В любой ли параллелограмм можно вписать окружность?

8 ответов на вопрос “В любой ли параллелограмм можно вписать окружность?”

  1. cruze004 Ответить

    Здравствуйте!
    Темы на вписанные или описанные геометрические фигуры, почему-то всегда представляют какую-то сложность. Скорее всего, тут дело в том, что названия похожи. В Вашем случае такой казус непонимания и произошёл. Давайте разбираться с начала с тем, что такое вписанный параллелограмм.
    Вписанный параллелограмм иными словами — это параллелограмм, который находиться внутри окружности, а не окружность внутри параллелограмма.
    А теперь попробуем разобраться: любой параллелограмм можно вписать в окружность или нет! Я с уверенностью могу сказать, что далеко не каждый параллелограмм можно вписать в окружность. Это возможно сделать лишь в том случае,, когда сумма двух его противоположных углов равна 180 градусам.
    То есть, это получается, что если параллелограмм вписан у нас в окружность, то все его углы равны 90 градусов. И из двух вариантов (квадрат, или прямоугольник) — это будет только прямоугольник.
    Надеюсь, теперь Вам стало более понятно, что такой вписанный, а что такое описанный параллелограмм и у Вам больше не будет ошибок на понимание, какой параллелограмм можно вписать в окружность, а какой — нельзя. Удачи Вам!

  2. Ti_Ser Ответить

    Определение 1. Окружностью, описанной около четырёхугольника, называют окружность, проходящую через все вершины четырёхугольника (рис.1). В этом случае четырёхугольник называют четырёхугольником, вписанным в окружность, или вписанным четырёхугольником.

    Рис.1
    Теорема 1. Если четырёхугольник вписан в окружность, то суммы величин его противоположных углов равны 180°.
    Доказательство. Угол  ABC является вписанным углом, опирающимся на дугу ADC (рис.1). Поэтому величина угла ABC равна половине угловой величины дуги ADC. Угол ADC является вписанным углом, опирающимся на дугу ABC. Поэтому величина угла ADC равна половине угловой величины дуги ABC. Отсюда вытекает, что сумма величин углов ABC и ADC равна половине угловой величины дуги, совпадающей со всей окружностью, т.е. равна 180°.
    Если рассмотреть углы BCD и BAD, то рассуждение будет аналогичным.
    Теорема 1 доказана.
    Теорема 2 (Обратная  к теореме 1). Если у четырёхугольника суммы величин его противоположных углов равны 180°, то около этого четырёхугольника можно описать окружность.
    Доказательство. Докажем теорему 2 методом «от противного». С этой целью рассмотрим окружность, проходящую через вершины A, B и С четырёхугольника, и предположим, что эта окружность не проходит через вершину D. Приведём это предположение к противоречию. Рассмотрим сначала случай, когда точка D лежит внутри круга (рис.2).

    Рис.2
    Продолжим отрезок CD за точку D до пересечения с окружностью в точке E, и соединим отрезком точку E с точкой A (рис.2). Поскольку четырёхугольник ABCE вписан в окружность, то в силу теоремы 1 сумма величин углов ABC и AEC равна 180°. При этом сумма величин углов ABC и ADC так же равна 180° по условию теоремы 2. Отсюда вытекает, что угол ADC равен углу AEC. Возникает противоречие, поскольку угол ADC является внешним углом треугольника ADE и, конечно же, его величина больше, чем величина угла AEC, не смежного с ним.
    Случай, когда точка D оказывается лежащей вне круга, рассматривается аналогично.
    Теорема 2 доказана.
    Перечисленные в следующей таблице свойства вписанных четырёхугольников непосредственно вытекают из теорем 1 и 2.

  3. lifeess Ответить

    Если в условии задачи сказано, что в параллелограмм вписана окружность, то что сразу можно сказать об этом параллелограмме?
    Для этого надо вспомнить, когда в четырехугольник можно вписать окружность. Это можно сделать лишь в том случае, если суммы противолежащих сторон четырехугольника равны.
    Это условие выполняется только для  тех параллелограммов, у которых все стороны равны, то есть только для ромба (и квадрата, как частного случая ромба).
    Следовательно, если известно, что в параллелограмм можно вписать окружность, сразу можно сделать вывод, что все его стороны равны, и для него справедливы все свойства ромба. Если же дополнительно сказано, что хотя бы один из углов этого параллелограмма прямой, то такой параллелограмм — квадрат.
    Радиус вписанной в ромб окружности можно найти по формуле

    где S — площадь ромба, p — его полупериметр;
    или как половину высоты ромба

    Задачи.
    1) В параллелограмм вписана окружность. Найти периметр параллелограмма, если одна из его сторон равна 10 см.
    Решение:
    Из всех параллелограммов вписать окружность можно только в ромб (и квадрат). У ромба все стороны равны.
    Периметр ромба

    Ответ: 40 см.
    2) В параллелограмм вписана окружность. Найти её радиус, если высота параллелограмма равна 12 см.
    Решение:
    Из параллелограммов вписать окружность можно в ромб (и квадрат). Радиус вписанной в ромб (и квадрат) окружности равен половине его высоты:

  4. putnik7969 Ответить

    Поскольку
    AH + BF + CF + DH =
    = AD + BC,
    AE + BE + CG + DG =
    = AB + CD,
    то справедливо равенство
    AD + BC = AB + CD,
    что и требовалось доказать.
    Теорема 2 (обратная теорема к теореме 1). Если у четырёхугольника суммы длин противоположных сторон равны, то в этот четырёхугольник можно вписать окружность.
    Доказательство. Рассмотрим четырёхугольник ABCD, длины сторон которого удовлетворяют равенству
    AD +BC = AB + CD,
    и проведём биссектрисы углов BAD и CDA. Обозначим точку пересечения этих биссектрис буквой O, и опустим из точки O перпендикуляры OH, OE и OG на стороны AD, AB и CD соответственно (рис.3).

    Рис.3
    Поскольку точка O лежит на биссектрисе угла BAD, то справедливо равенство
    OH = OE,
    Поскольку точка O лежит на биссектрисе угла ADC, то справедливо равенство
    OH = OG,
    Следовательно, справедливы равенства
    OH = OE = OG,
    из которых вытекает, что точки H, E и G лежат на окружности с центром в точке O и радиусом OH, касающейся сторон четырёхугольника AD, AB и CD в точках H, E и G соответственно. При этом возможны два случая:

  5. VideoAnswer Ответить

Добавить ответ

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *