валлис (1616-1703) считали, что иррациональные числа допустимы и сами по себе, без ссылок на геометрию. В 16 в. продолжались споры по поводу законности введения отрицательных чисел. Еще менее приемлемыми считались возникавшие при решении квадратных уравнений комплексные числа, такие как , названные Декартом «мнимыми». Эти числа были под подозрением даже в 18 в., хотя Л.Эйлер (1707-1783) с успехом пользовался ими. Комплексные числа окончательно признали только в начале 19 в., когда математики освоились с их геометрическим представлением.
Достижения в алгебре. В 16 в. итальянские математики Н.Тарталья (1499-1577), С.Даль Ферро (1465-1526), Л.Феррари (1522-1565) и Д.Кардано (1501-1576) нашли общие решения уравнений третьей и четвертой степеней. Чтобы сделать алгебраические рассуждения и их запись более точными, было введено множество символов, в том числе +, -, ?, , =, > и < . Самым существенным новшеством стало систематическое использование французским математиком Ф.Виетом (1540-1603) букв для обозначения неизвестных и постоянных величин. Это нововведение позволило ему найти единый метод решения уравнений второй, третьей и четвертой степеней. Затем математики обратились к уравнениям, степени которых выше четвертой. Работая над этой проблемой, Кардано, Декарт и И.Ньютон (1643-1727) опубликовали (без доказательств) ряд результатов, касающихся числа и вида корней уравнения. Ньютон открыл соотношение между корнями и дискриминантом [b2 - 4ac] квадратного уравнения, а именно, что уравнение ax2 + bx + c = 0 имеет равные действительные, разные действительные или комплексно сопряженные корни в зависимости оттого, будет ли дискриминант b2 - 4ac равен нулю, больше или меньше нуля. В 1799 К.Фридрих Гаусс (1777-1855) доказал т.н. основную теорему алгебры: каждый многочлен n-й степени имеет ровно n корней. Основная задача алгебры - поиск общего решения алгебраических уравнений - продолжала занимать математиков и в начале 19 в. Когда говорят об общем решении уравнения второй степени ax2 + bx + c = 0, имеют в виду, что каждый из двух его корней может быть выражен с помощью конечного числа операций сложения, вычитания, умножения, деления и извлечения корней, производимых над коэффициентами a, b и с. Молодой норвежский математик Н.Абель (1802-1829) доказал, что невозможно получить общее решение уравнения степени выше 4 с помощью конечного числа алгебраических операций. Однако существует много уравнений специального вида степени выше 4, допускающих такое решение. Накануне своей гибели на дуэли юный французский математик Э.Галуа (1811-1832) дал решающий ответ на вопрос о том, какие уравнения разрешимы в радикалах, т.е. корни каких уравнений можно выразить через их коэффициенты в помощью конечного числа алгебраических операций. В теории Галуа использовались подстановки или перестановки корней и было введено понятие группы, которое нашло широкое применение во многих областях математики. Развитие теории групп служит хорошим примером преемственности творческой работы в математике. Галуа построил свою теорию, опираясь на работу Абеля, Абель опирался на работу Ж.Лагранжа (1736-1813). В свою очередь многие выдающиеся математики, в том числе Гаусс и А.Лежандр (1752-1833) в своих работах неявно использовали понятие группы. Ньютон не был чрезмерно скромен, когда заявил: «Если я видел дальше других, то потому, что стоял на плечах гигантов». Аналитическая геометрия. Аналитическая, или координатная, геометрия была создана независимо П.Ферма (1601-1665) и Р.Декартом для того, чтобы расширить возможности евклидовой геометрии в задачах на построение. Однако Ферма рассматривал свои работы лишь как переформулировку сочинения Аполлония. Подлинное открытие - осознание всей мощи алгебраических методов - принадлежит Декарту. Евклидова геометрическая алгебра для каждого построения требовала изобретения своего оригинального метода и не могла предложить количественную информацию, необходимую науке. Декарт решил эту проблему: он формулировал геометрические задачи алгебраически, решал алгебраическое уравнение и лишь затем строил искомое решение - отрезок, имевший соответствующую длину. Собственно аналитическая геометрия возникла, когда Декарт начал рассматривать неопределенные задачи на построение, решениями которых является не одна, а множество возможных длин. Аналитическая геометрия использует алгебраические уравнения для представления и исследования кривых и поверхностей. Декарт считал приемлемой кривую, которую можно записать с помощью единственного алгебраического уравнения относительно х и у. Такой подход был важным шагом вперед, ибо он не только включил в число допустимых такие кривые, как конхоида и циссоида, но также существенно расширил область кривых. В результате в 17-18 вв. множество новых важных кривых, таких как циклоида и цепная линия, вошли в научный обиход. По-видимому, первым математиком, который воспользовался уравнениями для доказательства свойств конических сечений, был Дж.Валлис. К 1865 он алгебраическим путем получил все результаты, представленные в V книге Начал Евклида. Аналитическая геометрия полностью поменяла ролями геометрию и алгебру. Как заметил великий французский математик Лагранж, «пока алгебра и геометрия двигались каждая своим путем, их прогресс был медленным, а приложения ограниченными. Но когда эти науки объединили свои усилия, они позаимствовали друг у друга новые жизненные силы и с тех пор быстрыми шагами направились к совершенству». Математический анализ. Основатели современной науки - Коперник, Кеплер, Галилей и Ньютон - подходили к исследованию природы как математики. Исследуя движение, математики выработали такое фундаментальное понятие, как функция, или отношение между переменными, например d = kt2, где d - расстояние, пройденное свободно падающим телом, а t - число секунд, которое тело находится в свободном падении. Понятие функции сразу же стало центральным в определении скорости в данный момент времени и ускорения движущегося тела. Математическая трудность этой проблемы заключалась в том, что в любой момент тело проходит нулевое расстояние за нулевой промежуток времени. Поэтому определяя значение скорости в момент времени делением пути на время, мы придем к математически бессмысленному выражению 0/0. Задача определения и вычисления мгновенных скоростей изменения различных величин привлекала внимание почти всех математиков 17 в., включая Барроу, Ферма, Декарта и Валлиса. Предложенные ими разрозненные идеи и методы были объединены в систематический, универсально применимый формальный метод Ньютоном и Г.Лейбницем (1646-1716), создателями дифференциального исчисления. По вопросу о приоритете в разработке этого исчисления между ними велись горячие споры, причем Ньютон обвинял Лейбница в плагиате. Однако, как показали исследования историков науки, Лейбниц создал математический анализ независимо от Ньютона. В результате конфликта обмен идеями между математиками континентальной Европы и Англии на долгие годы оказался прерванным с ущербом для английской стороны. Английские математики продолжали развивать идеи анализа в геометрическом направлении, в то время как математики континентальной Европы, в том числе И.Бернулли (1667-1748), Эйлер и Лагранж достигли несравненно бльших успехов, следуя алгебраическому, или аналитическому, подходу. Основой всего математического анализа является понятие предела. Скорость в момент времени определяется как предел, к которому стремится средняя скорость d/t, когда значение t все ближе подходит к нулю. Дифференциальное исчисление дает удобный в вычислениях общий метод нахождения скорости изменения функции f (x) при любом значении х. Эта скорость получила название производной. Из общности записи f (x) видно, что понятие производной применимо не только в задачах, связанных с необходимостью найти скорость или ускорение, но и по отношению к любой функциональной зависимости, например, к какому-нибудь соотношению из экономической теории. Одним из основных приложений дифференциального исчисления являются т.н. задачи на максимум и минимум; другой важный круг задач - нахождение касательной к данной кривой. Оказалось, что с помощью производной, специально изобретенной для работ с задачами движения, можно также находить площади и объемы, ограниченные соответственно кривыми и поверхностями. Методы евклидовой геометрии не обладали должной общностью и не позволяли получать требуемые количественные результаты. Усилиями математиков 17 в. были созданы многочисленные частные методы, позволявшие находить площади фигур, ограниченных кривыми того или иного вида, и в некоторых случаях была отмечена связь этих задач с задачами на нахождение скорости изменения функций. Но, как и в случае дифференциального исчисления, именно Ньютон и Лейбниц осознали общность метода и тем самым заложили основы интегрального исчисления. Метод Ньютона - Лейбница начинается с замены кривой, ограничивающей площадь, которую требуется определить, приближающейся к ней последовательностью ломаных, аналогично тому, как это делалось в изобретенном греками методе исчерпывания. Точная площадь равна пределу суммы площадей n прямоугольников, когда n обращается в бесконечность. Ньютон показал, что этот предел можно найти, обращая процесс нахождения скорости изменения функции. Операция, обратная дифференцированию, называется интегрированием. Утверждение о том, что суммирование можно осуществить, обращая дифференцирование, называется основной теоремой математического анализа. Подобно тому, как дифференцирование применимо к гораздо более широкому классу задач, чем поиск скоростей и ускорений, интегрирование применимо к любой задаче, связанной с суммированием, например, к физическим задачам на сложение сил. 4. СОВРЕМЕННАЯ МАТЕМАТИКА
Создание дифференциального и интегрального исчислений ознаменовало начало «высшей математики». Методы математического анализа, в отличие от понятия предела, лежащего в его основе, выглядели ясными и понятными. Многие годы математики, в том числе Ньютон и Лейбниц, тщетно пытались дать точное определение понятию предела. И все же, несмотря на многочисленные сомнения в обоснованности математического анализа, он находил все более широкое применение. Дифференциальное и интегральное исчисления стали краеугольными камнями математического анализа, который со временем включил в себя и такие предметы, как теория дифференциальных уравнений, обыкновенных и с частными производными, бесконечные ряды, вариационное исчисление, дифференциальная геометрия и многое другое. Строгое определение предела удалось получить лишь в 19 в.
Неевклидова геометрия. К 1800 математика покоилась на двух «китах» – на числовой системе и евклидовой геометрии. Так как многие свойства числовой системы доказывались геометрически, евклидова геометрия была наиболее надежной частью здания математики. Тем не менее аксиома о параллельных содержала утверждение о прямых, простирающихся в бесконечность, которое не могло быть подтверждено опытом. Даже версия этой аксиомы, принадлежащая самому Евклиду, вовсе не утверждает, что какие-то прямые не пересекутся. В ней скорее формулируется условие, при котором они пересекутся в некоторой конечной точке. Столетиями математики пытались найти аксиоме о параллельных соответствующую подходящую замену. Но в каждом варианте непременно оказывался какой-нибудь пробел. Честь создания неевклидовой геометрии выпала Н.И.Лобачевскому (1792-1856) и Я.Бойяи (1802-1860), каждый из которых независимо опубликовал свое собственное оригинальное изложение неевклидовой геометрии. В их геометриях через данную точку можно было провести бесконечно много параллельных прямых. В геометрии Б.Римана (1826-1866) через точку вне прямой нельзя провести ни одной параллельной.
О физических приложениях неевклидовой геометрии никто серьезно не помышлял. Создание А.Эйнштейном (1879-1955) общей теории относительности в 1915 пробудило научный мир к осознанию реальности неевклидовой геометрии.
Неевклидова геометрия стала наиболее впечатляющим интеллектуальным свершением 19 в. Она ясно продемонстрировала, что математику нельзя более рассматривать как свод непререкаемых истин. В лучшем случае математика может гарантировать достоверность доказательства на основе недостоверных аксиом. Но зато математики впредь обрели свободу исследовать любые идеи, которые могли показаться им привлекательными. Каждый математик в отдельности был теперь волен вводить свои собственные новые понятия и устанавливать аксиомы по своему усмотрению, следя лишь за тем, чтобы проистекающие из аксиом теоремы не противоречили друг другу. Грандиозное расширение круга математических исследований в конце прошлого века по существу явилось следствием этой новой свободы.
Математическая строгость. Примерно до 1870 математики пребывали в убеждении, что действуют по предначертаниям древних греков, применяя дедуктивные рассуждения к математическим аксиомам, тем самым обеспечивая своими заключениями не меньшую надежность, чем та, которой обладали аксиомы. Неевклидова геометрия и кватернионы (алгебра, в которой не выполняется свойство коммутативности) заставили математиков осознать, что то, что они принимали за абстрактные и логически непротиворечивые утверждения, в действительности зиждется на эмпирическом и прагматическом базисе.
Создание неевклидовой геометрии сопровождалось также осознанием существования в евклидовой геометрии логических пробелов. Одним из недостатков евклидовых Начал было использование допущений, не сформулированных в явном виде. По-видимому, Евклид не подвергал сомнению те свойства, которыми обладали его геометрические фигуры, но эти свойства не были включены в его аксиомы. Кроме того, доказывая подобие двух треугольников, Евклид воспользовался наложением одного треугольника на другой, неявно предполагая, что при движении свойства фигур не изменяются. Но кроме таких логических пробелов, в Началах оказалось и несколько ошибочных доказательств.
Создание новых алгебр, начавшееся с квартернионов, породило аналогичные сомнения и в отношении логической обоснованности арифметики и алгебры обычной числовой системы. Все ранее известные математикам числа обладали свойством коммутативности, т.е. ab = ba. Кватернионы, совершившие переворот в традиционных представлениях о числах, были открыты в 1843 У.Гамильтоном (1805-1865). Они оказались полезными для решения целого ряда физических и геометрических проблем, хотя для кватернионов не выполнялось свойство коммутативности. Квартернионы вынудили математиков осознать, что если не считать посвященной целым числам и далекой от совершенства части евклидовых Начал, арифметика и алгебра не имеют собственной аксиоматической основы. Математики свободно обращались с отрицательными и комплексными числами и производили алгебраические операции, руководствуясь лишь тем, что они успешно работают. Логическая строгость уступила место демонстрации практической поль

KraFotkA 15-11-2019 Ответить

Хотя в античной науке были попытки использования гипотетико-дедуктивного метода, в частности Архимедом в его исследованиях по равновесию рычагов и гидростатике, однако значение этого метода оставалось неоцененным вплоть до Нового времени. Совершенно иную роль гипотетико-дедуктивный метод, и в особенности гипотетико-дедуктивные системы, стали играть с возникновением экспериментального естествознания и фактуальных наук в целом. Одной из первых гипотетико-дедуктивных систем стала система классической механики, созданная Ньютоном. Возникает вопрос: почему мы называем систему механики гипотетико-дедуктивной, а не теоретической системой или просто теорией? Это делается главным образом для того, чтобы показать ее эмпирическое происхождение и тем самым подчеркнуть ее отличие от теоретических систем чистой математики. Действительно, основные законы ньютоновской механики представляют собой гипотезы, которые настолько хорошо проверены и обоснованы опытом и практикой, что они до появления теории относительности и квантовой механики считались почти абсолютными истинами.
Вторая важная особенность подобных систем заключается в том, что их исходные посылки опираются на наблюдения и эксперимент и поэтому могут уточняться, модифицироваться и видоизменяться с течением времени. Ничего подобного не происходит с аксиомами чистой математики, выбор которых происходит не под влиянием эмпирических фактов. Достаточно отметить, например, что Лобачевский выбрал новую аксиому о параллельных, отличную от евклидовой, в результате всех безуспешных, в том числе и собственных попыток доказать аксиому Евклида о параллельных. Следствия, полученные из новой системы аксиом неевклидовой геометрии, оказались настолько необычными и противоречащими прежней пространственной интуиции и наглядным представлениям, что они
1 См. подробнее: Рузавин Г. И. Методологические проблемы аргументации. М.: Ин-т# философии РАН, 1997.
встретили резкую критику со стороны большинства тогдашних математиков, в том числе и выдающихся. Например, из аксиом геометрии Лобачевского выводится теорема, согласно которой сумма внутренних углов треугольника меньше 180 градусов.
Такой аксиоматико-дедуктивный подход господствует, однако, лишь в «чистой», или теоретической математике, где геометрические системы Евклида и Лобачевского считаются одинаково возможными, ибо они удовлетворяют требованию непротиворечивости. Совсем иначе обстоит дело, когда возникает вопрос о применимости геометрии к реальному, физическому миру. Для того, чтобы убедиться, какая из абстрактно возможных геометрических систем лучше подходит для описания пространственных свойств окружающего нас мира, необходимо дать конкретную физическую интерпретацию основным геометрическим понятиям: «точка», «прямая» и «плоскость».
Например, «точку» рассматривать как место пересечения световых лучей; «прямую» — как луч света; «плоскость» — как идеально ровную поверхность. В результате этого геометрические аксиомы превратятся в физические гипотезы о свойствах и отношениях физического пространства. Соответственно этому и вытекающие из них теоремы будут представлять собой также гипотезы, некоторые из которых можно проверить опытным путем.
Таким образом, при эмпирической интерпретации понятий и аксиом абстрактная геометрия превращается в конкретную ги-потетико-дедуктивную систему, например физическую. Но если в математике обращение к гипотетико-дедуктивному методу происходит только применительно к опытному материалу, то в естествознании этот метод используется для построения конкретных теорий. Действительно, обобщения и гипотезы, возникающие в таких науках, как механика, астрономия, физика, химия и другие, никогда не остаются изолированными друг от друга. Между ними устанавливаются определенные логические отношения, важнейшим из которых является отношение дедукции, или логического вывода. По мере увеличения числа гипотез их стремятся соответствующим образом упорядочить, а именно: выделить минимальное число основных понятий и фундаментальных гипотез, из которых логически выводятся остальные гипотезы. С формальной точки зрения эта процедура ничем не отличается от вывода теорем из аксиом. Однако в отличие от математических аксиом гипотезы конкретных наук интерпретируются одним-
единственным образом, поскольку они относятся к одной, определенной области действительности и их содержание и степень правдоподобия меняются в процессе научного познания.
Гипотетико-дедуктивный метод наибольшее применение получил в тех отраслях естествознания, в которых используется развитый концептуальный аппарат и математические методы исследования. В описательных науках, где преобладают изолированные обобщения и гипотезы, установление логической связи между ними наталкивается на серьезные трудности: во-первых, потому что в них не выделены важнейшие обобщения и факты из огромного числа других, второстепенных; во-вторых, основные гипотезы не отделены от производных; в-третьих, не. выявлены логические отношения между отдельными группами гипотез; в-четвертых, само число гипотез обычно велико. Поэтому усилия исследователей в таких науках направлены не столько на унификацию всех существующих эмпирических обобщений и гипотез путем установления дедуктивных отношений между ними, сколько на поиски наиболее общих фундаментальных гипотез, которые могли бы стать основой построения единой системы знания) Характеризуя состояние современной этнографии, известный русский ученый Л.Н. Гумилев указывал, что в ней «количество фактов столь многочисленно, что речь идет не об их пополнении, а о тех, которые имеют отношение к делу… Количество сведений росло, но в новое качество не
переходило»1.
По мере превращения описательной науки в теоретическую возрастает и роль дедукции в объединении гипотез и превращении их в единую гипотетико-дедуктивную систему. Знакомство с этим процессом мы начнем с освещения возрастающей роли гипотетико-дедуктивного метода в развитии таких ее отраслей, как механика, астрономия и физика, которые считаются наиболее точными и теоретически зрелыми науками.

VideoAnswer 15-11-2019 Ответить

VideoAnswer 15-11-2019 Ответить

VideoAnswer 15-11-2019 Ответить

VideoAnswer 15-11-2019 Ответить

Добавить ответ Отменить ответ

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *
Текст ответа
Имя *

Адрес электронной почты *

Current ye@r *

Leave this field empty

Наш поиск

Похожие вопросы
В какой войне франция стала союзником россии?
В воскресенье утром температура воздуха была 2…
Виллина из какой сказки и в какой живет стране?
Песня baby love какой группы стала хитом в 1964 году?
Где жил волков в какой стране жил?

Новые вопросы

Можно ли купаться после 2 августа в речке?

Какое имя получил сергий радонежский в крещении?

Как сушить яблоки в домашних условиях в микроволновке?

Как правильно сделать дренажную систему вокруг дома?

Почему поздно вечером на пустынной улице необходимо идти по тротуару всегда?