Как научиться решать олимпиадные задачи по математике?

15 ответов на вопрос “Как научиться решать олимпиадные задачи по математике?”

  1. комп ремонт железо Ответить

    Для начала надо определиться, какого уровня мастерства в решении олимпиадных задач вы хотите достичь. Всё определяется задачами, которые вы перед собой ставите, аналогично, как и в любом другом виде спорта: между человеком, иногда делающим зарядку, и профессиональным спортсменом есть большая разница.
    Олимпиадные задания, да и сами олимпиады, могут быть разными как по форме, так и по содержанию. Задачи начальных этапов Всероссийской олимпиады школьников, некоторых интернет-олимпиад обычно не несут значительной спортивной составляющей и направлены на развитие интереса к математике. К таким олимпиадам вполне можно подготовиться самостоятельно, вопросы составлены так, чтобы на большую часть из них мог ответить твёрдый хорошист или отличник по математике. Можно ограничиваться только таким уровнем олимпиад для поддержания себя в тонусе, подготовки к последним задачам профильного варианта единого государственного экзамена по математике и некоторым «вузовским» олимпиадам.
    Для последующего роста уровня достижений уже не обойтись без наставника. Начиная с некоторого момента может сложиться ощущение, что есть некоторая черта, ниже которой задачи охотно решаются, а вот прыгнуть выше уже не удаётся (обычно эта черта проходит примерно по региональному этапу ВОШ). Преодолеть эту черту без наставника, разбирающегося в олимпиадной математике, очень сложно. Хорошим первым наставником может стать обычный школьный учитель из вашей школы, потом можно искать кого-то ещё. Возможно, придутся по душе заочные курсы и консультации по подготовке к олимпиадам, благо, в эпоху интернета их найти несложно.
    В любом случае, при подготовке к олимпиадам любого уровня будет полезно порешать задачи, особенно удачной идеей будет просмотреть задачи прошлых лет того мероприятия, в котором вы собираетесь принять участие. Несмотря на кажущуюся необъятность количества всех возможных задач, можно выделить несколько традиционных идей, которые используются при решении. Это связано как с «модой» на задания определённого типа, так и с тем, что задания одной олимпиады каждый год придумывает примерно одна и та же группа людей. Так что чем больше новых задач вы решите при подготовке к олимпиаде, тем больше вероятность, что на самом конкурсе попадётся что-то, что вы легко решите.

  2. КоролеваКласса Ответить

    6. Во время олимпиады старайтесь выходить умываться. Это
    помогает немного перезагрузить голову. Вполне возможно, что после этого вы
    по-новому взглянете на задачу.
    7. Если олимпиада идёт два дня, то второй день вы должны
    воспринимать как новую олимпиаду и выкладываться по максимуму. Забудьте, что
    было в  первый день. Иначе можно чересчур расслабиться, если написали хорошо,
    или чересчур расстроиться, если плохо.
    8. Как бы банально это ни звучало, внимательно читайте условия
    задач. В задачах нет лишних слов и почти все слова важные. Обратите особое
    внимание на формулировку вопроса. Часто бывает, что участники дают ответ не на
    тот вопрос и получают очень мало баллов за решенную задачу.
    9. Следует прочитать условия всех задач сразу после того, как
    началась олимпиада. Во-первых, вопросы по условиям можно задавать ограниченное
    количество времени (обычно один час после начала тура). А во-вторых, наш мозг
    очень хитро устроен и вполне возможно, что прочитанная задачка будет решаться в
    подсознании, пока сознание решает другую.
    10. Попробуйте переформулировать условие несколько раз. Быть
    может, какая-то ваша формулировка будет больше намекать на решение, чем
    исходная авторская.
    11. Во время записи задачи стоит превратиться в самого
    придирчивого человека на свете (в жюри берут только таких) и стараться как
    можно чаще задавать вопрос «почему?» и как можно реже использовать слово
    «очевидно».
    12. Если вы решали и не решили задачу, то все равно запишите
    все свои мысли в чистовик. Возможно, среди них есть правильные идеи, за
    которые вам поставят несколько баллов.
    13. Почти все задачи, которые дают на олимпиадах, искусственные
    – сначала придумывается идея решения, а потом уже условие задачи, которая
    решается с помощью этой идеи. И очень много задач на классические идеи. Поэтому
    многое в олимпиадах решает именно опыт.
    14. Если вы хотите научиться решать очень сложные задачи, то вам
    не обойтись без науки. Математический анализ, линейная алгебра и теория
    вероятностей могут дать вам много полезных идей и знаний.
    15. Свои лайфхаки есть у всех успешных олимпиадников,
    поэтому старайтесь расспрашивать старших товарищей. А главное, не забывайте
    интересоваться не только математикой: читайте художественную литературу и учите
    иностранные языки!

  3. NikeFeeD Ответить

    Для начала надо определиться, какого уровня мастерства в решении олимпиадных задач вы хотите достичь. Всё определяется задачами, которые вы перед собой ставите, аналогично, как и в любом другом виде спорта: между человеком, иногда делающим зарядку, и профессиональным спортсменом есть большая разница.
    Олимпиадные задания, да и сами олимпиады, могут быть разными как по форме, так и по содержанию. Задачи начальных этапов Всероссийской олимпиады школьников, некоторых интернет-олимпиад обычно не несут значительной спортивной составляющей и направлены на развитие интереса к математике. К таким олимпиадам вполне можно подготовиться самостоятельно, вопросы составлены так, чтобы на большую часть из них мог ответить твёрдый хорошист или отличник по математике. Можно ограничиваться только таким уровнем олимпиад для поддержания себя в тонусе, подготовки к последним задачам профильного варианта единого государственного экзамена по математике и некоторым «вузовским» олимпиадам.
    Для последующего роста уровня достижений уже не обойтись без наставника. Начиная с некоторого момента может сложиться ощущение, что есть некоторая черта, ниже которой задачи охотно решаются, а вот прыгнуть выше уже не удаётся (обычно эта черта проходит примерно по региональному этапу ВОШ). Преодолеть эту черту без наставника, разбирающегося в олимпиадной математике, очень сложно. Хорошим первым наставником может стать обычный школьный учитель из вашей школы, потом можно искать кого-то ещё. Возможно, придутся по душе заочные курсы и консультации по подготовке к олимпиадам, благо, в эпоху интернета их найти несложно.
    В любом случае, при подготовке к олимпиадам любого уровня будет полезно порешать задачи, особенно удачной идеей будет просмотреть задачи прошлых лет того мероприятия, в котором вы собираетесь принять участие. Несмотря на кажущуюся необъятность количества всех возможных задач, можно выделить несколько традиционных идей, которые используются при решении. Это связано как с «модой» на задания определённого типа, так и с тем, что задания одной олимпиады каждый год придумывает примерно одна и та же группа людей. Так что чем больше новых задач вы решите при подготовке к олимпиаде, тем больше вероятность, что на самом конкурсе попадётся что-то, что вы легко решите.

  4. Sairgas Ответить

    Мы знаем, что абсолютное большинство взрослых захотят решить предложенную задачу с помощью уравнения. Неплохой способ, но зачастую обыкновенные логические рассуждения помогают найти ответ быстрее, без ручки и бумаги, просто в уме.
    Рекомендуем ознакомиться с несколькими популярными методами, описанными на примерах в материале «Как решать логические задачи»:
    метод последовательных рассуждений;
    «с конца»;
    с помощью таблиц истинности;
    метод блок-схем.

    Нестандартные методы

    Среди популярных, нестандартных — целенаправленный поиск «ключа» («ключей») и метод «игры в создателя» (т.е. моделирования различных вариантов принципов, использованных для создания задачи). А если подсказки, шаблоны решения отсутствуют, применяется самый сложный метод – поиска метода.
    Для быстрого и правильного решения различных логических головоломок и задач на смекалку ребенку необходимо:
    знать виды логических задач;
    владеть возможными методами решения задач;
    уметь классифицировать задачу и выбирать самый простой и «красивый» способ ее решения.

    Алгоритм решения задач на логику и смекалку

    Основные шесть этапов, которые последовательно должен пройти ученик, решая логическую задачу:
    Ознакомление с условиями задачи.
    Понимание содержания задачи, анализ условий, моделирование.
    Поиск метода решения.
    Применение метода решения, поиск правильного ответа.
    Проверка правильности решения и оформление ответа.
    Анализ проведенного решения.
    Отработка и закрепление навыков решения аналогичных задач.
    1. Внимательно прочитайте условие задачи, лучше несколько раз. Четко уясните вопрос или проблему, которую нужно разрешить. Чаще всего ошибки в решении появляются от невнимательности. Особенно это касается задач с подвохом.
    2. Кратко запишите условия задачи, по возможности, опишите задачу схематически (в виде рисунка, схемы, графика, дерева, чертежа и т.д.). Наглядное представление задачи не только способствует более быстрому уяснению содержания задачи, но и поможет выявить новые связи между элементами задачи или увидеть скрытые свойства объектов. Выделите существенные и несущественные условия задачи и попробуйте упростить задачу, абстрагироваться от действительности, мысленно смоделировать описанную в задаче ситуацию.
    3. Попытайтесь определить тип задачи и соответственно подобрать метод решения, который обычно применяется для решения этого вида заданий. Например, для решения задач на определение истинности или ложности высказывания удобно использовать таблицу. Для решения задач с большим количеством взаимосвязанных условий лучше использовать метод графов и т.д.
    4. Используя выбранный метод, решите задачу.
    5. Проверьте ваш вариант ответа. В случае письменного решения задачи надлежащим образом запишите правильный ответ.
    6. Анализ проведенного решения представляет собой обсуждение всего хода мыслительных действий в процесс решения логической задачи. Это завершающий и необходимый этап решения любой задачи, не только логической. Он включает:
    поиск альтернативного, более рационального, красивого способа решения;
    анализ всего процесса, моментов, которые вызвали затруднения;
    выделение важных признаков данного типа задач;
    составление алгоритма их решения;
    систематизация полученных знаний.
    Школьнику полезно записывать свои решения, алгоритмы и рассуждения в отдельную тетрадь, например, специально для занятий на ЛогикЛайк. Таким образом он будет «пропускать через моторику» свои рассуждения и всегда сможет вернуться к своим наработкам.
    7. Чтобы закрепить свое умение решать головоломки определенного типа, необходимо не откладывая решить еще ряд подобных, однотипных задач с постепенным усложнением набора условий.
    В учебной программе образовательной платформы LogicLike логические задачи распределены по 15 тематическим разделам. Каждая категория содержит задания разного уровня сложности.

  5. его любимая Ответить

    «Некоторые методы решения
    олимпиадных задач»
    Содержание
    Введение…………………………………….……………………………………3
    Основная часть
    Олимпиадные задачи……………………………………….……………………4
    Анкетирование учащихся………………………………………………………..6
    Изучение типов олимпиадных задач и методов их решения………………….8
    Выводы ………………………………………………………………………………..18
    Памятка участнику олимпиады …………………………………………………18
    Список литературы ………………………………………………………….…..19
    Введение
    Каждый год в школе проводится I тур математической олимпиады, затем муниципальная олимпиада и т.д. Внешняя простота таких задач — их условия — обманчива.Кто хотя бы раз в жизни пробовал решать математические олимпиадные задачи, тот понимает, о чем идет речь. Олимпиадные задачи, как правило, являются нестандартными, т.е. требующими использования всех знаний в нестандартных ситуациях, но в школьном курсе математики этому вопросу внимания практически не уделяется. Поэтому я решила разобраться в решении этих задач, попробовать их исследовать, найти общие идеи и методы решения.
    Целью моей учебно-исследовательской работы является исследование и изучение основных типов олимпиадных задач, ознакомление с методами их решения и развитие познавательного интереса учащихся к такому виду задач.
    Были поставлены такие задачи:
    – изучить и понять типы олимпиадных задач;
    – выявить отношение учащихся к такому виду задач;
    – рассмотреть идеи и методы решения олимпиадных задач;
    – наработать навыки в решении таких задач (выпуск методички).
    Объектом нашего исследования являются разные олимпиадные задачи: логические задачи, задачи на переливание и взвешивание, задачи с отношениями, задачи на чет и нечет, задачи на делимость, раскраски в шахматном порядке. А предмет исследования– способы решения таких задач.
    Актуальность. Две стихии господствуют в математике – числа и фигуры с их бесконечным многообразием свойств и взаимосвязей. Задача- это почти всегда поиск, раскрытие каких-то свойств и отношений, а средства её решения- это интуиция и догадка, эрудиция и владение методами математики. Эти же качества человеческого ума воспитываются, укрепляются, обогащаются у каждого, кто регулярно отдает часть своего досуга умственной гимнастике, лучшим видом которой является решение математических головоломок, ребусов, задач с интригующим содержанием.
    Гипотеза: Изучение методов решенияолимпиадных задач повысит интерес учащихся к принятию участия в них; способствует развитию компетентной личности, владеющей настойчивостью, инициативой, самостоятельностью.
    Методы изучения нашей проблемы:
    Поисковый метод с использованием научной и учебной литературы;
    Исследовательский метод при определении видов олимпиадных задач и методов их решений;
    Практический метод решения задач.
    Олимпиадные задачи.
    Что же мы понимаем под олимпиадными задачами?
    Олимпиадные задачи в математике — термин для обозначения круга задач, для решения которых обязательно требуется неожиданный и оригинальный подход.
    Математические соревнования и конкурсы имеют давнюю историю. Так сохранились сведения о том, что уже в древней Индии (около 2000 г. До н.э.) для решения математических задач устраивались состязания в присутствии многочисленных зрителей. Широкое распространение получили математические турниры в эпоху возрождения. Школьные математические олимпиады берут свое начало с так называемого «этвёшского соревнования», проведенного в 1894 г. в Венгрии по инициативе Лорана Этвёша – президента Венгерского физико-математического общества. В СССР первые математические соревнования школьников состоялись в Грузии. В 1933 г. в Тбилиси были проведены первые школьные и районные олимпиады. Первые городские олимпиады состоялись в Тбилиси и Ленинграде в 1934 г. на следующий год в Москве и Киеве. В дальнейшем олимпиадное движение распространилось по всей стране. Идея объединить олимпиадное движение в масштабе всей страны впервые была реализована в 1960 г. и начиная с 1961 г. регулярно стали проводиться так называемые Всероссийские математические олимпиады.
    На выполнение олимпиадных задач отводится строго определенное время, в качестве заданий предлагаются не задачи обязательного или повышенного уровня (по школьным меркам), а задания нестандартные.
    Какая же задача называется нестандартной? «Нестандартные задачи- это такие задачи, для которых в курсе математики не имеется общих правил и положений, определяющих точную программу их решения.» (Фридман Л.М. Турецкий Е.Н. Как научиться решать задачи.- Москва. Просвещение 1989г). Однако, следует заметить, что понятие «нестандартная задача» является относительным. Одна и та же задача может быть стандартной или нестандартной, в зависимости от того, знакомы ли мы со способами решения задач такого типа. Таким образом, нестандартная задача- это задача, алгоритм которой неизвестен, т.е. неизвестен ни способ её решения, ни то, на какой учебный материал опирается решение. А многие задачи требуют и специальных знаний, подготовки. К таким задачам относятся задачи на смекалку, на логику, применения инвариантов, задачи на раскраски, чет и нечет и т.д. Конечно, для успешного решения любой задачи нужно уметь думать, догадываться, но этого мало. Нужны знания и опыт в решении задач. Полезно владеть и определенными общими подходами к решению таких задач. Поэтому мы решили разобраться в решении этих задач, попробовать их исследовать, найти общие подходы. Любая задача должна чему-нибудь научить. Решение каждой задачи должно быть шагом вперед в развитии математических знаний, умений и навыков, должно обогащать знания и опыт, учить ориентироваться в различных ситуациях.
    Сложность олимпиадной задачи – это объективная характеристика задачи, определяемая ее структурой. Сложность задачи зависит от:
    – объема информации(числа понятий, суждений и т.п.), необходимого для ее решения;
    – числа данных в задаче;
    – числа связей между ними;
    – количества возможных выводов из условия задачи;
    – количества взаимопроникновений при решении задачи;
    – длины рассуждений при решении задачи;
    -общего числа шагов решения, привлеченных аргументов и т.д.
    Трудность олимпиадной задачи – субъективная характеристика задачи, определяемая взаимоотношениями между задачей и решающим ее учеником. Трудность задачи зависит от:
    – сложности задачи (сложная задача, как правило, является более трудной для учащихся);
    – времени прошедшего после изучения материала, который встречается в тексте задачи (задачи на материал, изученный 1-2 года назад, используемые факты, которые уже забылись);
    – практики в решении подобного рода задач;
    – уровня развития ученика (задача, тяжелая для ученика общеобразовательного класса, может быть легкой для ученика физико-математического класса);
    – возраста учащегося.
    Анкетирование учащихся.
    Нами, предварительно было проведено анкетирование по отношению учащихся 5-7 класса к решению олимпиадных задач.
    Анкета для учащихся.
    Желали бы вы принять участие в математической олимпиаде!
    Да / Нет Почему_______________________________________
    (нужное подчеркнуть)
    _______________________________________________________
    В опросе принимало участие 22 учащихся.
    Желание участвовать в олимпиаде по математике распределилось следующим образом по классам:
    5 класс – 66%
    6 класс -75%
    7 класс – 38 %
    При ответе «Нет» учащиеся давали следующие пояснения: такие задачи на уроках не решают; никогда не встречал таких задач;задачи слишком трудные для меня;не знаю с чего начать; очень сложно; наберу меньше всех баллов – будут смеяться.
    Ребятам желающим принять участие были предложены по классам олимпиадные задачи различных типов. Выполнение которых отражено в таблице.
    Тип задачи выполнение
    числовые ребусы
    63%
    арифметика
    35%
    на взвешивания и переливания
    21%
    логические задачи
    14%
    на движение или работу
    42%
    на раскраску или разрезание
    21%
    на четность или делимость
    7%
    геометрические
    28%
    Результаты мы представим в виде диаграммы

    Из диаграммы видно, для ребят более легкими являются такие задания как числовые ребусы, задачи на движение и работу, т.е., с которыми они встречались в ходе учебных занятий, остальные задания вызывают большие затруднения.Ребят которые справились со всеми заданиями нет, что подтверждает наличие затруднений у ребят при решении олимпиадных задач.
    Основные типы и методы решения задач
    В ходе изучения научной литературы нами были выявлены следующие типы олимпиадных задач для учащихся 5-7 класса:
    Числовые ребусы;
    Арифметика
    Задачи на взвешивание, переливания;
    Логические задачи;
    Задачи на движение или работу;
    Задачи на раскраску или разрезание;
    Задачи содержащие идеи четности или делимости;
    Задачи на проценты и отношения
    Задачи, решаемые с конца
    Геометрические задачи;
    Математическимиребусаминазываются задания на восстановление записей вычислений. Условие ребуса либо целиком зашифрованную запись, либо только часть записи. Записи восстанавливаются на основании логических рассуждений. При этом нельзя останавливаться отысканием только одного решения. Испытание надо доводить до конца, чтобы убедиться, что нет других решений, или найти все решения.
    Задача: Какую цифру заменяет черный треугольник?
    В примере на сложение:
    > + > + 00 = ? ??
    различные фигурки заменяют различные цифры.Какую цифру заменяет черный треугольник?
    Решение: Максимальное значение суммы трех наших слагаемых равно 9 + 9 + 99 = 117. Значит, ? ?? = 111. Минимальное значение числа 00 равно 111 – 9 – 9 = 93, а само число равно 99. На долю одного черного треугольника приходится (111 – 99) : 2 = 6.
    Арифметика.Для решения задачи нужно уметь выполнять арифметические операции, как правило над числами с большим количеством цифр, а так же операции с дробями.
    Задача:Автобусный билет будем считать счастливым, если между его цифрами можно в нужных местах расставить знаки четырёх арифметических действий и скобки так, чтобы значение полученного выражения равнялось 100. Является ли счастливым билет N123456?
    Решение:
    1 + (2 + 3 + 4) . (5 + 6) = 100. Есть и другие решения
    Задачи на взвешивания– достаточно распространенный вид математических задач.В таких задачах от решающего требуется локализовать отличающийся от остальных предмет по весу за ограниченное число взвешиваний. Поиск решения в этом случае осуществляется путем операций сравнения, правда, не только одиночных элементов, но и групп элементов между собой.
    Задача: У Буратино есть 27 золотых монет. Но известно, что Кот Базилио заменил одну монету на фальшивую, а она по весу тяжелее настоящих. Как за три взвешивания на чашечных весах без гирь Буратино определить фальшивую монету?
    Решение:Разделим монеты на 3 кучки по 9 монет. Положим на чаши весов первую и вторую кучки; по результату этого взвешивания мы точно узнаем, в какой из кучек находится фальшивка (если весы покажут равенство, то она – в третьей кучке). Теперь, аналогично, разделим выбранную кучку на три части по три монеты, положим на весы две из этих частей и определим, в какой из частей находится фальшивая монета. Наконец, остается из трех монет определить более тяжелую: кладем на чаши весов по 1 монете – фальшивкой является более тяжелая; если же на весах равенство, то фальшивой является третья монета из части. Задача решена.
    Задачи на переливания– задачи,в которых с помощью сосудов известных емкостей требуется отмерить некоторое количество жидкости, которые решаются с помощью алгебраического метода.
    Задача:Однажды Винни-Пух захотел полакомиться медом и пошел к пчелам в гости. По дороге нарвал букет цветов, чтобы подарить труженицам пчелкам. Пчелки очень обрадовались, увидев мишку с букетом цветов, и сказали: «У нас есть большая бочка с медом. Мы дадим тебе меда, если ты сможешь с помощью двух сосудов вместимостью 3 л и 5 л налить себе 4 л!» Винни-Пух долго думал, но все-таки смог решить задачку. Как он это сделал?
    Решение:
    Как в результате можно получить 4 л? Нужно из 5-литрового сосуда отлить 1 л. А как это сделать? Нужно в 3-литровом сосуде иметь ровно 2 л. Как их получить? – Из 5-литрового сосуда отлить 3 л.
    Решение лучше и удобнее оформить в виде таблицы:
    Шаг
    Сосуд – 3л
    Сосуд – 5л
    1
    0
    5
    2
    3
    2
    3
    0
    2
    4
    2
    0
    5
    2
    5
    6
    3
    4
    Наполняем из бочки 5-литровый сосуд медом (1 шаг). Из 5-литрового сосуда отливаем 3 л в 3-литровый сосуд (2 шаг). Теперь в 5-литровом сосуде осталось 2 литра меда. Выливаем из 3-литрового сосуда мед назад в бочку (3 шаг). Теперь из 5-литрового сосуда выливаем те 2 литра меда в 3-литровый сосуд (4 шаг). Наполняем из бочки 5-литровый сосуд медом (5 шаг). И из 5-литрового сосуда дополняем медом 3-литровый сосуд. Получаем 4 литра меда в 5-литровом сосуде (6 шаг). Задача решена.
    Логические задачи:
    Существует множество разных логических задач. В ходе знакомства с ними, я выделила несколько основных типов задач:
    «Правдивые задачи». В этих задачах нужно определить, какое выражение истина. Такие задачи могут иметь разную форму, но в них есть одна общая часть. В условие будет сказано, что есть человек, говорящий всегда правду, и его антагонист, говорящий всегда неправду.
    Задача: В одном городе кто-то угнал машину у градоначальника. Полиция задержала троих человек: Джона, Джека и Джо. Полиции было известно, что один из них – лжец, один – всегда говорит правду, а про третьего точно неизвестно, говорит ли он правду или ложь. Полиция также знала, что один из них угнал машину, и что этот человек всегда говорит правду. Три человека сказали следующее:
    Джон: Я не виновен.
    Джек: Он говорит истинную правду.
    Джо: Я угнал машину.
    Кто угнал машину и кто лжец?
    Решение: Джон сказал: “Я не виновен”. По условию задачи два человека являются невиновными: лжец и шутник. Джон не может быть лжецом, так как лжец, в данном случае, сказал бы, что он виновет. Джон не может быть и правдолюбцем, так правдолюбец виновен, и он не сможет сказать неправду. Остается, что Джон шутник, при этом он говорит правду, так как он, действительно невиновен. Джек подтверждает невиновность шутника Джона, т.е. Джек говорит правду, поэтому он не лжец, а правдолюбец, Джек и угнал машину. Джо – лжец и как положено лжецу, он всех обманывает, говоря, что он угнал машину.
    Задачи на вычисление соотношения, которые решаются методом таблиц и графов.
    Метод таблиц, который очень удобен при решении задач на соотношение. Его выгода в наглядности логических размышлений, возможности контролировать цепочку рассуждений, а также возможность формализовать некоторые новые логические суждения.
    Задача: Живут-поживают пять зайчат: Попрыгунчик, Ушастик, Тишка, Зайка, Беляк, и у каждого есть мячик. Цвета мячиков такие: синий, зеленый, красный, желтый и оранжевый. У Ушастика мячик желтого цвета, а у Зайки не зеленый, не синий и не красный. У Попрыгунчика был бы синий мячик, если бы у беляка был зеленый мячик, но у беляка мячик другого цвета. Беляк не любит игрушки синего цвета. У кого какой мячик?
    Решение: У Ушастика желтый мячик. (Ставим плюс в Ячейку «Желтый, Ушастик», а во все остальные ячейки столбца «Ушастик» и строку «Желтый» заполняем минусами). У Зайки не зеленый, не синий и не красный мячик, значит – оранжевый. (Ставим плюс в ячейку «Оранжевый, Зайка», заполняем свободные ячейки столбца и строки минусами). Так как у Беляка мячик не зеленый и не синий(ставим минусы), не желтый и не оранжевый, значит у него мячик красного цвета. Так как у Прыгунчика не синий мячик, значит у него зеленый. Получаем, что у Тишки мячик синий.
    Цвет мячика
    Кличка зайчика
    Прыгунчик
    Ушастик
    Тишка
    Зайка
    Беляк
    Зеленый
    +
    –
    –
    –
    –
    Синий
    –
    –
    +
    –
    –
    Красный
    –
    –
    –
    –
    +
    Желтый
    –
    +
    –
    –
    –
    Оранжевый
    –
    –
    –
    +
    –
    Метод граф.Граф – очень популярный объект в математике – есть набор точек, соединенных отрезками – ребрами. Граф отлично моделирует передвижения объекта между географическими объектами, компьютерные сети, знакомства, отношения. Графы помогают лучше понять структуру исследуемого объекта.
    Задача: В школьной столовой на первое можно заказать щи, гороховый суп и борщ, на второе – котлету и рыбу, а на третье – чай и морс. Сколько вариантов обеда можно получить из указанных блюд?
    Обед

    Борщ Гороховый суп Щи

    Рыба Котлета Рыба Котлета Рыба Котлета
    Морс Чай Морс Чай Морс Чай Морс Чай Морс Чай Морс Чай
    Ответ: 12 вариантов
    Метод Кругов Эйлера.Круги Эйлера – задачи на пересечение или объединение множеств. Это геометрическая схема, с помощью которой можно изобразить отношения между подмножествами, для наглядного представления.
    Метод Эйлера является незаменимым при решении некоторых задач, а также упрощает рассуждения. Однако, прежде чем приступить к решению задачи, нужно проанализировать условие. Иногда с помощью арифметических действий решить задачу легче.
    Задача:Часть жителей города умеет говорить только по-русски, часть – только по-узбекски и часть умеет говорить на обоих языках. По-узбекски говорят 85%, по-русски 75%. Сколько процентов жителей говорят на обоих языках?
    Решение: Составим схему –


    У ? Р
    85% 75%
    В кружке под буквой «У» обозначим жителей, говорящих по-узбекски, под буквой «Р» – по-русски. В общей части кружков обозначим жителей, говорящих на обоих языках. Теперь от всех жителей (100%) отнимем кружок «У» (85%), получим жителей, говорящих только по-русски (15%). А теперь от всех, говорящих по-русски (75%), отнимем эти 15%. Получим говорящих на обоих языках (60%).
    Задачи на движение. Во всех таких задачах допускается определенная идеализация: считается, что тела движутся прямолинейно и равномерно, скорости (в том числе скорость течения) постоянны в течение определенных промежутков времени, не меняются при поворотах и т.д., Основными типами задач на движение являются следующие:
    1) задачи на движение по прямой (навстречу и вдогонку),
    2) задачи на движение по воде,
    3) задачи на среднюю скорость.
    Задача:Таракан Валентин объявил, что умеет бегать со скоростью 50 м/мин. Ему не поверили, и правильно: на самом деле Валентин всё перепутал и думал, что в метре 60 сантиметров, а в минуте 100 секунд. С какой скоростью (в “нормальных” м/мин) бегает таракан Валентин?
    Решение: Валентин пробегает 50*60=3000 см за 100 с, то есть его скорость 30 см/с, что составляет 18 м/мин.
    Задачи на работу
    Такие задачи часто вычисляются по формуле: А=P?t где P – производительность труда, т. е. часть работы, выполняемая в единицу времени; t – время, необходимое для выполнения всей работы.
    Пусть P?t=1 – взаимообратные величины, т. е. вся работа А=1, следовательно: P=A/t=1/t t=A/P=1/P
    Задача: Котенок Малыш может облизать себя с головы до кончика хвоста за полчаса, а кот Тоша может облизать Малыша за 5 минут. Себя Тоша способен помыть за 20 минут. Сколько времени придется трудиться Малышу, чтобы помыть Тошу?
    Решение: Малыш облизывает сам себя в 6 раз (30мин/5мин=6) медленнее, чем его облизывает кот Тоша. Тоша облизывает себя за 20 минут. Следовательно, Малыш оближет кота Тошу за 20мин · 6=120мин=2часа.
    Задачи на раскраску.Суть данного метода состоит в следующем. Раскрасив некоторые ключевые элементы, которые фигурируют в задаче в несколько цветов, исследовать, что будет происходить, если выполнять условия задачи. Цвет позволяет значительно упростить понимание процесса, фигурируемого в условии, и зачастую приводит к решению. Этот метод позволяет эффективно решать ряд задач, в частности, игровые и шахматные задачи.
    Задача: В каждой клетке доски 5?5 клеток сидел жук. Затем каждый жук переполз на соседнюю (по стороне) клетку. Докажите, что осталась хотя бы одна пустая клетка.
    Решение: раскрасим доску в 2 цвета. Черных клеток-13, а белых 12. При переползании с черных клеток жуки переползали на белые и наоборот. Так как белых клеток 12, а черных на одну больше и все жуки с белых переползают на черные, то одна черная клетка останется.
    Ответ : останется 1 черная клетка.
    Задачи на разрезание.В этих задачах требуется разрезать данную фигуру на части, из которых можно сложить другую, уже заданную плоскую фигуру так, чтобы обе фигуры были равносоставленными, т. е. состояли из неперекрывающихся частей без свободных промежутков.Для решения задач на разрезание не существует универсального метода и каждый кто берется за них должен проявить смекалку и инициативу.
    Задача 2: Сделайте из квадрата четыре равных прямоугольника и один квадрат. Решение:

    Задачи на четность. Многие задачи легко решаются, если заметить, что некоторая величина имеет определённую чётность. Из этого следует, что ситуации, в которых данная величина имеет другую чётность, невозможны. Иногда эту величину надо «сконструировать», например, рассмотреть чётность суммы или произведения, разбить объекты на пары. Заметить чередование состояния, раскрасить объекты в два цвета и т.д.
    Задача:Кузнечик прыгал вдоль прямой и вернулся в исходную точку (длина прыжка 1м). Докажите, что он сделал чётное число прыжков.
    Решение: Поскольку кузнечик вернулся в исходную точку. Количество прыжков вправо равно количеству прыжков влево, поэтому общее количество прыжков чётно.
    Задачи на делимость.Необходимо знать признаки делимости и теоремы:
    1. Если каждое слагаемое суммы делится на одно и то же число, то и сумма делится на это число.
    2. Если уменьшаемое и вычитаемое делятся на одно и то же число, то и разность делится на это число.
    3. Если в произведении нескольких натуральных чисел хотя бы один из сомножителей делится на какое-то число, то и все произведение делится на это число.
    4. Если некоторое целое число делится на другое, а это другое – на третье, то и первое число делится на третье.
    Основываясь на известных нам признаках делимости и теоремах 1-4, можно сформулировать и признаки делимости на 4, на 6, на 8, на 15 и другие.
    Задача: Найти наименьшее натуральное число, которое при делении на 7 дает в остатке 6, а при делении на 9 остаток равен 8.
    Решение: В обоих случаях – как при делении искомого числа на 7, так и при делении его на 9 остаток на единицу меньше делителя. Увеличив делимое на 1, получим число, которое делится без остатка и на 7, и на 9. Наименьшее такое число – 63. Искомое число на 1 меньше и равно 62.
    Задачи на проценты и отношения.Решение задач на применение основных понятий о процентах и отношениях.
    Правило 1. Чтобы найти данное число процентов от числа, нужно проценты записать десятичной дробью, а затем число умножить на эту десятичную дробь
    Правило 2. Чтобы найти, сколько процентов одно число составляет от другого, нужно разделить первое число на второе и полученную дробь записать в виде процентов.
    Правило 3. Чтобы найти процентное отношение двух чисел А и В, надо отношение этих чисел умножить на 100%, то есть вычислить (а/в)*100%.
    Задача: Влажность купленного арбуза составила 99%. В результате длительного хранения влажность снизилась до 98%. Как изменилась масса арбуза?
    Решение: Свежий арбуз на 99% процентов состотит из жидкости и на 1% – из сухой массы. В результате усушки количество жидкости уменьшилось и составило 98% от новой, также уменьшившейся массы арбуза. Количество же сухого вещества, оставаясь неизменным, составило 2% от новой массы арбуза. Процентное содержание в арбузе сухого вещества (при неизменной его массе) увеличилось вдвое. Следовательно масса арбуза в результате усушки уменьшилась вдвое.
    Задача: Условие В классе учится меньше 50 школьников. За контрольную работу седьмая часть учеников получила пятёрки, третья — четвёрки, половина — тройки. Остальные работы были оценены как неудовлетворительные. Сколько было таких работ?
    Решение: Поскольку число школьников, получивших ту или иную оценку, всегда целое, то для решения задачи нам надо найти целое число, меньшее 50, одновременно делящееся на 7, 3, 2. Единственным возможным ответом является число 42. Это значит, что всего в классе 42 ученика; 6 из них получили пятёрки; 14 — четвёрки; 21 — тройки. Следовательно, двойку получил 1 ученик.
    Задачи, решаемые с конца.Если в задаче задана некоторая операция, и она обратима, то можно сделать «обратный» ход от конечного результата к исходным данным. (Например, надо вынести шкаф из комнаты. Пройдёт ли он через дверь? Пройдёт, потому что через дверь его внесли). Анализ с конца используют при поиске выигрышных и проигрышных ситуаций.
    Задача: Дедка вдвое сильнее Бабки, Бабка втрое сильнее Внучки, Внучка вчетверо сильнее Жучки, Жучка впятеро сильнее Кошки, Кошка вшестеро сильнее Мышки. Дедка, Бабка, Внучка, Жучка и Кошка вместе с Мышкой могут вытащить Репку, а без Мышки — не могут. Сколько надо позвать Мышек, чтобы они смогли сами вытащить Репку?
    Решение: Кошка заменяет 6 Мышек. Жучка заменяет 5•6 Мышек. Внучка заменяет 4•5•6 Мышек. Бабка заменяет 3•4•5•6 Мышек. Дедка заменяет 2•3•4•5•6 Мышек. Итого потребуется:
    (2•3•4•5•6) + (3•4•5•6) + (4•5•6) + (5•6) + 6 + 1 = 1237 Мышек.
    Геометрические задачи.
    Пожалуй, самыми интересными и сложными среди олимпиадных задач являются задачи по геометрии. Мы не будем разбирать сложные задачи, ограничившись только отдельными подходами к решению геометрических задач. Даже их классификация представляет затруднения. Некоторые из задач можно назвать задачами геометрическими условно, ведь они сводятся к элементарным вычислениям. В таких задачах важнее всего идея решения.
    Задача: Размышляем над кубиком
    От кубика, склеенного из бумаги, отрезали уголок.
    Этот кубик разрезали по некоторым ребрам, развернули и получили одну из фигурок A – E.
    Какую?

    ответ Е
    Выводы:
    Написав эту работу, я познакомилась с нестандартными методами решения, которые часто встречается при решении олимпиадных задач. Думаю, что полученные знания пригодятся мне при дальнейшем изучении математики.
    В данной работе рассмотрен далеко не полный круг элементарных олимпиадных задач. Чем больше я изучала научную литературу, тем больше открывала для себя насколько большое их разнообразие. По большому счету, эта работа предназначена для учеников 5—7 классов, хотя она может оказаться полезной и для школьников возрастом постарше.
    Памятка участнику олимпиады.
    Прочитайте все задачи и наметьте, в каком порядке вы будете их решать. Помните последние задачи обычно более сложные.
    Если для вас задача решалась слишком легко, то, скорее всего вы не поняли условие или где-то ошиблись.
    Если задача не решается – попробуйте упростить ее условие (взять меньшие числа, рассмотреть частные случаи и т.д) или порешать ее «с конца», «от противного», поставить вместо чисел переменные и т.д.
    Не зацикливайтесь на на одной задаче: иногда отрывайтесь от нее и оценивайте положение. Если есть хоть небольшие успехи, то можно продолжать, а если мысль ходит по кругу, то задачу лучше оставить, хотя бы на время.
    Почувствовав усталость – отдохните (посмотрите в окно, закройте глаза, отвлекитесь).
    Решив задачу, сразу оформите ее решение. Это поможет проверить рассуждения и освободить мысли для других задач.
    Перед сдачей работы, проверьте еще раз написанное – поймут ли ваши решения задач члены жури?
    Список литературы
    Канель-Белов А. Я., Ковальджи А. К. Как решают нестандартные задачи / Под ред. В. О.Бугаенко.|4-е изд., стереотип.|М.: МЦНМО, 2008.| 96 c.
    Игнатьев Е.И. В царстве смекалки / Под редакцией М.К. Потапова. – 2-е издание.- М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1981.- 208с.
    Петраков И.С. Математические олимпиады школьников: Пособие для учителей.- М.: Просвещение, 1982.- 96с.
    Баранова т.А., Блинков А.Д., Кочетков К.П., Потапова М.Г., Семенов А.В. Олимпиада для 5-6 классов. Весенний тур Архимеда. Задания с решениями, технология проведения.-М.: МЦНМО – 2003г.- 125с.
    Фарков А.В. Математические олимпиады в школе. 5-11 классы/ А.В. Фарков. -8-е изд., испр. И доп. – М.:Айрис-пресс, 2009.-256с.
    Севрюков П.Ф. подготовка к решению олимпиадных задач по математике / П.Ф. Севрюков. –Изд.2-е. –М.: Илекса; Народное образование; Ставрополь: Сервисшкола, 2009.- 112с.
    Шарыгин И.Ф., Шевкин А.В. Задачи на смекалку. Учебное пособие для 5–6 классов общеобразовательных учреждений. 8-е изд.-М.: Просвещение, 2006.
    Математика.5-9 классы. Развитие математического мышления: олимпиады, конкурсы / авт.-сост. И.В. Фотина.-Волгоград: Учитель, 2010.-202.
    Богомолова О.Б. Логические задачи /О.Б. Богомолова.-М.:БИНОМ. Лаболатория знаний, 2005. – 271с.:ил.

  6. Tygrazel Ответить

    Математическое мышление – творческое мышление, со всеми особенностями, присущими творческому мышлению. Процесс  решения нестандартно поставленной математической задачи- творческий процесс.  Только особая, неподдающаяся никакому научному анализу, совершенно индивидуальная математическая интуиция позволяет  найти решение там, где никакие «шаблоны» невозможны, где никакого алгоритма поиска пути следования от условия до ответа составить нельзя, где все, казалось бы, так просто и понятно, но не ясно  только одно – как же это делается кто хотя бы раз в жизни пробовал решать математические олимпиадные задачи, тот понимает, о чем идет речь. Именно решению таких задач и посвящается данная работа.
    Олимпиадные задачи в математике — термин для обозначения круга задач, для решения которых обязательно требуется неожиданный и оригинальный подход.
    Олимпиадные задачи получили своё название от популярных соревнований школьников и студентов, так называемых Математических олимпиад. Цель создания задач этой категории — воспитание в будущих математиках таких качеств как творческий подход, нетривиальное мышление и умение изучить проблему с разных сторон. Не случайно академик А. Н. Колмогоров в своей речи на открытии сравнил работу математика с «чередой решения (порою больших и трудных) олимпиадных задач».
    Внешняя простота олимпиадных задач — их условия и решения должны быть понятны любому школьнику — обманчива. Лучшие олимпиадные задачи затрагивают глубокие проблемы из самых разных областей математики. К сожалению, этой кажущейся простотой иногда пользовались не по назначению: на приёмных экзаменах с помощью таких задач отсеивали абитуриентов нежелательных национальностей. Неудивительно, что олимпиадные задачи из арсенала таких приёмных комиссий стали называть «гробами».
    Олимпиадные задачи можно найти в Интернете, в периодических изданиях (журналы Квант, Математическое просвещение), а также в виде отдельных сборников. Они широко используются в работе математических кружков, заочных школ и для таких математических соревнований как олимпиады, турниры городов и математические бои.
    Большой вклад в популяризацию методов решения олимпиадных задач внесли публикации журнала «Квант», книги серий «Популярные лекции по математике», «Библиотека математического кружка» и другие книги, а также многочисленные веб-сайты, посвящённые олимпиадным задачам.
    Типы задач
    Несмотря на уникальность олимпиадных задач, можно всё-таки выделить несколько типичных идей, составляющих суть задач. Разумеется, по определению, такой список будет неполным.
    • Задачи на инвариант
    Методы решения
    Не существует единого метода решения олимпиадных задач. Напротив, количество методов постоянно пополняется. Некоторые задачи можно решить несколькими разными методами или комбинацией методов. Характерная особенность олимпиадных задач в том, что решение с виду несложной проблемы может потребовать применения методов, использующихся в серьёзных математических исследованиях. Ниже приводится (по определению) неполный список методов решения олимпиадных задач:
    • Доказательство от противного.
    • Принцип Дирихле
    • Решение методами другой науки (замена алгебраической задачи геометрической или физической и наоборот)
    • Правило крайнего
    • Решение с конца
    • Поиск инварианта
    • Построение контрпримера
    • Математическая индукция
    • Рекурсия
    • Метод итераций
    • Подсчёт двумя способами
    • Метод аналогий
    • Провокационный метод
    • Вспомогательное построение
    • Переход в пространство большего числа измерений
    • Вспомогательная раскраска
    Цель работы: Научиться решать олимпиадные математические задачи разного типа и изучить методы их решения.
    Рассмотрим каждый метод решения олимпиадных задач подробнее.
    Принцип Дирихле
    При решении многих задач используется логический метод рассуждения — “от противного”. В данной брошюре рассмотрена одна из его форм — принцип Дирихле. Этот принцип утверждает, что если множество из N элементов разбито на n непересекающихся частей, не имеющих общих элементов, где N>n то, по крайней мере, в одной части будет более одного элемента. Принцип назван в честь немецкого математика Дирихле (1805-1859), который успешно применял его к доказательству арифметических утверждений.
    По традиции принцип Дирихле объясняют на примере “зайцев и клеток”. Если мы хотим применить принцип Дирихле при решении конкретной задачи, то нам предстоит разобраться, что в ней — “клетки”, а что — “зайцы”. Это обычно является самым трудным этапом в доказательстве.
    Формулировка принципа Дирихле
    Самая популярная формулировка принципа Дирихле звучит так:
    ФОРМУЛИРОВКА 1. “Если в n клетках сидит n+1 или больше зайцев, то найдётся клетка, в которой сидят по крайней мере два зайца”.
    Заметим, что в роли зайцев могут выступать различные предметы и математические объекты – числа, отрезки, места в таблице и т. д.
    Принцип Дирихле можно сформулировать на языке множеств и отображений.
    ФОРМУЛИРОВКА 2. “При любом отображении множества P, содержащего n+1 элементов, в множество Q, содержащее n элементов, найдутся два элемента множества P, имеющие один и тот же образ”.
    Несмотря на совершенную очевидность этого принципа, его применение является весьма эффективным методом решения задач, дающим во многих случаях наиболее простое и изящное решение. Однако во всех этих задачах часто нелегко догадаться, что считать “зайцем”, что – “клеткой”, и как использовать наличие двух “зайцев”, попавших в одну “клетку”. С помощью принципа Дирихле обычно доказывается существование некоторого объекта, не указывая, вообще говоря, алгоритм его нахождения или построения. Это даёт так называемое неконструктивное доказательство – мы не можем сказать, в какой именно клетке сидят два зайца, а знаем только, что такая клетка есть.
    Математическая индукция — в математике — один из методов доказательства. Используется, чтобы доказать истинность некоего утверждения для всех натуральных чисел. Для этого сначала проверяется истинность утверждения с номером 1 — база индукции, а затем доказывается, что если верно утверждение с номером n, то верно и следующее утверждение с номером n + 1 — шаг индукции, или индукционный переход.
    Доказательство по индукции наглядно может быть представлено в виде так называемого принципа домино:
    Пусть какое угодно число косточек домино выставлено в ряд таким образом, что каждая косточка, падая, обязательно опрокидывает следующую за ней косточку (в этом заключается индукционный переход). Тогда, если мы толкнём первую косточку (это база индукции), то все косточки в ряду упадут.
    Доказательство «от противного» в математике — один из самых часто используемых методов доказательства утверждений. Этот способ доказательства основывается на истинности формулы в классической логике и законе двойного отрицания.
    Доказательство утверждения A проводится следующим образом. Сначала принимают предположение, что утверждение A неверно, а затем доказывают, что при таком предположении было бы верно некоторое утверждение B, которое заведомо неверно. Полученное противоречие показывает, что исходное предположение было неверным, и поэтому верно утверждение , которое по закону двойного отрицания равносильно утверждению A.
    В интуиционистской логике закон исключённого третьего не действует, поэтому такие доказательства в ней не принимаются.
    Доказательство иррациональности числа.
    Допустим противное: рационален, то есть представляется в виде несократимой дроби , где m и n — целые числа. Возведём предполагаемое равенство в квадрат:
    Отсюда следует, что m2 чётно, значит, чётно и m; следовательно, m2 делится на 4, а значит, n2 и n тоже чётны. Полученное утверждение противоречит несократимости дроби. Значит, исходное предположение было неверным, и  — иррациональное число.
    Метод раскраски.
    Суть данного метода состоит в следующем. Раскрасив некоторые ключевые элементы, которые фигурируют в задаче в несколько цветов, исследовать, что будет происходить, если выполнять условия задачи. Цвет позволяет значительно упростить понимание процесса, фигурируемого в условии, и зачастую приводит к решению. Этот метод позволяет эффективно решать ряд задач, в частности, игровые и шахматные задачи.
    Пример:
    Дан квадрат клетчатой бумаги размером 8 x 8, из которого вырезаны две крайние диагональные клетки (верхняя-правая и нижняя-левая). Можно ли полученную фигуру покрыть прямоугольниками размером 1 x 2?
    Решение: Раскрасим наш обрезанный квадрат с помощью двух цветов в шахматную расцветку. Заметим, что отрезанные диагональные клетки будут одного цвета. Отметим также, что в нашем раскрашенном квадрате любые соседние две клетки (имеющие общую сторону) будут разного цвета. Это значит, что любой прямоугольник размером 1 x 2, которым мы будем пытаться покрыть обрезанный квадрат будет покрывать клетки обоих цветов. И если мы сможем покрыть обрезанный квадрат прямоугольниками 1 x 2, то будет покрыто одинаковое количество клеток с разными цветами; то есть фигура должна содержать одинаковое количество клеток обоих цветов. Но так как мы отрезали диагональные клетки одного цвета, то их количество в обрезанном квадрате на две меньше. Это означает, что мы не сможем польностью покрыть указанный обрезанный квадрат прямоугольниками 1 x 2.
    Контрпример — пример, опровергающий верность некоторого утверждения.
    Построение контрпримера — обычный способ опровержения гипотез. Если имеется утверждение типа «Для любого X из множества M выполняется свойство A», то контрпримером для этого утверждения будет: «Существует объект X0 из множества M, для которого свойство A не выполняется».
    Условие
    В вершинах правильного девятиугольника расставляют числа 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, после чего на каждой диагонали пишут произведение чисел, стоящих на её концах. Можно ли так расставить числа в вершинах, чтобы все числа на диагоналях были разные?
    Решение
    Составим таблицу умножения для чисел от 1 до 9.
    1 2 3 4 5 6 7 8 9 1   2 3 4 5 6 7 8 9 2     6 8 10 12 14 16 18 3       12 15 18 21 24 27 4         20 24 28 32 36 5           30 35 40 45 6             42 48 54 7               56 63 8                 72 9                   Произведение для каждых двух сомножителей мы записали в таблицу только один раз. То есть, если, например, в клетку 4?7 мы поставили число 28, то клетку 7?4 оставили пустой. Мы также не заполнили клетки 1?1, 2?2, 3?3 и т.  д. , потому что такие произведения нам встретиться не могут (в условии каждое число дано только один раз).
    Мы видим, что некоторые значения произведений встречаются по два раза (они выделены жирным шрифтом), а остальные – по одному разу.
    Например,
    1?6 = 2?3 = 6.
    Чтобы число 6 не оказалось написанным на двух диагоналях, нужно поставить рядом (на концах одной их сторон 9-угольника; сторона диагональю не считается) или числа 1 и 6, или числа 2 и 3 (разумеется, можно разместить и 1 и 6 рядом друг с другом, и 2 и 3 рядом друг с другом – тогда число 6 не будет написано вообще ни на одной диагонали). Аналогично следует поступить и с другими такими сомножителями.
    Составим полный список значений произведений, которые в таблице встречаются по два раза (и укажем, как именно эти значения получаются):
    Нам достаточно расставить числа так, чтобы из каждой строчки сомножители хотя бы одного произведения стояли рядом (то есть на стороне 9-угольника, а не на диагонали). Например, это можно сделать так (мы поставили рядом сомножители первого произведения в каждой строчке):
    -3-8-1-6-2-9-4-5-7-
    Да, можно.
    Реку?рсия — метод определения класса объектов или методов предварительным заданием одного или нескольких (обычно простых) его базовых случаев или методов, а затем заданием на их основе правила построения определяемого класса или метода, ссылающегося прямо или косвенно на эти базовые случаи.
    Другими словами, рекурсия — способ общего определения множества объектов или функций через себя, с использованием ранее заданных частных определений. Рекурсия используется, когда можно выделить самоподобие задачи.
    Задача «Ханойские башни». Её содержательная постановка такова:
    В одном из буддийских монастырей монахи уже тысячу лет занимаются перекладыванием колец. Они располагают тремя пирамидами, на которых надеты кольца разных размеров. В начальном состоянии 64 кольца были надеты на первую пирамиду и упорядочены по размеру. Монахи должны переложить все кольца с первой пирамиды на вторую, выполняя единственное условие — кольцо нельзя положить на кольцо меньшего размера. При перекладывании можно использовать все три пирамиды. Монахи перекладывают одно кольцо за одну секунду. Как только они закончат свою работу, наступит конец света.
    Рекурсивный вариант решения задачи можно описать так:
    Алгоритм по передвижению башни, алгоритм передвинет нужное количество дисков из пирамиды «источник» на пирамиду «задание» используя «запасную» пирамиду. Если число дисков равно одному, тогда:
    • Передвиньте диск из источника в задание
    В противном случае:
    • Рекурсивно передвиньте все диски кроме одного из источника в запас, используя задание как запас
    • Передвиньте оставшийся диск из источника в задание
    • Передвиньте все диски из запаса в задание используя источник как запас
    Правило «крайнего»
    Если Вы хотите научиться решать задачи, Вам надо попытаться овладеть более или менее общими подходами, приемами и методами математических рассуждений. Рассмотрим один общий подход, который мы будем называть правилом «крайнего».
    Правило «крайнего» может быть кратко выражено словами: «Рассмотрите крайнее!». Это правило есть попросту рекомендация рассмотреть объект, обладающий какими либо «крайними» или как говорят в математике, экстремальными свойствами. Если в задаче речь идет о множестве точек на прямой, то, по правилу «крайнего», необходимо рассмотреть самую крайнюю точку множества (самую левую или самую правую). Если в задаче фигурирует некоторый набор чисел, то правило «крайнего» рекомендует рассмотреть наибольшее или наименьшее из этих чисел. Рассмотрим применение этого подхода на некоторых примерах.
    Задача 1. На полях бесконечной шахматной доски записаны натуральные числа так, что каждое число равно среднему арифметическому четырех соседних чисел – верхнего, нижнего, правого и левого. Докажите, что все эти числа равны между собой.
    Решение. Решим эту задачу, используя правило «крайнего» в форме «рассмотрите наименьшее!».
    1) Среди натуральных чисел записанных на доске обязательно существует наименьшее. Действительно, пусть К – одно из данных чисел. Если среди чисел записанных на доске есть единица, то она и является таким наименьшим числом. Если единицы на доске нет, посмотрим, нет ли там двойки. Если есть, то она и является наименьшим числом, если же нет, то поищем на доске тройку и т. д. Не более чем за К шагов мы отыщем таким образом наименьшее число.
    2) Обозначим наименьшее из чисел, записанных на доске, буквой m. Рассмотрим поле Р , на котором записано это число. Обозначим числа записанные на соседних полях, буквами а, b, с, d. По условию. Отсюда.
    3) В силу выбора числа m имеем:. Если бы хотя бы одно из этих неравенств было строгим, то имели бы :. Значит , т. е. соседние числа раны m. Отсюда следует, что на горизонтали, содержащей поле Р, записаны одни только числа m, а так как любая вертикаль пересекает эту горизонталь, то она содержит число m и, значит, все числа на ней равны m. Откуда имеем, что все числа равны m.
    Метод итераций
    Это способ численного решения математических задач. Его суть – нахождение алгоритма поиска по известному приближению (приближенному значению) искомой величины следующего, более точного приближения. Применяется в случае, когда последовательность приближений по указанному алгоритму сходится.
    Данный метод называют также методом последовательных приближений, методом повторных подстановок, методом простых итераций и т. п.
    Подсчет 2 способами
    Условие
    В классе каждый мальчик дружит ровно с двумя девочками, а каждая девочка — ровно с тремя мальчиками. Еще известно, что в классе 31 пионер и 19 парт. Сколько человек в этом классе?
    Показать решение
    Решение
    Обозначим количество мальчиков в классе через M, а девочек — через D. Из условий следует, что 31 ? D + M ? 38 и 3D = 2M. Последнее равенство показывает, что количество девочек четно, а количество мальчиков делится на 3. Более того, , откуда D + M = 5n. Существует единственное целое число, заключенное между 31 и 38, делящееся на 5. Поэтому можно утверждать, что в классе 35 учеников — 14 девочек и 21 мальчик.
    Инвариа?нт в математике — это свойство некоторого класса (множества) математических объектов оставаться неизменными при преобразованиях определённого типа.
    Задача: Ребёнок овладел всего лишь двумя звуками: “У” и “А”, причем два слова в лексиконе этого ребёнка означают одно и то же, если одно получается из другого при помощи следующих преобразований: исключения идущих подряд звуков “УА” или “ААУУ” и добавления в любое место сочетания “АУУА”. Докажите, что слова “ААУАААУУА” и “ААУУААА” означают одно и то же.
    Решение: Нетрудно проверить, что второе слово получается из первого в результате последовательного применения трёх преобразований, указанных выше (назовём их смыслосохраняющими преобразованиями) — надо только найти эту цепочку смыслосохраняющих преобразований. Однако, на вопрос, означают ли слова “АУУ” и “УАА” одно и то же, ответить гораздо сложнее. Перебор последовательностей смыслосохраняющих преобразований не позволит получить второе слово из первого, так как данные слова имеют разный смысл. Для доказательства этого нужен принципиально другой подход, именуемый поиском инварианта.
    Примеры задач
    Задача 1:
    В мешке лежат шарики двух разных цветов: черного и белого. Какое наименьшее число шариков нужно вынуть из мешка вслепую так, чтобы среди них заведомо оказались два шарика одного цвета?
    Решение:
    Обозначим первое из этих чисел через a. Получим
    Задача 2:
    В лесу растет миллион елок. Известно, что на каждой из них не более 600000 иголок. Докажите, что в лесу найдутся две елки с одинаковым числом иголок.
    Решение:
    Перед нами миллион «кроликов»-елок и, увы, всего лишь 600001 клетка с номерами от 0 до 600000. Каждый «кролик»-елка сажается нами в клетку с номером, равным количеству иголок на этой елке. Так как «кроликов» гораздо больше, чем клеток, то в какой-то клетке сидит по крайней мере два «кролика» – если бы в каждой сидело не более одного, то всего «кроликов»-елок было бы не более 600001 штук. Но ведь, если два «кролика»-елки сидят в одной клетке, то количество иголок у них одинаково.
    Задача 3:
    Дано 12 целых чисел. Докажите, что из них можно выбрать два, разность которых делится на 11.
    Решение:
    Остатки по модулю 11 – «клетки», числа – «кролики».
    Задача 4:
    В городе Ленинграде живет более 5 миллионов человек. Докажите, что у каких-то двух из них одинаковое число волос на голове, если известно, что у любого человека на голове менее миллиона волос.
    Решение:
    Постройте миллион клеток с номерами от 0 до 999999 и рассадите там людей, поместив каждого ленинградца в клетку, номер которой равен количеству волос на его голове.
    Задача 5:
    В магазин привезли 25 ящиков с тремя разными сортами яблок (в каждом ящике яблоки только одного сорта). Докажите, что среди них есть по крайней мере 9 ящиков с яблоками одного и того же сорта.
    Решение:
    25 ящиков-«кроликов» рассадим по 3 клеткам-сортам. Так как 25 = 3 • 8 + 1, то применим «обобщенный принцип Дирихле» для N = 3, k = 8 и получим, что в какой-то клетке-сорте не менее 9 ящиков.
    Задача 6:
    В стране Курляндии m футбольных команд (по 11 футболистов в каждой). Все футболисты собрались в аэропорту для поездки в другую страну на ответственный матч. Самолет сделал 10 рейсов, перевозя каждый раз по m пассажиров. Еще один футболист прилетел к месту предстоящего матча на вертолете. Докажите, что хотя бы одна команда была целиком доставлена в другую страну.
    Решение:
    Так как перевезено всего 10m + 1 футболистов, то, рассадив их по клеткам-командам, получаем, что в какой-то клетке сидит 11 футболистов.
    Задача 7:
    Дано 8 различных натуральных чисел, не больших 15. Докажите, что среди их положительных попарных разностей есть три одинаковых.
    Решение:
    Различных разностей может быть 14 – от 1 до 14 – это те 14 клеток, в которые мы будем сажать кроликов. Кто же будет нашими кроликами? Ими, конечно, должны быть разности между парами данных нам натуральных чисел. Однако имеется 28 пар и их можно рассадить по 14 клеткам так, что в каждой клетке будет сидеть ровно два «кролика» (и значит, в каждой меньше трех). Здесь надо использовать дополнительное соображение: в клетке с номером 14 может сидеть не более одного кролика, ведь число 14 можно записать как разность двух натуральных чисел, не превосходящих 15, лишь одним способом: 14 = 15 – 1. Значит, в оставшихся 13 клетках сидят не менее 27 кроликов, и применение обобщенного принципа Дирихле дает нам желаемый результат.
    Задача 8:
    Докажите, что в любой компании из 5 человек есть двое, имеющие одинаковое число знакомых в этой компании.
    Решение:
    Вариантов числа знакомых всего 5: от 0 до 4. Осталось заметить, что если у кого-то 4 знакомых, то ни у кого не может быть 0 знакомых.

  7. Oghmamath Ответить

    Методикой работ с каждыми новыми видами составных задач, согласно данным подходам, ведется также соответственно с 3-мя ступенями. Такими, как подготовительные, ознакомительные и закрепление. Процессами решения каждых составных задач осуществляются поэтапно:
    1. Ознакомление с содержанием задачи.
    2. Поиск решения задачи.
    3. Составление плана решения.
    4. Запись решения и ответа.
    5. Проверка решения задачи.
    К примеру, для начала задачу читает учитель или кто-то из учеников (первое прочтение). После чего, ученикам предлагается прочесть задачу про себя, поскольку не каждый может сосредоточиться на ее содержании, когда кто-то из учеников или учитель читает вслух (второе прочтение).
    -Кто сможет повторить задачу? (Дети воспроизводят текст по памяти – третье прочтение).
    -Выделите условие и вопрос задачи (четвертое прочтение). Фактически опять воспроизводится текст.
    -Что нам известно? (пятое прочтение, школьники воспроизводят условие).
    -Что неизвестно? (Воспроизводится вопрос.)
    Следовательно, действия учеников сводятся к тому, что они воспроизводят текст пять раз: сперва прочтение вслух, далее про себя, затем по частям (условие и вопрос), после выделяют известное и неизвестное.
    Результатом такой работы, должно быть осознание текста, т.е. представление той ситуации, которая нашла в нем отражение. Но, как показывает практика, не всегда многократное воспроизведение текста задачи эффективно для его осознания. Ученики прочитывают текст задачи, воспроизводят ее, выделяют условие и вопрос, но приступить к ее решению самостоятельно они не могут.
    При использовании такой записи, организуется целенаправленный поиск решения, который применяется одним из способа разбора задачи: синтетическим или аналитическим.
    Используя при решении любой задачи аналитический или же синтетический способ разбора, учитель в конечном итоге добивается, что дети сами задают себе эти вопросы в определенной последовательности и выполняют рассуждения, связанные с решением задачи.
    При таком подходе основным методом обучения решению составных задач является показ способов решения определенных видов задач и значительная, порой изнурительная практика по овладению ими, т.е. используется объяснительно-иллюстративный и репродуктивный методы обучения (классификация И.Я. Лернера – М.Н.Cкаткина). Поэтому многие учащиеся решают задачи лишь по образцу.
    Целью другого подхода является обучение умению детей выполнять семантический, логический и математический анализ текстовых задач, выявлять взаимосвязи между условием и вопросом, данными и искомыми и представлять эти связи в виде схематических и символических моделей.
    Процесс решения задач (простых и составных) рассматривается как переход от словесной модели к модели математической или схематической. В основе осуществления этого перехода лежит семантический анализ текста (установление особенности словесной формулировки этих задач, выявление, какими языковыми средствами выражаются в них отдельные элементы, как можно на основе анализа словесной формулировки задачи распознать отдельные значения величин и их виды, а так же соотношения, связывающие значения величин и т.д.) [4, 89] и выделение в нем математических понятий и отношений (математический анализ текста). Естественно, учащиеся должны быть подготовлены к этой деятельности. Отсюда следует, что знакомству младших школьников с текстовой задачей должна предшествовать специальная работа по формированию математических понятий и отношений, которые они будут использовать при решении текстовых задач. Так как процесс решения задач связан с выделением посылок и построением умозаключений, необходимо также сформировать у младших школьников (до знакомства с задачей) те логические приемы мышления (анализ и синтез, сравнение, обобщение), которые обеспечивали бы их мыслительную деятельность в процессе решения задач.
    Таким образом, готовность школьников к знакомству с текстовой задачей предполагает сформированность:
    1) умения описывать предметные ситуации и переводить их на язык схем и математических символов;
    2) представлений о смысле действий сложения и вычитания, и взаимосвязи;
    3) понятий «увеличить (уменьшить) на»;
    4) навыков чтения;
    5) умения переводить текстовые ситуации в предметные и схематические модели и обратно и др.
    Именно второй подход позволяет в большей степени формировать общее умение решать текстовые задачи.
    Чтобы научить ребёнка решать текстовые задачи, учитель должен в разумном сочетании использовать оба подхода. А всё многообразие методических рекомендаций, связанных с обучением младших школьников решению задач, целесообразно рассматривать преимущественно с точки зрения второго подхода.
    Все арифметические задачи по числу действий, выполняемых для их решения, делятся на простые и составные. Задача, в которой решение выполняется с помощью одного арифметического действия, называется простой. Задача, в которой решение выполняется с помощью нескольких действий, которые связанны между собой (независимо от того, будут ли это разные или одинаковые действия), называется составной.
    Простые задачи играют важную роль в системе обучения математике. Благодаря решению простых задач у школьников формируется одно из центральных понятий в начальном курсе математики – это понятие об арифметических действиях и ряд других понятий. Умение решать простые задачи является важной ступенью в решении составных задач, поскольку, для решения составной задачи требуется решение ряда простых задач. Знакомство с задачей и ее составными частями происходит при решении простых задач.
    При знакомстве учеников с простой задачей перед преподавателем возникает одновременно несколько довольно сложных проблем:
    – требуется, чтобы в сознании детей укреплялись вторичные сигналы к определенным понятием, которые связанны с задачей;
    – нужно выработать у школьников умение видеть в задаче данные числа и искомое число;
    – необходимо научить сознательно выбирать действия и определять компоненты этих действий.
    Для детей младшего школьного возраста в курсе математике рассматриваются преимущественно простые задачи, состоящие из 2-4 действий.
    Общепризнанно, что для выработки у учащихся умения решать задачи, важна всесторонняя работа над одной задачей, в частности, и решение её различными способами.
    Возможное решение некоторых задач различными способами основано на различных свойствах действий или правил, которые вытекают из них.
    Когда ученик решает задачу различными способами, он привлекает дополнительную информации, потому что он непроизвольно выполняет в большем числе выборы суждений, хода мысли из нескольких возможных; рассматривает один и тот же вопрос, но с разных точек зрения. Плюс, активность учащихся используется полнее, так же лучше и сознательнее запоминается материал. Как правило, различными способами решаются те из задач, где этого требует вопрос, поэтому такая работа носит эпизодический характер.
    Арифметический и алгебраический способы решения задач является основными в математике. При арифметическом способе ответ на вопрос задачи находится в результате выполнения арифметических действий над числами. Арифметические способы решения задач отличаются друг от друга одним или несколькими действиями или количеством действий, также отношениями между данными, данными и искомым, данными и неизвестным, положенными в основу выбора арифметических действий, или последовательностью использования этих отношений при выборе действий [5,92].
    При алгебраическом способе ответ на вопрос задачи находится в результате составления и решения уравнения.
    В зависимости от выбора неизвестного для обозначения буквой, от хода рассуждений можно составить различные уравнения по одной и той же задаче. В этом случае можно говорить о различных алгебраических решениях этой задачи.
    Следует отметить, что в начальных классах алгебраический способ не применяется.
    Графический способ помогает более тесно установить связь между арифметическим и геометрическим материалами. Так же он развивает функциональное мышление детей.
    Сократить время, в течение которого школьник может научиться решать различные задачи, возможно именно благодаря применению графического способа. Порой, именно графический способ дает детям возможность отвечать на такой вопрос задачи, которую они не могу решить с помощью арифметического способа, и которую можно предлагать во внеклассной работе.
    При решении задач повышенной трудности у детей вырабатывается привычка вдумчиво относиться к содержанию задачи и разносторонне осмысливать связи между данными и искомым. Задачи повышенной трудности имеют место быть в любом классе, учитывая одно условие: школьники должны знать, как решаются обычные задачи, к которым сводится решение предлагаемой задачи повышенной трудности.
    Многие задачи можно решить различными способами. Поиск таких различных способов решения “открывает” новые связи между данными и искомыми.
    Работа над задачами с недостающими и лишними данными воспитывает у детей привычку лучше отыскивать связи между данными и искомым.
    Так же, полезным будет включение задач, которые имеют несколько решений. При решении таких задач у детей будет формироваться понятие переменной.
    Упражнения по составлению и преобразованию задач являются чрезвычайно эффективными для обобщения способа их решения.
    При решении олимпиадных задач применяются те же способы решения, что и для стандартных: алгебраический, арифметический и графический.
    Как известно, на выполнение олимпиадного задания отводится строго определенное время, в качестве задач предлагаются не задачи базового или повышенного уровня (по школьным меркам), а задания нестандартные. Эти задания могут быть простыми по формулировке, но выходящими за рамки школьной программы.
    При непосредственной подготовке учащихся к математическим конкурсам и олимпиадам необходимо акцентировать внимание учащихся на следующих моментах:
    – в качестве одной из задач конкурса любого уровня может быть задача, в условии которой фигурирует год проведения олимпиады,
    – в конкурсных задачах отсутствуют задачи с длительными выкладками,
    – в задачах на доказательство требуется полное обоснование,
    – если в условии требуется указать все возможные способы решения, то от полноты количества указанных способов зависит и количество полученных баллов,
    – если в условии требуется ответить на вопрос «Можно ли…?», то для ответа достаточно привести один положительный пример, а для того, чтобы дать ответ «нельзя». Необходимо рассмотреть все возможные случаи, обобщая их в доказательство.
    олимпиадный математика младший школьный

  10. VideoAnswer Ответить

Добавить ответ

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *