Что такое синус и косинус и как их решать?

13 ответов на вопрос “Что такое синус и косинус и как их решать?”

  1. maljavka777 Ответить

    Вернемся к данным в самом начале определениям и углу альфа, лежащему в пределах от 0 до 90 градусов. Тригонометрические определения синуса, косинуса, тангенса и котангенса полностью согласуются с геометрическими определениями, данными с помощью  соотношений сторон прямоугольного треугольника. Покажем это.

    Возьмем единичную окружность с центром в прямоугольной декартовой системе координат. Повернем начальную точку A(1,0) на угол величиной до 90 градусов и проведем из полученной точки A1(x,y) перпендикуляр к оси абсцисс. В полученном прямоугольном треугольнике угол A1OH равен углу поворота α, длина катета OH равна абсциссе точки A1(x,y). Длина катета, противолежащего углу, равна ординате точки A1(x,y), а длина гипотенузы равна единице, так как она является радиусом единичной окружности.
    В соответствии с определением из геометрии, синус угла α равен отношению противолежащего катета к гипотенузе.
    sin α=A1HOA1=y1=y
    Значит, определение синуса острого угла в прямоугольном треугольнике через соотношение сторон эквивалентно определению синуса угла поворота α, при альфа лежащем в пределах от 0 до 90 градусов.
    Аналогично соответствие определений можно показать для косинуса, тангенса и котангенса.

    Синус, косинус, тангенс и котангенс: основные формулы

  2. Tanzays Ответить

    Приветствую Вас дорогие учащиеся.
    Сейчас рассмотрим что же такое синус, косинус, тангенс и котангенс в прямоугольном треугольнике?
    Это тема не сложная, главное это запомнить правила. И так начнем:
    Вспомним, что такое прямоугольный треугольник?
    Прямоугольным треугольником, называется треугольник у которого один из углов прямой (составляет 90 градусов). Две стороны которые прилежат к прямому углу, называются катетами, а сторона лежащая напротив прямого угла, называется гипотенузой.
    Определение:
    Синус (sin(a)) — это отношение противолежащего катета к гипотенузе;
    Косинус (cos(a)) — это отношение прилежащего катета к гипотенузе;
    Тангенс (tg(a)) — это отношение противолежащего катета к прилежащему катету;
    Другое (равносильное) определение: тангенсом острого угла называется отношение синуса угла к его косинусу;
    tg(a)=sin(a)/cos(a)
    Котангенс (ctg(a)) — это отношение прилежащего катета к противолежащему.
    Другое (равносильное) определение: котангенсом острого угла называется отношение косинуса угла к его синусу;
    ctg(a)=cos(a)/sin(a)
    Рассмотрим на примере:
    Пусть дан прямоугольный треугольник ABC с прямым углом C.
    sin(a)=BC/AB
    cos(a)=AC/AB
    tg(a)=BC/AC
    ctg(a)=AC/BC
    Найти sin(a); cos(a); tg(a); ctg(a)
    Отношение сторон в прямоугольном треугольнике
    Аналогично рассуждаем относительно угла B.
    sin(b)=AC/AB
    cos(b)=BC/AB
    tg(b)=AC/BC
    ctg(b)=BC/AC
    Найти sin(b); cos(b); tg(b); ctg(b)
    Отношение сторон в прямоугольном треугольнике
    Пример:
    Найти тангенс угла С (tg(C)) треугольника ABC.
    Хочешь готовиться к экзаменам бесплатно? Репетитор онлайн бесплатно. Без шуток. ЗДЕСЬ
    Вступайте в группу вконтакте
    На сайте Вы можете в разделе ПОМОГИТЕ РЕШИТЬ задавать интересующие вопросы мы Вам обязательно ответим.
    Рекомендуем подписаться на наш канал на youtube нашего сайта TutoMath.ru, чтобы быть в курсе всех новых видео уроков.

  3. 88Henry88 Ответить


    |BD| – длина дуги окружности с центром в точке A.
    α – угол, выраженный в радианах.
    Синус (sin α) – это тригонометрическая функция, зависящая от угла α между гипотенузой и катетом прямоугольного треугольника, равная отношению длины противолежащего катета |BC| к длине гипотенузы |AC|.
    Косинус (cos α) – это тригонометрическая функция, зависящая от угла α между гипотенузой и катетом прямоугольного треугольника, равная отношению длины прилежащего катета |AB| к длине гипотенузы |AC|.

    Принятые обозначения

    ;
    ;
    .
    ;
    ;
    .

    График функции синус, y = sin x

    График функции косинус, y = cos x

    Свойства синуса и косинуса

    Периодичность

    Функции y = sin x и y = cos x периодичны с периодом 2π.

    Четность

    Функция синус – нечетная. Функция косинус – четная.

    Область определения и значений, экстремумы, возрастание, убывание

    Функции синус и косинус непрерывны на своей области определения, то есть для всех x (см. доказательство непрерывности). Их основные свойства представлены в таблице (n – целое).
    y = sin x y = cos x Область определения и непрерывность – ∞ < x < + ∞ – ∞ < x < + ∞ Область значений –1 ≤ y ≤ 1 –1 ≤ y ≤ 1 Возрастание Убывание Максимумы, y = 1 Минимумы, y = –1 Нули, y = 0 Точки пересечения с осью ординат, x = 0 y = 0 y = 1

    Основные формулы

    Сумма квадратов синуса и косинуса

    Формулы синуса и косинуса от суммы и разности

  4. DisyaGagarin Ответить

    (Введите x=0 и проверьте свою интуицию — tan(0) = 0, а sec(0) = 1.)

    Котангенс и косеканс. Потолок

    Невероятно, но ваш сосед теперь решил возвести перекрытие над вашим куполом. (Что с ним такое? Он, видимо, не хочет, чтобы вы за ним подглядывали, пока он разгуливает по двору голышом…)
    Ну что ж, настало время построить выход на крышу и поговорить с соседом. Вы выбираете угол наклона, и начинаете строительство:

    вертикальное расстояние между выходом на крыше и полом всегда равно 1 (радиусу купола)
    котангенс(x) = cot(x) = расстояние между верхушкой купола и местом выхода
    косеканс(x) = csc(x) = длина вашего пути на крышу
    Тангенс и секанс описывает стену, а КОтангенс и КОсеканс описывает перекрытие.
    Наши интуитивные умозаключения в этот раз похожи на предыдущие:
    eсли вы возьмете угол, равный 0°, ваш выход на крышу будет длиться бесконечно, так как никогда не достигнет перекрытия. Проблемка.
    cамый короткий “трап” на крышу получится, если строить его под углом 90 градусов к полу. Котангенс будет равен 0 (мы вообще не передвигаемся вдоль крыши, выходим строго перпендикулярно), а косеканс равен 1 (“длина трапа” будет минимальной).

    Визуализируйте связи

    Если все три случая нарисовать в комбинации купол-стена-перекрытие, получится следующее:

    Ну надо же, это всё один тот же треугольник, увеличенный в размере, чтобы достать до стены и до перекрытия. У нас есть вертикальные стороны (синус, тангенс), горизонтальные стороны (косинус, котангенс) и “гипотенузы” (секанс, косеканс). (По стрелкам вы можете видеть, докуда доходит каждый элемент. Косеканс — это полное расстояние от вас до крыши).
    Немного волшебства. Все треугольники объединяют одни и те же равенства:

    Из теоремы Пифагора (a2 + b2 = c2) мы видим, как связаны стороны каждого треугольника. Кроме того, соотношения типа “высота к ширине” должны быть также одинаковыми для всех треугольников. (Просто отступите от самого большого треугольника к меньшему. Да, размер изменился, но пропорции сторон останутся прежними).
    Зная, какая сторона в каждом треугольнике равна 1 (радиусу купола), мы легко вычислим, что “sin/cos = tan/1”.
    Я всегда пытался запомнить эти факты путем простой визуализации. На картинке ты четко видишь эти зависимости, и понимаешь, откуда они берутся. Этот прием гораздо лучше заучивания сухих формул.

    Не стоит забывать о других углах

    Тсс… Не нужно зацикливаться на одном графике, думая, что тангенс всегда меньше 1. Если увеличить угол, можно дойти до потолка, не достигнув стены:

    Связи Пифагора всегда работают, но относительные размеры могут быть разными.
    (Вы, наверное, заметили, что соотношение синус и косинус всегда самые маленькие, потому что они заключены внутри купола).

    Подытожим: что нам нужно запомнить?

    Для большинства из нас, я бы сказал, что этого будет достаточно:
    тригонометрия поясняет анатомию математических объектов, таких как окружности и повторяющиеся интервалы
    аналогия купол/стена/крыша показывает связь между различными тригонометрическими функциями
    результатом тригонометрических функций являются проценты, которые мы применяем к нашему сценарию.
    Вам не нужно запоминать формулы, типа 12 + cot2 = csc2. Они годятся разве что для глупых тестов, в которых знание факта выдаётся за его понимание. Потратьте минутку, чтобы нарисовать полуокружность в виде купола, стену и крышу, подпишите элементы, и все формулы сами напросятся вам на бумагу.
    Далее мы узнаем о графиках, дополнениях и использовании формулы Эйлера для поиска новых связей.

    Приложение: обратные функции

    Любая тригонометрическая функция использует в качестве входного параметра угол и возвращает результат в виде процента. sin(30) = 0.5. Это означает, что угол в 30 градусов занимает 50% от максимальной высоты.
    Обратная тригонометрическая функция записывается как sin-1 или arcsin (“арксинус”). Также часто пишут asin в различных языках программирования.
    Если наша высота составляет 25% от высоты купола, каков наш угол?

  5. Andy66 Ответить


    Начало

    Поиск по сайту

    ТОПы

    Учебные заведения

    Предметы

    Проверочные работы

    Обновления

    Новости

    Переменка
    Отправить отзыв

  6. Freemenko Ответить

    Обращали ли вы внимание, что самый короткий маршрут самолёта из точки А в точку Б на поверхности нашей планеты имеет ярко выраженную форму дуги? Причина проста: Земля имеет форму шара, а значит, с помощью треугольников многого не вычислишь – здесь приходится использовать более сложные формулы.

    Не обойтись без синуса/косинуса острого угла в любых вопросах, связанных с космосом. Интересно, что здесь сходится целое множество факторов: тригонометрические функции требуются при расчётах движения планет по окружностям, эллипсам и различным траекториям более сложных форм; процесса запуска ракет, спутников, шаттлов, отстыковки исследовательских аппаратов; наблюдении за далёкими звёздами и изучении галактик, до которых человек в обозримом будущем добраться не сможет.
    В целом поле для деятельности человека, владеющего тригонометрией, очень широко и, по-видимому, со временем будет только расширяться.

    Заключение

    Сегодня мы узнали или, во всяком случае, повторили, что такое синус и косинус. Это понятия, которых не нужно бояться – стоит захотеть, и вы поймете их смысл. Помните, что тригонометрия – это не цель, а лишь инструмент, который можно использовать для удовлетворения реальных человеческих потребностей: строить дома, обеспечивать безопасность движения, даже осваивать просторы вселенной.

    Действительно, сама по себе наука может казаться скучной, но как только вы найдете в ней способ достижения собственных целей, самореализации, процесс обучения станет интересным, а ваша личная мотивация возрастёт.
    В качестве домашнего задания попробуйте найти способы применить тригонометрические функции в той сфере деятельности, которая интересна лично вам. Пофантазируйте, включите воображение, и тогда наверняка окажется, что новые знания пригодятся вам в будущем. Да и кроме того, математика полезна для общего развития мышления.

  7. energy15 Ответить

    Синус и косинус определены для любого угла α, так как мы всегда можем определить абсциссу и ординату точки, которая получается в результате поворота начальной точки на угол α. А тангенс и котангенс определены не для любого угла. Тангенс не определен для таких углов α, при которых начальная точка переходит в точку с нулевой абсциссой (0, 1) или (0, −1), а это имеет место при углах 90°+180°·k, k∈Z (π/2+π·k рад). Действительно, при таких углах поворота выражение tgα=y/x не имеет смысла, так как в нем присутствует деление на нуль. Что же касается котангенса, то он не определен для таких углов α, при которых начальная точка переходит к в точку с нулевой ординатой (1, 0) или (−1, 0), а это имеет место для углов 180°·k, k∈Z (π·k рад).
    Итак, синус и косинус определены для любых углов поворота, тангенс определен для всех углов, кроме 90°+180°·k, k∈Z (π/2+π·k рад), а котангенс – для всех углов, кроме 180°·k, k∈Z (π·k рад).
    В определениях фигурируют уже известные нам обозначения sin, cos, tg и ctg, они используются и для обозначения синуса, косинуса, тангенса и котангенса угла поворота (иногда можно встретить обозначения tan и cot, отвечающие тангенсу и котангенсу). Так синус угла поворота 30 градусов можно записать как sin30°, записям tg(−24°17′) и ctgα отвечают тангенс угла поворота −24 градуса 17 минут и котангенс угла поворота α. Напомним, что при записи радианной меры угла обозначение «рад» часто опускают. Например, косинус угла поворота в три пи рад обычно обозначают cos3·π.
    В заключение этого пункта стоит заметить, что в разговоре про синус, косинус, тангенс и котангенс угла поворота часто опускают словосочетание «угол поворота» или слово «поворота». То есть, вместо фразы «синус угла поворота альфа» обычно используют фразу «синус угла альфа» или еще короче – «синус альфа». Это же касается и косинуса, и тангенса, и котангенса.
    Также скажем, что определения синуса, косинуса, тангенса и котангенса острого угла в прямоугольном треугольнике согласуются с только что данными определениями синуса, косинуса, тангенса и котангенса угла поворота величиной от 0 до 90 градусов. Это мы обоснуем в последнем пункте этой статьи.

  8. Maslo_Jojoba Ответить

    Связи между тригонометрическими функциями одного углаТригонометрические функции суммы и разности двух угловТригонометрические функции двойного углаФормулы понижения степени для квадратов тригонометрических функцийФормулы понижения степени для кубов синуса и косинусаВыражение тангенса угла через синус и косинус двойного углаПреобразование суммы тригонометрических функций в произведениеПреобразование произведения тригонометрических функций в суммуВыражение тригонометрических функций через тангенс половинного углаТригонометрические функции тройного угла

  10. VideoAnswer Ответить

Добавить комментарий для Andy66 Отменить ответ

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *