В любой прямоугольный треугольник можно вписать окружность верно ли?

13 ответов на вопрос “В любой прямоугольный треугольник можно вписать окружность верно ли?”

  1. Kapfilm Ответить

    Утверждение №1.
    В любой прямоугольный треугольник можно вписать окружность.
     
    Ответ.
    Утверждение является верным.
    Существует теорема, согласно которой в любой треугольник можно вписать окружность. Если вписать окружность можно в ЛЮБОЙ треугольник, то и в прямоугольный также можно.
     
    Утверждение №2.
    Существует треугольник ABC, у которого угол А равен 43 градуса, угол С равен 72 градуса, а сторона АС является меньшей стороной треугольника.
     
    Ответ.
    Утверждение является неверным.
    Проверим, может ли существовать треугольник с такими углами.
    Известно, что сумма всех углов любого треугольника равна 180 градусов. Найдем сумму известных углов А и С:
    43 + 72 = 115 < 180. Найдем третий угол треугольника – угол В: 180 – (43 + 72) = 180 – 115 = 65 градусов. Значит, треугольник может существовать при условии, что третий угол будет равен 65 градусов. Теперь проверим второе условие – сторона АС треугольника должна быть наименьшей. Как известно, в треугольнике наибольшая сторона лежит напротив наибольшего угла, а наименьшая сторона – напротив наименьшего угла. В рассматриваемом треугольнике сторона АС лежит напротив угла В, который равен 65 градусов. Но этот угол не является самым меньшим углом данного треугольника. Поэтому сторона АС не будет наименьшей. В результате получили, что треугольник АВС при заданных условиях не существует.

  2. KLM12 Ответить

    Вписанный треугольник — треугольник, все вершины которого лежат на окружности. Тогда окружность называется описанной вокруг треугольника.
    Очевидно, расстояние от центра описанной окружности до каждой из вершин треугольника одинаково и равно радиусу этой окружности.
    Вокруг любого треугольника можно описать окружность, причем только одну.
    Окружность вписана в треугольник, если она касается всех его сторон. Тогда сам треугольник будет описанным вокруг окружности. Расстояние от центра вписанной окружности до каждой из сторон треугольника равно радиусу этой окружности.
    В любой треугольник можно вписать окружность, причем только одну.

    Попробуйте сами описать окружность вокруг треугольника и вписать окружность в треугольник.
    Как вы думаете, почему центр вписанной окружности — это точка пересечения биссектрис треугольника, а центр описанной окружности — точка пересечения серединных перпендикуляров к его сторонам?
    В задачах ЕГЭ чаще всего встречаются вписанные и описанные правильные треугольники.
    Есть и другие задачи. Для их решения вам понадобятся еще две формулы площади треугольника, а также теорема синусов.
    Вот еще две формулы для площади.
    Площадь треугольника равна половине произведения его периметра на радиус вписанной окружности.
    ,
    где — полупериметр,
    — радиус окружности, вписанной в треугольник.
    Есть и еще одна формула, применяемая в основном в задачах части :

    где — стороны треугольника, — радиус описанной окружности.
    Для любого треугольника верна теорема синусов:

  3. karyshev97 Ответить


    Начало

    Поиск по сайту

    ТОПы

    Учебные заведения

    Предметы

    Проверочные работы

    Обновления

    Новости

    Переменка
    Отправить отзыв

  4. -freegad- Ответить

    Теорема. В любой треугольник можно вписать окружность, и только одну. Ее центр лежит на пересечении биссектрис треугольника.
    Доказательство. Точка пересечения биссектрис треугольника равноудалена от сторон треугольника (доказано нами в 7 классе). Если из этой точки опустить перпендикуляры на стороны и провести окружность радиусом, равным перпендикуляру, то стороны треугольника будут касаться окружности по признаку касательной.
    Если существует еще одна вписанная окружность, то ее центр равноудален от всех трех сторон и поэтому совпадает с точкой пересечения биссектрис, а радиус совпадает с радиусом первой окружности. Окружности совпадают.

    4. Формула площади S = рr.

    Теорема. Площадь треугольника S = рr, где р — полупериметр треугольника, r — радиус вписанной окружности.
    Доказательство. Соединим центр вписанной окружности с вершинами треугольника, стороны которого равны а, b и с. Получим три треугольника, для которых радиусы вписанной окружности, проведенные в точки касания, являются высотами. Площадь данного треугольника равна сумме площадей этих треугольников:
    где p — полупериметр треугольника.
    Данная формула справедлива для любого многоугольника, в который можно вписать окружность, т. е. для любого описанного многоугольника. Доказательство аналогично.

    5. Окружность, вписанная в прямоугольный треугольник.

    Теорема. Радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, находится по формуле r = (а + b – c)/2.
    Доказательство. Проведем радиусы в точки касания. Получим квадрат со стороной r (четырехугольник, у которого все углы прямые и две соседние стороны равны по r) и отрезки катетов, равные r и а – r для катета а, r и b – r для катета b. Так как отрезки касательных, проведенных из одной точки, к окружности равны, то гипотенуза равна сумме отрезков (a – r) и (b – r). Так как с = (а – r) + (b – r), то r = (а + b – c)/2.

    6. Свойство вписанного четырехугольника.

    Теорема (свойство вписанного четырехугольника). Если четырехугольник вписан в окружность, то суммы его противоположных углов равны по 180°.
    Доказательство. Противоположные углы α и β являются вписанными. Они опираются на дуги, которые дополняют друг друга до окружности. Окружность содержит 360°. Так как вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается, то сумма углов α и β равна 180°.

    7. Признак вписанного четырехугольника.

    Теорема (признак вписанного четырехугольника). Если сумма противоположных углов четырехугольника равна 180°, то вокруг него можно описать окружность.
    Доказательство. Через три вершины четырехугольника всегда можно провести окружность (это вершины некоторого треугольника). Если четвертая вершина будет лежать внутри окружности или вне ее, то угол при этой вершине будет больше или меньше угла β, по свойству внешнего угла треугольника, т. е. 1 < β < 2. Тогда сумма противоположных углов этого четырехугольника не будет равна 180°. Поэтому четвертая вершина такого четырехугольника обязана лежать на окружности.

    8. Свойство вписанной трапеции.
    Теорема. Вписанная трапеция является равнобедренной.
    Доказательство. 1-й способ. ∠1 + ∠2 = 180° как внутренние односторонние при параллельных прямых и секущей, ∠3 + ∠2 = 180° по свойству вписанного четырехугольника. Тогда ∠1 = ∠3 и трапеция равнобедренная по признаку равнобедренной трапеции.
    2-й способ. Параллельные прямые отсекают равные дуги. Равные дуги стягиваются равными хордами. Поэтому боковые стороны трапеции равны.

    9. Свойство описанного четырехугольника.

    Теорема (свойство описанного четырехугольника). Если в четырехугольник можно вписать окружность, то суммы его противоположных сторон равны.
    Доказательство. Отрезки касательных, проведенных из одной точки к окружности, равны. Обозначим равные отрезки соответственно одной черточкой, двумя, тремя и четырьмя. Убеждаемся, что суммы противоположных сторон равны: Т + А = Н + Я.

    10. Признак описанного четырехугольника.

    Теорема (признак описанного четырехугольника). Если у четырехугольника суммы противоположных сторон равны, то в него можно вписать окружность.
    Доказательство. Пусть окружность касается только трех сторон. Повернув четвертую сторону вокруг вершины так, чтобы она касалась окружности, получим описанный четырехугольник.
    Т + А = Н + Я — по свойству описанного четырехугольника,
    Т + y = (Н + х) + Я — по условию.
    Тогда y = А + х. А это противоречит неравенству треугольника у < А + х. Значит, окружность касается всех четырех сторон заданного четырехугольника.

    ЭТО НУЖНО ЗНАТЬ !

    Это опорный конспект № 2 по геометрии для 9 класса «Описанные и вписанные окружности». Выберите дальнейшие действия:
    Вернуться к Списку конспектов по геометрии
    Смотреть Опорный конспект 1. Окружности
    Смотреть Опорный конспект 3. Теорема синусов. Теорема косинусов
    Смотреть Опорный конспект 4. Правильные многоугольники

  5. shurpach Ответить

    Теорема 3. Все серединные перпендикуляры, проведённые к сторонам произвольного треугольника, пересекаются в одной точке.
    Доказательство. Рассмотрим два серединных перпендикуляра, проведённых к сторонам AC и AB треугольника ABC, и обозначим точку их пересечения буквой O (рис. 6).

    Рис.6
    Поскольку точка O лежит на серединном перпендикуляре к отрезку AC, то в силу теоремы 1 справедливо равенство:
    CO = AO .
    Поскольку точка O лежит на серединном перпендикуляре к отрезку AB, то в силу теоремы 1 справедливо равенство:
    AO = BO .
    Следовательно, справедливо равенство:
    CO = BO ,
    откуда с помощью теоремы 2 заключаем, что точка O лежит на серединном перпендикуляре к отрезку BC. Таким образом, все три серединных перпендикуляра проходят через одну и ту же точку, что и требовалось доказать.
    Следствие. Около любого треугольника можно описать окружность. Центром описанной около треугольника окружности является точка, в которой пересекаются все серединные перпендикуляры, проведённые к сторонам треугольника.
    Доказательство. Рассмотрим точку O, в которой пересекаются все серединные перпендикуляры, проведённые к сторонам треугольника ABC (рис. 6).
    При доказательстве теоремы 3 было получено равенство:
    AO = OB = OC ,
    из которого вытекает, что окружность с центром в точке O и радиусами OA, OB, OC проходит через все три вершины треугольника ABC, что и требовалось доказать.
    Теорема 4 (теорема синусов). Для любого треугольника (рис. 7)

    Рис.7
    справедливы равенства:
    .
    Доказательство. Докажем сначала, что длина хорды окружности радиуса R хорды окружности радиуса R, на которую опирается вписанный угол величины φ , вычисляется по формуле:
    l = 2Rsin φ .(1) Рассмотрим сначала случай, когда одна из сторон вписанного угла является диаметром окружности (рис.8).

    Рис.8
    Угол MPN, как угол,опирающийся на диаметр, является прямым угломугол,опирающийся на диаметр, является прямым углом, и равенство (1) вытекает из определения синуса угла прямоугольного треугольника.
    Поскольку все вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны, то для произвольного вписанного угла всегда найдется равный ему вписанный угол, у которого одна из сторон является диаметром окружности.
    Формула (1) доказана.
    Из формулы (1) для вписанного треугольника ABC получаем (рис.7):


    Теорема синусов доказана.

    На сайте можно также ознакомиться с нашими учебными материалами для подготовки к ЕГЭ и ОГЭ по математике.

Добавить ответ

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *