Если в качестве модели динамики выбрана парабола это означает что?

19 ответов на вопрос “Если в качестве модели динамики выбрана парабола это означает что?”

  1. yura1277 Ответить

    Наиболее точным и эффективным способом выявления основной тенденции развития является аналитическое выравнивание. При этом фактические уровни ряда динамики заменяются теоретическими уровнями, вычисленными на основе определенной кривой, описываемой аналитическим выражением. Предполагается, что теоретическая кривая свободна от всевозможных колебаний и поэтому наиболее точно отображает общую тенденцию изменения во времени изучаемого показателя.
    При аналитическом выравнивании ряда динамики, его уровни выражаются в виде функции времени.
                                                                       (12.1)
    где        – теоретический уровень ряда динамики, вычисленный по определенному
    аналитическом выражению на момент времени .
    Чаще всего при аналитическом выравнивании используются следующие математические зависимости:
    – линейная (уравнение прямой):
                                                                   (12.2)
    – параболическая (уравнение параболы):
                                                                    (12.3)
    – экспоненциальная (уравнение экспоненты):
                                                                      (12.4)
    – гиперболическая (уравнение гиперболы):
                                                                   (12.5)
    Выбор формы кривой во многом определяет результаты выявления тренда. Основанием для выбора формы кривой может использоваться содержательный анализ сущности развития данного явления. Можно опираться на результаты предыдущих исследований в данной области.
    На практике для этих целей прибегают к анализу графического изображения уровней ряда динамики (линейной диаграммы). Однако из графического представления эмпирических данных не всегда удается произвести однозначный выбор формы кривой (вида уравнения). Поэтому целесообразно воспользоваться графическим изображением сглаженных уровней, в которых случайные и периодические колебания в некоторой степени оказываются сглаженными.
    При выборе вида аналитической кривой для выравнивания ряда динамики можно воспользоваться следующими рекомендациями.
    1. Линейная зависимость используется в том случае, когда в исходном ряде динамики наблюдается более или менее постоянные абсолютные цепные приросты, не проявляющие тенденции ни к увеличению, ни к снижению.
    2. Параболическая зависимость выбирается в тех случаях, когда абсолютные цепные приросты сами по себе обнаруживают некоторую тенденцию развития, но абсолютные цепные приросты абсолютных приростов (разности второго порядка) никакой тенденции развития не проявляют.
    3. Экспоненциальные зависимости, если в исходном динамическом ряде наблюдается либо более или менее постоянный относительный рост (устойчивость цепных темпов роста, темпов прироста, коэффициентов роста), либо, при отсутствии точного постоянства, – устойчивость в изменении показателей относительного роста (цепных темпов роста цепных же темпов роста).
    Для решения уравнений аналитических кривых (формулы 12.2 – 12.5) в большинстве случаев используют метод наименьших квадратов, который обеспечивает наименьшую сумму квадратов отклонений фактических уровней от выровненных (теоретических).
                                                                  (12.6)
    Рассмотрим технику аналитического выравнивания ряда динамики с использованием уравнения прямой, имеющей наиболее простое выражение, на следующем примере.
    Пример. Имеются данные за последние 10 лет по заводу, где производятся запасные части для тракторов. Эти данные приведены в табл. 12.3.
    1. Для того, чтобы выдвинуть гипотезу о предполагаемом законе распределения уровней ряда динамики, построим график зависимости выпуска продукции от времени. Такой график для нашего примера представлен на рис. 12.1.
    Таблица 12.3
    Выпуск продукции на заводе (тыс. шт.)
    Годы
    Выпуск продукции, ()




    1991
    39,4
    -9
    81
    -354,60
    39,43
    1992
    39,8
    -7
    49
    -278,60
    39,84
    1993
    40,0
    -5
    25
    -200,00
    40,25
    1994
    40,6
    -3
    9
    -121,80
    40,66
    1995
    41,4
    -1
    1
    -41,40
    41,07
    1996
    41,9
    +1
    1
    41,90
    41,47
    1997
    41,9
    +3
    9
    125,70
    41,88
    1998
    42,0
    +5
    25
    210,00
    42,29
    1999
    42,6
    +7
    49
    298,20
    42,70
    2000
    43,1
    +9
    81
    387,90
    43,11
    Итого:
    412,7
    0
    330
    67,30
    412,70

    Рис. 12.1. Динамика выпуска продукции по годам
    (ряд 1 – фактические данные (); ряд 2 – выровненные данные ()).
    2. По характеру фактических уровней, принимаем гипотезу о существовании прямолинейного тренда (динамика выпуска характеризуется прямой линией).
    3. Запишем уравнение прямой .
    4. Решить это уравнение – значит найти параметры  и  искомой прямой. Наиболее просто найти значение этих параметров можно, воспользовавшись методом наименьших квадратов. Для этого необходимо решить систему нормальных уравнений:
                                                       (12.7)
    где        – число членов ряда динамики;
     – фактические уровни ряда динамики.
    Система уравнений упрощается, если  подобрать так, чтобы их сумма равнялась нулю, т.е. начало отсчета времени перенести в середину рассматриваемого периода. Тогда:
           и                                                    (12.8, 12.9)
    В табл. 12.3 производим необходимые расчеты и тогда:
       и         
    Подставим найденные параметры  и  в уравнение прямой. Искомое уравнение будет иметь вид:

    По уравнению найдем расчетные значения выровненных уровней ряда динамики, подставляя в него значения  из табл. 12.3.
    Полученное уравнение, описывающее исследуемый ряд динамики, показывает, что средний уровень производства деталей составляет 41,27 тыс. шт. в год и ежегодно увеличивается в среднем на 0,20 тыс. штук
    в год. Сумма уравнений эмпирического ряда полностью совпадает с суммой расчетных значений выровненного ряда.
    Аналогичным способом производится аналитическое выравнивание рядов динамики с использованием других уравнений кривых. Однако каждой кривой соответствует своя система нормальных уравнений. Так, например, для решения уравнения параболы система уравнений имеет вид:
                                                   (12.10)
    Для решения экспоненциального уравнения, система нормальных уравнений имеет вид:
                                                           (12.11)

  2. Alan_T Ответить

    Выравнивание по линейной функции (прямой). Выбор в пользу выравнивания по линейной функции производят либо по результатам графического анализа эмпирических данных, либо если уровни ряда меняются в арифметической прогрессии (в этом случае рассчитанные цепные абсолютные приросты уровней приблизительно одинаковы).
    При выравнивании по линейной функции (прямой) используется уравнение вида
    = a0+ a1t,
    где t – условный показатель времени.
    Параметры уравнения определяются на основе метода наименьших квадратов путем решения системы нормальных линейных уравнений

    В качестве примера рассмотрим динамический ряд, представленный в таблице 9.7.
    Таблица 9.7 – Доход банков от операций с ценными бумагами за 2005-2010 гг.
    Год
    Доход банков от операций с ценными бумагами, млн. р., y
    Цепные абсолютные приросты
    –
    Итак, рассчитанные нами цепные абсолютные приросты относительно постоянны, поэтому можно говорить о целесообразности выбора в качестве аналитической функции уравнения прямой.
    При нахождении параметров уравнения показатель времени удобно обозначить так, чтобы выполнялось следующее равенство: [Σt = 0]. Для этого при нечетном количестве уровней ряда моменту (периоду) времени, находящемуся в центре ряда, придается значение t = 0, предыдущим – присваивают значения минус 1, минус 2, минус 3 и т. д., а последующим – значения 1, 2, 3 и т. д. (т. е. с шагом 1 от середины ряда в одну и другую сторону от центра).
    Предположим, что мы рассматриваем динамический ряд, имеющий пять уровней (за период с 2006 по 2010 г.), тогда условный показатель времени обозначим так, как это показано в таблице 9.8.
    Таблица 9.8 – Обозначение условного показателя времени при нечетном количестве уровней динамического ряда
    Год
    Доход банков от операций с ценными бумагами, млн. р., y
    Условный показатель времени, t
    -2
    -1
    При четном количестве уровней в середине ряда находятся два момента (периода) времени. Одному из них присваивают значение t = минус 1, а другому t = +1. Тогда предыдущие моменты времени получают значения минус 3, минус 5 и т. д., а последующие значения – +3, +5 и т. д. (т. е. с шагом 2 в одну и другую сторону от центра).
    При подобном способе обозначения времени система уравнений упрощается

    Тогда коэффициенты уравнения а0 и а1 находят следующим образом:

    Определим по данным таблицы 9.9, в которой представлен ряд динамики с четным числом уровней, параметры уравнения прямой (таблица 9.9).
    Таблица 9.9 – Расчетная таблица для определения параметров уравнения прямой
    Год
    Доход банков от операций с ценными бумагами, млн. р., y
    t
    t2
    y·t
    Выравненные значения,
    -5
    -350
    68,43
    -3
    -276
    91,258
    -1
    -112
    114,09
    136,91
    159,74
    182,57
    Сумма
    Тогда
    Искомое уравнение прямой имеет вид: = 125,5 + 11,414t.
    Подставляя в полученное уравнение соответствующее значение t, рассчитаем выравненные теоретические значения показателя (см. последнюю графу таблицы 9.9). При этом сумма выравненных значений должна равняться сумме эмпирических значений (753), если это не так, то параметры уравнения определены неверно.
    График, построенный по выравненным значениям показателя, будет отражать тенденцию развития явления во времени (рисунок 9.1).
    На основе полученного уравнения тренда можно строить прогнозные значения показателя для разных периодов времени путем подстановки в полученное уравнение значений временной компоненты. Например, для 2012 г. получим следующую ожидаемую величину дохода:
    = 125,5 + 11,414t = 125,5 + 11,414 × 7 = 205,398 млн. р.

    Рисунок 9.1 – Уравнение прямой, описывающее изменение во времени
    дохода банков от операций с ценными бумагами
    Выравнивание по параболе второго порядка.При ускоренном или замедленном изменении уровней динамического ряда, когда постоянны рассчитанные вторые разности уровней (цепные абсолютные приросты цепных абсолютных приростов), для аналитического выравнивания применяют параболу второго порядка:
    = a0+ a1t+ a2t2.
    Параметры уравнения находят на основе метода наименьших квадратов, при этом обозначение условного показателя времени t абсолютно аналогично обозначению времени при построении прямой.
    Система нормальных уравнений для нахождения параметров уравнения параболы имеет вид:

    Если принять обозначение времени, при котором выполняется равенство St = 0, рассматриваемую систему уравнений можно упростить. Она примет следующий вид:

    Проведем аналитическое выравнивание данных, характеризующих динамику инвестиций за период 2005-2010 гг. (таблица 9.10).
    Таблица 9.10 – Динамика инвестиций за 2005-2010 гг.
    Показатель
    Год
    Инвестиции, млн. р., Y
    Первые разности (цепные абсолютные приросты),
    –
    Вторые разности,
    –
    –
    Рассчитанные вторые разности демонстрируют относительное постоянство, поэтому в качестве аналитической функции для выравнивания возьмем уравнение параболы второго порядка. Наш выбор подтверждает и графический анализ данных (рисунок 9.2).

    Рисунок 9.2 – Динамика инвестиций за 2001-2006 гг.
    Проведем необходимые расчеты для определения параметров уравнения в таблице 9.11.
    Таблица 9.11 – Расчетная таблица для определения параметров уравнения параболы второго порядка
    Год
    Инвестиции, млн. р., y
    t
    t2
    t4
    y·t
    y·t2
    Выравненные значения,
    -5
    -490
    -3
    -300
    -1
    -130
    Сумма
    Построим и решим систему уравнений (таблица 9.15):

    Таким образом, искомое уравнение параболы имеет вид
    =158,406 + 29,543t + 3,451t2.
    Выравнивание по показательной функции. Если уровни ряда меняются в геометрической прогрессии, т. е. рассчитанные цепные коэффициенты роста относительно постоянны, то для выравнивания используют показательную функцию вида
    = a0×.
    Параметры показательного уравнения определяются путем решения следующей системы нормальных уравнений:

    Если принять обозначении времени t, при котором выполняется условие Σt = 0, система гораздо упрощается:

    Проведем аналитическое выравнивание данных, характеризующих изменение числа страховых компаний региона за период 2005-2011 гг. (таблица 9.12).
    Относительно постоянные цепные коэффициенты роста позволяют в качестве аналитического выражения тренда выбрать показательную функцию.
    Таблица 9.12 – Динамика числа страховых компаний региона за 2005-2011 гг.
    Год
    Число страховых компаний, yi
    Цепные коэффициенты роста
    –
    1,023
    1,014
    1,027
    1,026
    1,026
    1,029
    Проведем необходимые расчеты для определения параметров выбранного уравнения в таблице 9.13.
    Таблица 9.13 – Расчетная таблица для определения параметров показательной функции
    Год
    Число страховых компаний, yi
    t
    t2
    lg y
    t·lg y

    -3
    2,3324
    -6,997
    -2
    2,3424
    -4,685
    -1
    2,3483
    -2,348
    2,3598
    2,3711
    2,3711
    2,382
    4,764
    2,3945
    7,1834
    Итого
    16,531
    0,288
    Составим и решим систему нормальных уравнений:

    Показательное уравнение будет иметь вид
    = 229,8 × 1,03t
    Подставляя в полученное уравнение значения условного показателя времени t, рассчитаем выравненные значения.
    Выравнивание по гиперболе. Если уровни динамического ряда снижаются, постепенно замедляя свою скорость, но по логике никогда не смогут достичь нуля, то для проведения аналитического выравнивания выбирают уравнение гиперболы

    Параметры этого уравнения определяются на основе решения следующей системы нормальных уравнений:

    При нахождении параметров гиперболы применение принципа «отсчета от условного нуля», который использовался при нахождении параметров прямой, параболы и показательной функции, становится невозможным из-за выражения (1/t) при котором t = 0. Поэтому моменты (периоды) времени просто нумеруются, т. е. условному показателю времени присваиваются значения (1, 2, 3 и т. д.) начиная с первого уровня ряда.
    Произведем аналитическое выравнивание данных, характеризующих изменение себестоимости единицы продукции вида «А» в течение года (таблица 9.14).
    Таблица 9.14 – Расчетная таблица для нахождения параметров уравнения гиперболы
    Месяц
    Себестоимость единицы продукции вида “А”, р. (y)
    t
    1/t
    t2
    1/t2
    y/t

    Январь
    1,00000
    1,0000
    58,0000
    Февраль
    0,50000
    0,2500
    26,0000
    Март
    0,33333
    0,1111
    16,0000
    Апрель
    0,25000
    0,0625
    11,2500
    Май
    0,20000
    0,0400
    8,8000
    Июнь
    0,16667
    0,0278
    7,1667
    Июль
    0,14286
    0,0204
    6,1429
    Август
    0,12500
    0,0156
    5,2500
    Сентябрь
    0,11111
    0,0123
    4,6667
    Октябрь
    0,10000
    0,0100
    4,2000
    Ноябрь
    0,09091
    0,0083
    3,8182
    Декабрь
    0,08333
    0,0069
    3,4167
    Сумма
    –
    3,10321
    –
    1,5650
    154,7110
    Составим систему уравнений

    откуда находим значения параметров

    Уравнение гиперболы примет вид

    Подставив в полученное уравнение значения условного показателя времени t, рассчитаем выравненные значенияи поместим их в расчетную таблицу. Как видим, выравненные значения достаточно близки к эмпирическим данным, что позволяет надеяться на получение достоверных прогнозов на основе построенной модели.
    При проведении аналитического выравнивания зачастую бывает трудно заранее определить подходящий вид уравнения тренда, особенно если эмпирические данные графически явно не демонстрируют относимость к какой-либо аналитической функции. Тогда поступают следующим образом: строят несколько уравнений тренда. Затем для каждого из них вычисляют остаточную дисперсию и модель с наименьшей величиной остаточной дисперсии признают лучшей из имеющихся на данный момент.
    Остаточная дисперсия исчисляется по формуле

    Это более простой метод, но есть и другие, более сложные методы.

  3. (*DaC*) Ответить

    Чтобы привести нелинейные зависимости к линейной используют метод выравнивания (линеаризацию).
    y = f(x)ПреобразованиеМетод линеаризации
    y = b xaY = ln(y); X = ln(x)Логарифмирование
    y = b eaxY = ln(y); X = xКомбинированный
    y = 1/(ax+b)Y = 1/y; X = xЗамена переменных
    y = x/(ax+b)Y = x/y; X = xЗамена переменных. Пример
    y = aln(x)+bY = y; X = ln(x)Комбинированный
    y = a + bx + cx2x1 = x; x2 = x2Замена переменных
    y = a + bx + cx2 + dx3x1 = x; x2 = x2; x3 = x3Замена переменных
    y = a + b/xx1 = 1/xЗамена переменных
    y = a + sqrt(x)bx1 = sqrt(x)Замена переменных
    В общем случае при аналитическом выравнивании используется метод наименьших квадратов:
    Система нормальных уравнений для линейной зависимости:
    Система нормальных уравнений для полинома второй степени (параболы):
    Система нормальных уравнений для полинома третьей степени:
    Типичное задание. Произведите аналитическое выравнивание и выразите общую тенденцию развития розничного товарооборота торгового дома соответствующим аналитическим уравнением. Вычислите аналитические (выровненные) уровни ряда динамики и нанесите их на график вместе с фактическими данными.
    Пример. По УР имеются данные о вводе в действие жилых домов и общежитий, тыс. м2. Для анализа динамики показателя ввода в действие жилых домов и общежитий вычислите:
    абсолютные приросты, темпы роста и темпы прироста по годам и к 1998 г., абсолютное содержание одного процента прироста. Полученные показатели представьте в виде таблицы;
    среднегодовые показатели – величину уровня ряда; абсолютный прирост темп роста и прироста. Сделайте выводы.
    Постройте график динамики уровня ряда за период 1998 -2006 гг., проведите аналитическое выравнивание ряда (постройте математическую модель и график), сделайте прогноз на 2007 год.
    Решение. Самая простая математическая модель представляет собой линейное уравнение тренда вида y = bt + a. Чтобы найти параметры этой модели, воспользуемся методом наименьших квадратов. Система уравнений будет иметь следующий вид:
    a0n + a1∑t = ∑y
    a0∑t + a1∑t2 = ∑y•t
    tyt2y2t•y1186.9134931.61186.9221944796143832579660497714276.661676540.21106.645353.525124962.251767.56310.13696162.011860.67360.949130248.812526.38371.764138160.892973.69423.981179691.213815.1452759.66285894706.9815445.64
    Для наших данных система уравнений имеет вид:
    9a0 + 45a1 = 2759.66
    45a0 + 285a1 = 15445.64
    Данную систему уравнений можно решить несколькими методами. Получаем a0 = 27.46, a1 = 169.35. Тогда уравнение примет вид: y = 27.46•t + 169.35

  4. bor45 Ответить

    Для класса экспоненциальных кривых, в отличие от полиномов, характерной является зависимость приростов от величины самой функции. Эти кривые хорошо описывают процессы, имеющие “лавинообразный” характер, когда прирост зависит от достигнутого уровня функции. Простая экспоненциальная (показательная) кривая имеет вид:
    .
    Если b > 1, то кривая растет вместе с ростом t, и падает, если b < 1. Параметр a характеризует начальные условия развития, а параметр b - постоянный темп роста. Действительно, темп роста равен . В данном случае . Соответственно и темпы прироста – постоянны, так как .
    Можно показать, что логарифм ординаты этой функции линейно зависит от t, для чего прологарифмируем выражение для данной функции:
    .
    Пусть ; . Тогда .
    Теперь для оценивания неизвестных параметров можем использовать метод наименьших квадратов.
    Более сложным вариантом экспоненциальной кривой является логарифмическая парабола:
    .
    Прологарифмировав, получим параболу:
    .
    Таким образом, оценку параметров логарифмической параболы можно опять осуществить с помощью метода наименьших квадратов.
    Все рассмотренные выше типы кривых используются для описания монотонно возрастающих или убывающих процессов без “насыщения”.
    Ко второму классу относятся кривые, описывающие процесс, который имеет предел роста в исследуемом периоде. С такими процессами часто сталкиваются, например, в демографии. Функции, относящиеся ко второму классу, называются кривыми насыщения.
    Когда процесс характеризуется “насыщением”, его следует описывать при помощи кривой, имеющей отличную от нуля асимптоту. Примером такой кривой может служить модифицированная экспонента:
    ,
    где у = k является горизонтальной асимптотой.
    Если параметр а отрицателен, то асимптота находится выше кривой, если положителен – то ниже. При решении практических задач часто можно определить значение асимптоты исходя из свойств прогнозируемого процесса. Иногда значение асимптоты задается экспертным путем. В этих случаях другие параметры кривой могут быть определены с помощью метода наименьших квадратов после приведения уравнения к линейному виду.
    Таким образом, модифицированная экспонента хорошо описывает процесс, на развитие которого воздействует ограничивающий фактор, причем влияние этого воздействия растет вместе с ростом достигнутого уровня.
    Если кривые насыщения имеют точки перегиба, то они относятся к третьему типу кривых роста – к S-образным кривым. Эти кривые описывают как бы два последовательных лавинообразных процесса (когда прирост зависит от уже достигнутого уровня): один с ускорением развития, другой – с замедлением. Например, если воздействие ограничивающего фактора начинает сказываться только после определенного момента (точки перегиба), до которого процесс развивался по некоторому экспоненциальному закону, то для выравнивания используют S-образные кривые.
    Наиболее известными из S-образных кривых являются кривая Гомперца и логистическая кривая, или кривая Перла-Рида.
    Кривая Гомперца имеет вид
    .
    Кривая несимметрична. Если , то кривая имеет S-образный вид, при этом асимптота, равная k, проходит выше кривой.
    Если , асимптота, равная k, лежит ниже кривой, а сама кривая изменяется монотонно: при b <1 - монотонно убывает; при b> 1 – монотонно возрастает.
    Уравнение логистической кривой получается путем замены в модифицированной экспоненте обратной величиной :
    .
    Используется и другая форма записи уравнения логистической кривой:
    .
    При ордината стремится к нулю, а при к асимптоте, равной значению параметра k. Кривая симметрична относительно точки перегиба с координатами: , . Логистическая функция возрастает сначала ускоренным темпом, затем темп замедляется и, наконец, рост почти полностью прекращается.
    Таким образом, мы рассмотрели наиболее часто используемые в статистических исследованиях виды кривых роста. Выявленные особенности и свойства этих кривых могут существенно помочь при решении задачи выбора типа кривой.
    Существует несколько практических подходов, облегчающих процесс выбора формы кривой роста. Наиболее простой путь – это визуальный, опирающийся на графическое изображение динамического ряда. Подбирают такую кривую роста, форма которой соответствует фактическому развитию процесса. Если на графике исходного ряда тенденция развития недостаточно четко просматривается, то можно провести некоторые стандартные преобразования ряда (например, выравнивание ряда), а потом подобрать функцию, отвечающую графику преобразованного ряда. В современных пакетах статистической обработки имеется богатый арсенал стандартных преобразований данных и широкие возможности для графического изображения, в том числе в различных масштабах. Все это позволяет существенно упростить для исследователя проведение данного этапа.
    В статистической литературе описан метод последовательных разностей, помогающий при выборе кривых полиномиального типа. Этот метод применим при выполнении следующих предположений:
    – уровни ряда динамики могут быть представлены в виде суммы детерминированной составляющей и случайной компоненты, подчиненной нормальному закону распределения со средним значением, равным 0, и постоянной дисперсией;
    – интервалы между уровнями ряда динамики должны быть одинаковы.
    Метод предполагает вычисление первых, вторых и последующих разностей уровней ряда:
    ;

    и т.д.
    Расчет ведется до тех пор, пока разности не будут примерно равными. Порядок разностей, остающихся примерно равными друг другу, принимается за степень выравнивающего полинома.
    В современных пакетах статистической обработки данных и анализа рядов динамики представлен широкий спектр кривых роста. Например, в пакете “Олимп”, разработанном в МЭСИ и широко используемом в учебном процессе, реализованы 16 кривых роста. Причем возможны несколько режимов работы, удобных для пользователя. Можно среди этих кривых выбрать отдельную функцию и получить подробный протокол, включающий интервальные и точечные оценки параметров, характеристики остатков, прогноз. Можно выделить на экране несколько функций, тогда протокол будет содержать оценки параметров всех заказанных функций и значения критерия для каждой из них. В качестве критерия выбирается средняя квадратическая ошибка:
    ,
    где – фактическое значение ряда, – выровненное значение ряда, n – длина ряда.
    В заключение отметим, что нет “жестких” рекомендаций для выбора кривых роста. Особенно осторожно следует подходить к решению этой задачи при использовании полученной функции для экстраполирования найденных закономерностей в будущее. Применение кривых роста должно базироваться на предположении о сохранении выявленной тенденции в прогнозируемом периоде. Рассмотренные в данном разделе различные статистические приемы и методы могут помочь исследователю при осуществлении сложного выбора подходящей кривой роста.
    3. Оценка качества построенных моделей. Проверка адекватности выбранных моделей реальному процессу (в частности, адекватности полученной кривой роста) строится на анализе случайной (остаточной) компоненты, т.е. расхождении уровней, рассчитанных по модели, и фактических наблюдений. Для этого исследуют ряд остатков, который может быть получен как отклонения фактических уровней ряда динамики ( ) от выровненных, расчетных ( ):
    .
    При использовании кривых роста вычисляют, подставляя в уравнения выбранных кривых соответствующие последовательные значения времени.
    Принято считать, что модель адекватна описываемому процессу, если значения случайной компоненты удовлетворяют свойствам случайности, независимости, а также случайная компонента подчиняется нормальному закону распределения.
    При правильном выборе модели тренда отклонения от него будут носить случайный характер. Это означает, что изменение случайной компоненты не связано с изменением времени. Таким образом, по данным, полученным для всех моментов времени на изучаемом интервале, проверяется гипотеза о зависимости последовательности значений от времени, или, что то же самое, о наличии тенденции в ее изменении. Поэтому для проверки данного свойства может быть использован, например, критерий Фостера-Стюарта.
    Если модель тренда выбрана неудачно, то последовательные значения ряда остатков могут не обладать свойствами независимости, так как они могут коррелировать между собой. В этом случае говорят, что имеет место автокорреляция ошибок. В условиях автокорреляции эффективность оценок параметров модели, полученных по методу наименьших квадратов, будет снижаться, а следовательно, доверительные интервалы будут иметь мало смысла в силу своей ненадежности. Существует несколько приемов обнаружения автокорреляции. Наиболее распространенным является метод, предложенный Дарбиным и Уотсоном. С этой целью строится статистика Дарбина-Уотсона (d-статистика), в основе которой лежит формула:
    .
    При отсутствии автокорреляции статистика , а при полной автокорреляции равна 0 или 4. Следовательно, оценки, получаемые по критерию, являются не точечными, а интервальными. Верхние и нижние критические значения, позволяющие принять или отвергнуть гипотезу об отсутствии автокорреляции, зависят от количества уровней ряда динамики и числа независимых переменных модели. Авторами критерия значения этих границ определены для 1, 2,5 и 5% уровней значимости и даны в специальных таблицах. Значения границ для критерия Дарбина-Уотсона при 5%-ных уровне значимости приведены в табл. 22. В этой таблице и соответственно нижняя и верхняя доверительные границы критерия Дарбина-Уотсона; к – число переменных в модели; n – длина ряда динамики.
    Таблица 22
    n
    к = 1
    к = 2
    к = 3
    d 1
    d 2
    d 1
    d 2
    d 1
    d 2
    1,08
    1,36
    0,95
    1,54
    0,82
    1,75
    1,1
    1,37
    0,98
    1,54
    0,86
    1,73
    1,13
    1,38
    1,02
    1,54
    0,9
    1,71
    1,16
    1,39
    1,05
    1,53
    0,93
    1,69
    1,18
    1,4
    1,08
    1,53
    0,97
    1,68
    1,2
    1,41
    1,1
    1,54
    1,68
    1,22
    1,42
    1,13
    1,54
    1,03
    1,67
    1,24
    1,43
    1,15
    1,54
    1,05
    1,66
    1,26
    1,44
    1,17
    1,54
    1,08
    1,66
    1,27
    1,45
    1,19
    1,55
    1,1
    1,66
    1,29
    1,45
    1,21
    1,55
    1,12
    1,66
    1,3
    1,46
    1,22
    1,55
    1,14
    1,65
    1,32
    1,47
    1,24
    1,56
    1,16
    1,65
    1,33
    1,48
    1,26
    1,56
    1,18
    1,65
    1,34
    1,48
    1,27
    1,56
    1,2
    1,65
    1,35
    1,49
    1,28
    1,57
    1,21
    1,65
    1,36
    1,5
    1,3
    1,57
    1,23
    1,65
    1,37
    1,5
    1,31
    1,57
    1,24
    1,65
    1,38
    1,51
    1,32
    1,58
    1,26
    1,65
    1,49
    1,51
    1,33
    1,58
    1,27
    1,65
    1,4
    1,52
    1,34
    1,58
    1,28
    1,65
    1,41
    1,52
    1,35
    1,59
    1,29
    1,65
    Применение на практике критерия Дарбина-Уотсона основано на сравнении величины d, рассчитанной по приведенной выше формуле, с значениями и , взятыми из таблицы.
    При сравнении величины и возможны следующие варианты:
    1) если d < , то гипотеза об отсутствии автокорреляции отвергается;
    2) если d > , то гипотеза об отсутствии автокорреляции принимается;
    3) если , то нет достаточных оснований для принятия решений, т.е. величина попадает в область “неопределенности”.
    Рассмотренные варианты относятся к случаю, когда в остатках имеется положительная автокорреляция. Когда же расчетное значение d превышает 2, то можно говорить о том, что в существует отрицательная автокорреляция.
    Для проверки отрицательной автокорреляции с критическими значениями и сравнивается не сам коэффициент d, а 4 – d.
    Замечание. Отметим, что большинство программных пакетов статистической обработки данных осуществляет расчет этого критерия (например, ППП “Олимп”, “Statistica” и др.).
    Для определения доверительных интервалов прогнозируемых значений показателя важное значение имеет свойство нормальности распределения остатков. Соответствие ряда остатков нормальному закону распределения можно проверить с помощью RS-критерия:
    , ,
    где и – соответственно максимальный и минимальный уровни ряда остатков, а – среднее квадратическое отклонение ряда остатков.
    Если расчетное значение RS-критерия попадает между табулированными границами с заданным уровнем доверительной вероятности, то считают, что ряд остатков подчиняется нормальному распределению. В этом случае допустимо строить доверительный интервал прогноза.
    Если все пункты проверки случайной компоненты дают положительный результат, то выбранная трендовая модель является адекватной реальному ряду динамики, и следовательно, ее можно использовать для построения прогнозных оценок. В противном случае – модель нужно улучшать.
    Важнейшими характеристиками качества модели, выбранной для прогнозирования, являются показатели ее точности. Они описывают величины случайных ошибок, полученных при использовании модели. Поэтому, чтобы судить о качестве выбранной модели, необходимо проанализировать систему показателей, характеризующих не только адекватность модели, но и ее точность. О точности прогноза можно судить по величине ошибки (погрешности) прогноза. Ошибка прогноза – величина, характеризующая расхождение между фактическим и прогнозным значением показателя. Абсолютная ошибка прогноза определяется по формуле:
    ,
    где – прогнозное значение показателя, – фактическое значение.
    Эта характеристика имеет ту же размерность, что и прогнозируемый показатель, и зависит от масштаба измерения уровней временного ряда.
    На практике широко используется относительная ошибка прогноза, выраженная в процентах относительно фактического значения показателя:
    .
    Из приведенных формул видно, что если абсолютная и относительная ошибка больше 0, то это свидетельствует о “завышенной” прогнозной оценке, если меньше 0, то прогноз был занижен.
    Очевидно, что все указанные характеристики могут быть вычислены после того, как период упреждения уже окончился и имеются фактические данные о прогнозируемом показателе. В противном случае для оценки точности трендовой модели используют коэффициент детерминации
    ,
    где – дисперсия данных, полученная по трендовой модели
    ;
    – дисперсия исходных данных уровней ряда динамики
    ;
    n – число уровней ряда динамики.
    Трендовая модель считается адекватной изучаемому процессу и отражает тенденцию его развития во времени при значениях , близких к 1.
    4. Построение точечных и интервальных прогнозов. Заключительным этапом применения кривых роста является экстраполяция тенденции на базе выбранного уравнения. Прогнозные значения исследуемого показателя вычисляют путем подстановки в уравнение кривой значений времени t, соответствующих периоду упреждения, т.е. t = n + 1, n + 2, … Полученный таким образом прогноз называют точечным, так как для каждого момента времени определяется только одно значение прогнозируемого показателя. Однако точное совпадение прогностических точечных оценок, полученных путем экстраполяции тенденции по кривым роста, и фактических данных маловероятно. Возникновение соответствующих отклонений объясняется следующими причинами:
    1) погрешностью оценивания параметров кривых;
    2) погрешностью, связанной с отклонением отдельных наблюдений от тренда, характеризующего некоторый средний уровень ряда на каждый момент времени.
    3) выбранная для прогнозирования кривая не является наилучшей; можно подобрать другую кривую, которая даст более точные результаты.
    Поэтому на практике в дополнение к точечному прогнозу желательно определить границы возможного изменения прогнозируемого показателя, т.е. вычислить прогноз интервальный. Интервальные прогнозы строятся на основе точечных прогнозов. Доверительным интервалом называется такой интервал, относительно которого можно с заранее выбранной вероятностью утверждать, что он содержит значение прогнозируемого показателя. Ширина интервала зависит от качества модели, т.е. степени ее близости к фактическим данным, числа наблюдений, периода упреждения и выбранного пользователем уровня доверительной вероятности.
    Доверительный интервал, учитывающий неопределенность, связанную с положением тренда, и возможность отклонения от этого тренда, определяется в виде:
    ,
    где n – длина ряда динамики; к – период упреждения; – точечный прогноз на момент n + к; – значение t-статистики Стьюдента; – средняя квадратическая ошибка прогноза.
    Предположим, что тренд характеризуется прямой
    .
    Так как оценки параметров определяются по совокупности, представленной рядом динамики, то они содержат погрешность. Погрешность параметра приводит к вертикальному сдвигу прямой, а погрешность параметра – к изменению угла наклона прямой относительно оси абсцисс. С учетом разброса конкретных реализаций относительно линий тренда, дисперсию можно представить в виде:
    ,
    где – дисперсия отклонений фактических наблюдений от расчетных; – время упреждения, для которого делается экстраполяция; t – порядковый номер уровней ряда, t = 1, 2, …, n, – порядковый номер уровня, стоящего в середине ряда.
    Тогда доверительный интервал можно представить в виде:
    .
    Аналогичное выражение можно получить и для полинома второго порядка:
    .
    Дисперсия отклонений фактических наблюдений от расчетных определяется выражением:
    ,
    где – фактические значения уровней ряда; – расчетные значения уровней ряда, n – длина временного ряда, m – число оцениваемых параметров выравнивающей кривой.
    Таким образом, ширина доверительного интервала зависит от доверительной вероятности, периода упреждения, среднего квадратического отклонения от тренда и степени полинома. Чем выше степень полинома, тем шире доверительный интервал при одном и том же значении , так как дисперсия уравнения тренда вычисляется как взвешенная сумма дисперсий соответствующих параметров уравнения.
    Доверительные интервалы прогнозов, полученных с использованием уравнения экспоненты, определяются аналогичным способом. Отличие состоит в том, что как при вычислении параметров кривой, так и при вычислении средней квадратической ошибки используют не сами значения уровней временного ряда, а их логарифмы.
    По такой же схеме могут быть определены доверительные интервалы для ряда кривых, имеющих асимптоты, в случае, если значение асимптоты известно (например, для модифицированной экспоненты).
    Пример. Построить прогноз на 2009 г. преступлений в сфере компьютерных технологий с помощью моделей кривых роста, используя статистику зарегистрированных преступлений за 1997-2008 гг. (табл. 23).
    Таблица 23

  5. vadim130979 Ответить

    Даная статья понятными и простыми терминами объяснит, что же такое динамические ряды, для чего они нужны, как производится анализ полученных данных и какие возможности открываются перед теми, кто владеет методикой данного анализа. Любое явление в области здравоохранения нуждается в тщательной оценке, и здесь знания анализа динамических рядов неоценимы. С помощью динамического ряда можно оценить и спрогнозировать проблематику любой нозологической единицы, сформировать дальнейшую тактику лечения и меры профилактики заболеваний.
    Динамический ряд — ряд однородных величин, характеризующих изменение явления во времени.
    Целью анализа динамических рядов является:
    выявление закономерности изменения изучаемого явления во времени;
    прогнозирование (экстраполирование) полученных данных на последующие
    годы.
    Числовые значения, составляющие динамический ряд, называются уровнями ряда (у).
    Типы динамических рядов:
    В зависимости от вида уровня ряда:
    а) простые (уровень ряда выражен абсолютными числами);
    б) сложные (уровень ряда выражен обобщающими коэффициентами).
    В зависимости от способа формирования временного интервала:
    а) моментные (данные собираются на определенный момент времени);
    б) интервальные (данные собираются за определенный период времени).
    В зависимости от выраженности изменений явления во времени (определя­ется по коэффициенту корреляции между временем и изучаемым явлением).
    а) с выраженной тенденцией (r =0,7 — 1,0);
    б) с неустойчивой тенденцией (r =0,3 — 0,69);
    в) с отсутствием тенденции ( r = 0 — 0,29).
    Основное требование, предъявляемое к анализируемым динамическим ря­дам, заключается в сопоставимости их уровней. Для оценки сопоставимости прово­дят предварительный анализ полученных данных по следующим критериям:
    единство территории, на которой проводился сбор данных;
    единая методология учета данных;
    единые временные интервалы, в течение которых проводилась регистрация
    данных.

    Методика анализа динамических рядов

    Методика аналитики предусматривает выполнение последовательных действий:
    Представить полученные данные графически и выявить форму зависимости изучаемого явления от времени.
    Оценить наличие и силу корреляции изучаемого явления от времени.
    Если установлено, что ряд обладает выраженной тенденцией, проводят анализ компонентов динамики ряда: основной тенденции (эволюции, тренда), кратковременных систематических движений и случайных колебаний. Основная задача анализа — разделить эти компоненты и выявить основную закономерность изменения явления во времени. Для выявления и описания тренда динамический ряд подвергают обработке — выравниванию.

    Способы выравнивания динамических рядов

    Чтобы произвести выравнивание динамических рядов потребуются следующие действия:
    Укрупнение временных интервалов (периодов), в течение которых изучается явление.
    Сглаживание ряда методом скользящей средней.
    Аналитический способ.
    При этом способе на основании фактических данных подбирается наиболее подходящее для отражения тенденции развития явления математическое уравнение (аппроксимирующая функция), которое принимается за модель развития явления во времени. Т.е. уровни ряда рассматриваются как функция времени, и задача выравнивания сводится к определению вида функции, отысканию ее параметров по эмпирическим данным и расчету по найденной формуле теоретических выравненных уровней. Наиболее часто используются следующие функции:
    а) линейная зависимость:
    б) экспоненциальная зависимость:
    в) показательная зависимость:
    г)  параболическая зависимость:
    и др.
    где  a0, a1, а2 — параметры уравнения;
    у – теоретический уровень;
    t – временной интервал.
    В качестве примера возьмем линейную зависимость и проведем выравнивание, используя для нахождения параметров уравнения а0 ,а1  способ наименьших квадратов. Способ наименьших квадратов позволяет найти теоретическую кривую, максимально приближенную к эмпирической, а условие минимума суммы квадратов отклонений теоретических данных от фактических позволяет свести математическое решение задачи к системе нормальных уравнений:

    где  у — уровни фактического ряда;
    n — количество уровней;
    t — порядковый номер временного периода.
    Эта система уравнений легко упрощается, если «t» присвоить ранги (порядковые номера), ведя отсчет времени от середины ряда. При нечетном ряде середина обозначается через 0, а отсчет рангов ведется через единицу с соответствующим знаком в ту или иную сторону от середины (например: -5,-4,-3,-2,-1, 0,+1.+2,+3,->:4,+5). При четном ряде две средние временные точки обозначаются через +1 и -1, а остальные ранги присваиваются через две единицы (например: -5,-3,-1,+1,+3,+5).
    При отсчете времени от середины ряда   St = 0  и система нормальных уравнений принимает вид:

    Отсюда находим параметры уравнения:

    Подставляя в уравнение у = а0 + а1t  вместо «t» его ранги, находим выравненные (теоретические) значения уровней ряда и строим теоретическую кривую выравненного динамического ряда.
    При использовании аналитического способа всегда отмечается отклонение теоретических уровней от фактических уровней ряда, которое может быть обуслов­лено как случайными колебаниями, так и неправильно подобранным аппроксими­рующим уравнением. В связи с этим заключительным этапом выравнивания динамического ряда аналитическим способом является оценка точности аппроксимации с определенным уровнем значимости.

    Оценка точности аппроксимации возможна с помощью нахождения

    Для получения точной оценки необходимо найти такие величины:
    а) коэффициент вариации:
     
    где  у- фактический уровень ряда;
    yt — теоретический уровень ряда;
    k- число параметров уравнения;
    n- число уровней ряда.
    Аппроксимация считается точной при Cv не более 15%.
    б) коэффициент расхождения Тейла:

    где      у — фактический уровень ряда;
    yt — теоретический уровень ряда.
    Аппроксимация считается точной при U не более 5%
    После аналитического выравнивания динамического ряда и описания тренда возможно экстраполировать полученные данные. Экстраполяция — предположение о сохранении тренда, базирующееся на допущении неизменности влияющих факто­ров и предшествующей тенденции. Осуществляется путем подставления в найденное уравнение аппроксимации не фактического значения временного интервала, а предполагаемого порядкового номера (ранг) того периода, на который прогнозируется результат.

     Вычисление основных показателей динамического ряда

    Алгоритм вычислений ведущих параметров динамических рядов:
    Условные обозначения:
    yi- текущий уровень (сравниваемый);
    уi-1— базисный уровень (с каким сравнивают);
    t- период времени, в течение которого уровень предполагается неизменным.
    1.Абсолютный прирост (убыль) :

    2.Темп роста (убыли):

    3.Темп прироста (относительная скорость), темп убыли :

    4.Средний темп прироста (убыли):

    где      а0; а1 — параметры уравнения;
    k = 1 при нечетном ряде;
    k = 2 при четном ряде.
    5.1% прироста (убыли): используются при сравнении динамических рядов с уровнями, выраженными различными обобщающими коэффициентами.

    Таким образом, с помощью данного руководства по определению и расчетам такого понятия, как, динамические ряды, специалисты различных отраслей медицины, ученые могут эффективно и быстро оценить изменение различных величин в течение времени.
    Благодарим за интерес, проявленный к нашей статье, оставайтесь с нами!

  6. mehanik_44 Ответить

    Под аналитическим выравниванием понимают определение основной проявляющейся во времени тенденции развития изучаемого развития. При этом развитие предстает как бы в зависимости только от течения времени. В итоге выравнивания временного ряда получают наиболее общий, суммарный, проявляющий во времени результат действия всех причинных факторов. Отклонение конкретных уровней ряда от уровней, соответствующих общей тенденции, объясняют действием факторов, проявляющихся случайно или циклически.
    На практике по имеющемуся временному ряду задают вид и находят параметры функции f(t), а затем анализируют поведение отклонений от тенденции.
    Функцию f(t) выбирают таким образом, чтобы она давала содержательное объяснение изучаемого процесса.

    Чаще всего при выравнивании используются следующие зависимости:

    линейная ;
    параболическая ;
    экспоненциальная ,
    где ? – уровни, освобожденные от колебаний;
    а – начальный уровень тренда в момент или период, принятый за начало отсчета времени t (t=0);
    t – номер периода;
    b – среднегодовой абсолютный прирост; константа линейного тренда (параметр, показывающий, насколько изменится результат при изменении времени на единицу);
    с – квадратический параметр, равный половине ускорения; константа параболического тренда (Ускорение – это разность между абсолютным изменением за данный период и абсолютным изменением за предыдущий период одинаковой длительности: ??i = ?i – ?i-1);
    k – темп роста в разах; константа экспоненциального тренда.
    Выравнивать динамические ряды по уравнению прямой линии целесообразно тогда, когда более или менее постоянны цепные абсолютные приросты, т.е. тогда, когда уровни ряда изменяются приблизительно в арифметической прогрессии.
    Выравнивание динамических рядов по уравнению квадратической параболы необходимо применять в тех случаях, когда изменение уровней ряда происходит с приблизительно равномерным ускорением или замедлением цепных абсолютных приростов.
    Выравнивание по экспоненциальной функции целесообразно использовать тогда, когда уровни ряда динамики выявляют тенденцию постоянства цепных темпов роста, т.е. в случае изменения уровней ряда динамики в геометрической прогрессии.
    Кроме вышерассмотренных существуют логарифмическая, гиперболическая, логистическая и др. формы тренда.
    Для расчета параметров уравнения тренда обычно используют метод наименьших квадратов. Для каждого типа тренда МНК дает систему нормальных уравнений, решая которую вычисляют параметры тренда.

    Для линейного тренда нормальные уравнения МНК имеют вид:


    где yi – уровни исходного ряда динамики;

  7. sizer0_0 Ответить

    Аналитическое уравнение параболы имеет вид:
    . (24)
    Параметры уравнения a ,b и cопределяются на основе МНК.
    Система нормальных уравнений в данном случае имеет вид:
    (25)
    При соблюдении принципа отсчёта времени t от условного нулевого начала система нормальных уравнений (25) преобразуется к следующему виду:
    (26)
    Решение системы уравнений (26) относительно неизвестных a,b,c позволяет определить параметры уравнения параболы (24).
    Методику расчёта параметров уравнений прямой и параболы для данных последнего года рассматриваемого периода (табл.1) иллюстрирует табл.5.
    Таблица 5
    Расчётная таблица для определения параметров уравнений прямой и параболы
    Месяцы






    январь
    1 262,3
    -6
    -7 573,8
    45 442,8
    1 296
    февраль
    1 250,7
    -5
    -6 253,5
    31 267,5
    март
    1 612,0
    -4
    -6 448,0
    25 792,0
    апрель
    1 950,0
    -3
    -5 850,0
    17 550,0
    май
    2 350,8
    -2
    -4 701,6
    9 403,2
    июнь
    2 628,0
    -1
    -2 628,0
    2 628,0
    июль
    2 606,0
    2 606,0
    2 606,0
    август
    2 178,2
    4 356,4
    8 712,8
    сентябрь
    1 857,3
    5 571,9
    16 715,7
    октябрь
    1 544,0
    6 176,0
    24 704,0
    ноябрь
    1 200,7
    6 003,5
    30 017,5
    декабрь
    1 144,7
    6 868,2
    41 209,2
    1 296
    Итого
    21 584,7
    -1 872,9
    256 048,7
    При подстановке итоговых данных гр. 2 в формулу (22), итоговых данных гр. 4 и 5 – в формулу (23) параметры уравнения прямой получают следующие значения:
    ;
    .
    Таким образом, основная тенденция развития ряда отображается уравнением прямой:

    Для определения параметров уравнения параболы итоговые данные гр. 2, 4-7 необходимо подставить в систему уравнений (26):

    Решая систему, из 2-го уравнения определяют значение b:
    .
    Затем из 1-го уравнения выражают значение а, через параметр с:
    .
    Подставляя значение а в 3-е уравнение системы, получаем уравнение относительно с:
    .
    Решение последнего уравнения позволяет определить значение параметра c, а затем параметра а:
    .
    .
    Таким образом, параболическая модель ряда имеет вид:
    .
    Правильность расчёта уровней выровненного ряда динамики проверяется следующим способом: сумма значений уровней эмпирического ряда должна совпадать с суммой значений уровней выровненного ряда , то есть:
    (27)
    Для того, чтобы определить, какое из полученных уравнений наиболее адекватно исходному ряду динамики, для каждого из них рассчитывают среднеквадратическое отклонение (среднеквадратическую ошибку) , которое определяется по следующей формуле:

  8. Limon85 Ответить

    Имеются следующие данные, характеризующие динамику производства продукции предприятия по месяцам (графы 1 и 2 таблицы, приведенной ниже):
    Месяц
    Объем продукции, млн. руб.
    Скользящая сумма трех членов
    Скользящая средняя
    Январь
    6,3
    –
    –
    Февраль
    9,3
    25,8
    8,6
    Март
    10,2
    31,2
    10,4
    Апрель
    11,7
    34,5
    11,5
    Май
    12,6
    36,0
    12,0
    Июнь
    11,7
    38,3
    12,8
    Июль
    14,0
    38,3
    12,8
    Август
    12,6
    39,6
    13,2
    Сентябрь
    13,0
    39,9
    13,3
    Октябрь
    14,3
    40,8
    13,6
    Ноябрь
    13,5
    42,3
    14,1
    Декабрь
    14,5
    –
    –
    Требуется произвести сглаживание ряда, применяя трехмесячную скользящую среднюю.
    Решение:
    Чтобы рассчитать первую скользящую среднюю, находим сумму валовой продукции за январь, февраль, март (графа 3) и делим ее на 3:

    Найденную среднюю к февралю (т.е. к среднему из трех суммируемых членов – графа 4). Для отыскания второй скользящей средней находим сумму валовой продукции за февраль, март, апрель и делим на 3:

    Найденную среднюю относим к марту и т.д.
    Результаты подсчета скользящих сумм и средних показаны в графах 3 и 4 таблицы.
    Для того чтобы представить количественную модель, выражающую общую тенденцию изменений уровней динамического, ряда во времени, используетсяаналитическое выравнивание ряда динамики. В этом случае фактические уровни заменяются уровнями, вычисленными на основе определенной кривой. Предполагается, что она отражает общую тенденцию изменения во времени изучаемого показателя.
    При аналитическом выравнивании ряда динамики закономерно изменяющийся уровень изучаемого показателя оценивается как функция времени где уровни динамического ряда, вычисленные по соответствующему аналитическому уравнению на момент времени. Наиболее часто для аналитического выравнивания используются следующие виды трендовых моделей:
    1. Линейная
    2. Парабола второго порядка
    3. Парабола третьего порядка
    4. Показательная
    5. Гиперболическая
    6. Логарифмическая парабола
    7. Логистическая кривая
    8. Кривая Гомперца
    Выбор формы кривой во многом определяет результаты экстраполяции тренда. Основанием для выбора вида кривой может использоваться содержательный анализ сущности развития данного явления. Можно опираться также на результаты предыдущих исследований в данной области.
    На практике для этих целей прибегают к анализу графического изображения уровней динамического ряда.
    При выборе формы уравнения следует исходить и из объема имеющейся информации. Чем больше параметров содержит уравнение тренда, тем больше должно быть наблюдений при одной и той же степени надежности оценивания.
    Выбор формы кривой может осуществляться на основе принятого критерия, в качестве которого может служить сумма квадратов отклонений фактических значений от значений, рассчитанных по уравнению тренда. Из совокупности кривых выбирается та, которой соответствует минимальное значение критерия.
    Рассмотрим аналитическое выравнивание ряда динамики по прямой, т.е. аналитическое уравнение вида:

    где порядковый номер периодов или моментов времени.
    Параметры и прямой рассчитываются по методу наименьших квадратов (МНК). Система нормальных уравнений для нахождения параметров в данном случае имеет вид:

    Поиск параметров уравнения можно упростить, если отсчет времени производить так, чтобы сумма показателей времени изучаемого ряда динамики была равна нулю. При нечетном числе уровней ряда динамики для получения уровень, находящийся в середине ряда, принимается за условное начало отсчета времени (этому периоду или моменту времени придается нулевое значение). Даты времени, стоящие ранее этого уровня, обозначаются натуральными числами со знаком минус (-1,-2,-3 и т.д.), а позже – натуральными числами со знаком плюс (+1, +2, +3 и т.д.)
    Если число уровней динамического ряда четное, периоды времени верхней половины ряда (до середины) нумеруются -1,-3, -5 и т.д., а нижней-+1,+3,+5, и т.д. При этом условии будет равна нулю и система нормальных уравнений преобразуется следующим образом:

    Тогда получим:

    Рассмотрим аналитическое выравнивание по прямой ряда динамики строительства жилья жилищно-строительными кооперативами России.
    Годы
    Построено, млн.кв.м.

    Условное
    время



    Выравненные
    уровни ряда

    2,9
    -2
    -5,8
    2,76
    2,4
    -1
    -2,4
    2,49
    2,1
    2,22
    1,9
    1,9
    1,95
    1,8
    3,6
    1,68
    Итого
    11,1
    -2,7
    11,10
    Используя итоги граф 2, 4 и 5, определим параметры уравнения прямой
    .
    Уравнение прямой ряда динамики:
    Продление в будущее тенденции, наблюдавшейся в прошлом, носит название экстраполяции. Возможность экстраполяции обеспечивается двумя обстоятельствами:
    1) общие условия, определяющие тенденцию развития в прошлом, не претерпевают существенных изменений в будущем;
    2) тенденция развития явления характеризуется тем или иным аналитическим уравнением. Экстраполируя при , находим уровень 1995 года, равный млн.кв.м.
    При составлении прогнозов оперируют не точечной, а интервальной оценкой, определяя так называемые доверительные интервалы прогноза. Величина доверительного интервала определяется в общем виде так:
    где – среднее квадратическое отклонение от тренда; ; – табличное значение – критерия Стьюдента при уровне значимости; – соответственно фактические и расчетные значения уровней динамического ряда; – число уровней ряда; – количество параметров в уравнении тренда (для уравнения прямой = 2).
    Используя данные, рассчитаем среднюю квадратическую ошибку линейного уравнения тренда: млн.кв.м. Величина относительной ошибки составит:

    Следует помнить, что прием аналитического выравнивания содержит в себе ряд условностей, связанных прежде всего с тем, что уровни, характеризующие тот или иной динамический ряд, рассматриваются как функция времени. В действительности же развитие явлений обусловлено не тем, сколько времени прошло с отправного момента, а тем, какие факторы влияли на развитие, в каком направлении и с какой интенсивностью. Развитие явлений во времени выступает как внешнее выражение этих факторов, как их суммарное действие, оказывающее влияние на изменение уровня в отдельно взятые промежутки или моменты времени. Выявить основную тенденцию развития явления методом наименьших квадратов можно лишь тогда, когда выяснено, что изменяющиеся во времени процессы протекают на всем рассматриваемом промежутке времени одинаково, что их количественное и качественное изменение происходит под действием одного и того же комплекса основных факторов, определяющих движение данного ряда динамики. Экстраполяция на отдаленные даты подвержена более значительным ошибкам, чем краткосрочная экстраполяция.

  9. Vorobeii Ответить

    При исследовании рядов динамики одной из важнейших задач является определение основной тенденции развития явления (тренда) и сглаживание случайных колебаний. С этой целью используются следующие методы выравнивания рядов динамики:
    1)метод укрупнения интервалов;
    2)метод скользящей средней;
    3) аналитическое выравнивание рядов динамики.
    Метод укрупнения интервалов основан на том, что первоначальный ряд динамики заменяется другим, уровни которого относятся к большим по продолжительности периодам времени. Средние, исчисленные по укрупненным интервалам, позволяют выявлять направление и характер основной тенденции развития.
    Суть метода скользящей средней заключается в том, что для первоначального ряда динамики формируются увеличенные интервалы, состоящие из одинакового количества уровней. Каждый последующий интервал получается смещением от начального на один уровень. В каждом укрупненном интервале скольжения рассчитывается средний уровень, который относится к середине этого интервала. В результате этого получается новый ряд из скользящих средних, позволяющий выявить тенденцию развития явления.
    Смысл метода аналитического выравнивания состоит в замене фактических уровней ряда динамики сглаженными, рассчитанными по соответствующей математической функции.
    Рассмотрим сущность данного метода на примере выравнивания по прямой.
    Уравнение прямой имеет следующий вид:

    где – выравненные уровни ряда динамики, освобожденные от случайных отклонений;
    , – параметры, определяющие конкретный вид уравнения прямой;
    – время.
    Параметры и находятся решением системы нормальных уравнений, составленных с использованием метода наименьших квадратов:


    Расчет параметров прямой можно упростить, если отсчет времени осуществлять с середины ряда динамики. Тогда значения , расположенные до середины, будут отрицательными, а после середины – положительными. В этом случае сумма значений времени будет равна нулю.
    При условии, что , система нормальных уравнений упрощается, приобретая следующий вид:


    Откуда ; .
    Аналитическое выравнивание может быть использовано при прогнозировании статистических показателей путем экстраполяции, т. е. нахождения уровней за пределами данного ряда динамики.

  10. Vikont19 Ответить

    Если изучаемый динамический ряд характеризуется положительными абсолютными приростами, с ускорением развития уровней, то выравнивание ряда может быть проведено по параболе второго порядка.
    По ней рассчитывают теоретические траектории движения артиллерийских снарядов, баллистических ракет, искусственных спутников и др.
    Уравнение параболы второго порядка имеет следующий вид:
    (9.31)
    где: – выровненное значение уровней динамического ряда; t – периоды или моменты времени, к которым относятся уровни; а, в, с – параметры уравнения (искомой параболы), которые следует определить.
    Положив в основу вычисления параметров а, в, с способ наименьших квадратов, получим следующую систему нормальных уравнений:

    Приняв срединный уровень ряда условно за начальный, будем иметь Σt=0; Σt3=0, а систему уравнений можно привести к упрощенному виду:

    Из этих уравнений можно найти параметры а, в, с, которые в общем виде выразятся следующим образом:

    Отсюда видно, что для определения параметров а, в, с необходимо рассчитать следующие значения:
    Выравнивание динамического ряда по параболе второго порядка покажем на примере изменения объема травяной муки (табл. 9.11).
    Т а б л и ц а 9.11.Аналитическое выравнивание поставки травяной

Добавить ответ

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *