Можно ли в любой треугольник вписать окружность?

11 ответов на вопрос “Можно ли в любой треугольник вписать окружность?”

  1. Настя Ava-TV Ответить

    В любой треугольник можно вписать окружность
    Во-первых, окружность можно считать вписанной в треугольник, если все стороны этого треугольника касаются данной окружности. Другими словами, каждая сторона треугольника имеет общую точку с окружностью.
    Согласно теореме, окружность можно вписать в любой из треугольников. Причем такая окружность для каждого отдельно взятого треугольника может быть только одна.
    Рассмотрим ее доказательство.
    Доказательство.
    Построим треугольник и проведем в нем биссектрисы.
    Все три биссектрисы любого треугольника пересекаются в одной точке.
    Проведем из этой точки перпендикуляры к сторонам треугольника.
    Из равенства треугольников, которые образованы биссектрисой и двумя проведенными перпендикулярами, следует, что все три перпендикуляра являются равными друг другу.
    Мы получили, что на всех сторонах треугольника лежит точка, удаленная от точки пересечения его биссектрис на одинаковое расстояние.
    Известно, что все радиусы в любой окружности являются равными.
    Таким образом, мы получили, что точка пересечения биссектрис треугольника является центром окружности с радиусом, который равен длине перпендикуляра, проведенного из точки пересечения к сторонам треугольника.
    Теорема доказана.

  2. Truthdragon Ответить

    Около любого треугольника можно описать окружность. Она проходит через все вершины треугольника. Вы уже знаете, что точка пересечения серединных перпендикуляров равноудалена от вершин треугольника. Она и является центром описанной окружности.
    В любой треугольник можно вписать окружность. Она касается всех сторон треугольника. Вы также знаете, что точка пересечения биссектрис треугольника равноудалена от сторон треугольника. Она и является центром вписанной окружности.
    А можно ли описать окружность около любого параллелограмма? Если попробовать это сделать, то окажется, что около параллелограмма можно описать окружность, только если он — прямоугольник. Мы узнаем, каким свойством обладают вписанные и описанные четырехугольники и какие признаки позволяют судить о том, можно ли около данного четырехугольника описать и можно ли в него вписать окружность.
    И вдобавок мы познакомимся с одной важной формулой площади треугольника S = рr.

    ТАБЛИЦА «Описанные и вписанные окружности»

    1. Окружность, описанная около треугольника.

    Окружность называется описанной около треугольника, если она проходит через все его вершины.
    Теорема. Вокруг любого треугольника можно описать окружность, и только одну. Ее центр лежит на пересечении серединных перпендикуляров к сторонам треугольника.
    Доказательство. Точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника равноудалена от его вершин (доказано нами в 7 классе). Поэтому она является центром описанной окружности, расстояние от этой точки до любой из вершин равно радиусу.
    Если существует еще одна описанная окружность, то ее центр равноудален от всех трех вершин и поэтому совпадает с точкой пересечения серединных перпендикуляров, а радиус совпадает с радиусом первой окружности. Окружности совпадают.

    2. Окружность, описанная около прямоугольного треугольника.

    Теорема. Центр окружности, описанной около прямоугольного треугольника, лежит на середине гипотенузы, а радиус окружности равен половине гипотенузы.
    Доказательство. Мы знаем, что медиана прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, равна половине гипотенузы (доказано нами в 7 классе). Поэтому середина гипотенузы является центром описанной окружности, а ее радиус равен половине гипотенузы, т. е. R = c/2.

    3. Окружность, вписанная в треугольник.

    Окружность называется вписанной в треугольник, ест она касается всех сторон треугольника.
    Теорема. В любой треугольник можно вписать окружность, и только одну. Ее центр лежит на пересечении биссектрис треугольника.
    Доказательство. Точка пересечения биссектрис треугольника равноудалена от сторон треугольника (доказано нами в 7 классе). Если из этой точки опустить перпендикуляры на стороны и провести окружность радиусом, равным перпендикуляру, то стороны треугольника будут касаться окружности по признаку касательной.
    Если существует еще одна вписанная окружность, то ее центр равноудален от всех трех сторон и поэтому совпадает с точкой пересечения биссектрис, а радиус совпадает с радиусом первой окружности. Окружности совпадают.

    4. Формула площади S = рr.

    Теорема. Площадь треугольника S = рr, где р — полупериметр треугольника, r — радиус вписанной окружности.
    Доказательство. Соединим центр вписанной окружности с вершинами треугольника, стороны которого равны а, b и с. Получим три треугольника, для которых радиусы вписанной окружности, проведенные в точки касания, являются высотами. Площадь данного треугольника равна сумме площадей этих треугольников:
    где p — полупериметр треугольника.
    Данная формула справедлива для любого многоугольника, в который можно вписать окружность, т. е. для любого описанного многоугольника. Доказательство аналогично.

    5. Окружность, вписанная в прямоугольный треугольник.

    Теорема. Радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, находится по формуле r = (а + b – c)/2.
    Доказательство. Проведем радиусы в точки касания. Получим квадрат со стороной r (четырехугольник, у которого все углы прямые и две соседние стороны равны по r) и отрезки катетов, равные r и а – r для катета а, r и b – r для катета b. Так как отрезки касательных, проведенных из одной точки, к окружности равны, то гипотенуза равна сумме отрезков (a – r) и (b – r). Так как с = (а – r) + (b – r), то r = (а + b – c)/2.

    6. Свойство вписанного четырехугольника.

    Теорема (свойство вписанного четырехугольника). Если четырехугольник вписан в окружность, то суммы его противоположных углов равны по 180°.
    Доказательство. Противоположные углы ? и ? являются вписанными. Они опираются на дуги, которые дополняют друг друга до окружности. Окружность содержит 360°. Так как вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается, то сумма углов ? и ? равна 180°.

    7. Признак вписанного четырехугольника.

    Теорема (признак вписанного четырехугольника). Если сумма противоположных углов четырехугольника равна 180°, то вокруг него можно описать окружность.
    Доказательство. Через три вершины четырехугольника всегда можно провести окружность (это вершины некоторого треугольника). Если четвертая вершина будет лежать внутри окружности или вне ее, то угол при этой вершине будет больше или меньше угла ?, по свойству внешнего угла треугольника, т. е. 1 < ? < 2. Тогда сумма противоположных углов этого четырехугольника не будет равна 180°. Поэтому четвертая вершина такого четырехугольника обязана лежать на окружности.

    8. Свойство вписанной трапеции.
    Теорема. Вписанная трапеция является равнобедренной.
    Доказательство. 1-й способ. ?1 + ?2 = 180° как внутренние односторонние при параллельных прямых и секущей, ?3 + ?2 = 180° по свойству вписанного четырехугольника. Тогда ?1 = ?3 и трапеция равнобедренная по признаку равнобедренной трапеции.
    2-й способ. Параллельные прямые отсекают равные дуги. Равные дуги стягиваются равными хордами. Поэтому боковые стороны трапеции равны.

    9. Свойство описанного четырехугольника.

    Теорема (свойство описанного четырехугольника). Если в четырехугольник можно вписать окружность, то суммы его противоположных сторон равны.
    Доказательство. Отрезки касательных, проведенных из одной точки к окружности, равны. Обозначим равные отрезки соответственно одной черточкой, двумя, тремя и четырьмя. Убеждаемся, что суммы противоположных сторон равны: Т + А = Н + Я.

    10. Признак описанного четырехугольника.

    Теорема (признак описанного четырехугольника). Если у четырехугольника суммы противоположных сторон равны, то в него можно вписать окружность.
    Доказательство. Пусть окружность касается только трех сторон. Повернув четвертую сторону вокруг вершины так, чтобы она касалась окружности, получим описанный четырехугольник.
    Т + А = Н + Я — по свойству описанного четырехугольника,
    Т + y = (Н + х) + Я — по условию.
    Тогда y = А + х. А это противоречит неравенству треугольника у < А + х. Значит, окружность касается всех четырех сторон заданного четырехугольника.

    ЭТО НУЖНО ЗНАТЬ !

    Это опорный конспект № 2 по геометрии для 9 класса «Описанные и вписанные окружности». Выберите дальнейшие действия:
    Вернуться к Списку конспектов по геометрии
    Смотреть Опорный конспект 1. Окружности
    Смотреть Опорный конспект 3. Теорема синусов. Теорема косинусов
    Смотреть Опорный конспект 4. Правильные многоугольники

  3. ZETTOP Ответить

    Окружность называется вписанной в треугольник, если все стороны треугольника касаются этой окружности. В таком случае треугольник называют описанным вокруг окружности.
    Рассмотрим вопрос о том, в какой треугольник можно вписать окружность.
    У каждой вписанной окружности есть определенные свойства:
    В один треугольник может быть вписана окружность, причем только одна.
    Центр вписанной окружности размещен на одинаковом расстоянии от всех сторон треугольника и лежит на пересечении его биссектрис.
    Обратим внимание, что окружность можно вписать абсолютно в любой из видов треугольников: прямоугольный, тупоугольный, остроугольный, равнобедренный, равносторонний или произвольный.
    Для каждого из видов треугольников существуют формулы, которые позволяют найти радиус вписанной в них окружности через длину его сторон, периметр или полупериметр треугольника, высоты треугольника, площадь треугольника.
    Обратим внимание, что свойства вписанной в треугольник окружности следуют из свойств биссектрисы угла треугольника.
    Согласно основному свойству биссектрисы, любая ее точка находится на одинаковом расстоянии от сторон угла, который она делит на 2 равные части. Соответственно, эти расстояния могут быть радиусами какой-нибудь вписанной окружности.

  4. Ferdin Ответить

    Теорема 3. Все серединные перпендикуляры, проведённые к сторонам произвольного треугольника, пересекаются в одной точке.
    Доказательство. Рассмотрим два серединных перпендикуляра, проведённых к сторонам AC и AB треугольника ABC, и обозначим точку их пересечения буквой O (рис. 6).

    Рис.6
    Поскольку точка O лежит на серединном перпендикуляре к отрезку AC, то в силу теоремы 1 справедливо равенство:
    CO = AO .
    Поскольку точка O лежит на серединном перпендикуляре к отрезку AB, то в силу теоремы 1 справедливо равенство:
    AO = BO .
    Следовательно, справедливо равенство:
    CO = BO ,
    откуда с помощью теоремы 2 заключаем, что точка O лежит на серединном перпендикуляре к отрезку BC. Таким образом, все три серединных перпендикуляра проходят через одну и ту же точку, что и требовалось доказать.
    Следствие. Около любого треугольника можно описать окружность. Центром описанной около треугольника окружности является точка, в которой пересекаются все серединные перпендикуляры, проведённые к сторонам треугольника.
    Доказательство. Рассмотрим точку O, в которой пересекаются все серединные перпендикуляры, проведённые к сторонам треугольника ABC (рис. 6).
    При доказательстве теоремы 3 было получено равенство:
    AO = OB = OC ,
    из которого вытекает, что окружность с центром в точке O и радиусами OA, OB, OC проходит через все три вершины треугольника ABC, что и требовалось доказать.
    Теорема 4 (теорема синусов). Для любого треугольника (рис. 7)

    Рис.7
    справедливы равенства:
    .
    Доказательство. Докажем сначала, что длина хорды окружности радиуса R хорды окружности радиуса R, на которую опирается вписанный угол величины φ , вычисляется по формуле:
    l = 2Rsin φ .(1) Рассмотрим сначала случай, когда одна из сторон вписанного угла является диаметром окружности (рис.8).

    Рис.8
    Угол MPN, как угол,опирающийся на диаметр, является прямым угломугол,опирающийся на диаметр, является прямым углом, и равенство (1) вытекает из определения синуса угла прямоугольного треугольника.
    Поскольку все вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны, то для произвольного вписанного угла всегда найдется равный ему вписанный угол, у которого одна из сторон является диаметром окружности.
    Формула (1) доказана.
    Из формулы (1) для вписанного треугольника ABC получаем (рис.7):


    Теорема синусов доказана.

    На сайте можно также ознакомиться с нашими учебными материалами для подготовки к ЕГЭ и ОГЭ по математике.

  5. VideoAnswer Ответить

Добавить ответ

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *