Как определить угол наклона плоскости к плоскости проекции?

19 ответов на вопрос “Как определить угол наклона плоскости к плоскости проекции?”

  1. Назар Ответить

    Постановка задачи. Дана плоскость общего положения Г. Требуется определить углы наклона плоскости Г к плоскостям проекций (отдельно к плоскости П1, к плоскости П2, к плоскости П3).
    Пусть плоскость задана треугольником Г (АВС):

    Для изучения алгоритма рассмотрим известный геометрический объект – плоскость крыши дома. В этой плоскости построим горизонталь (кромка крыши). Построим еще одну прямую – линию ската, по которой скатывается материальная точка. Линия ската – прямая, принадлежащая исследуемой плоскости общего положения и принадлежащая данной плоскости. Из школьной программы: углом между двумя плоскостями является угол между прямыми в данных плоскостях, перпендикулярными к линии пересечения. В рассматриваемом случае проведем через горизонталь плоскость уровня, параллельную П1. Тогда углом между плоскостью крыши и горизонтальной плоскостью будет угол между линией ската и ее горизонтальной проекцией.

    Возвращаемся к комплексному чертежу. По этому алгоритму через любую точку плоскости Г построим горизонталь в плоскости Г. Например, через точку А. Построение начинаем с фронтальной проекции (горизонталь параллельна П1)

    «Привязываем» ее к плоскости Г с помощью точки на ВС.

    Строим проекции линии ската. Таких линий – бесчисленное множество. Построим, например, через точку В. Используем проекционные свойства прямого угла. Так как линия ската перпендикулярна горизонтали, то на П1 линия ската m1 должна быть перпендикулярна h1.

    Линия ската принадлежит плоскости Г. Поэтому ее «привязываем» к плоскости Г с помощью точек этой плоскости. Здесь применили точки В и К. Таким образом, построили две проекции линии ската m.

    Далее, надо определить угол наклона линии ската m к плоскости проекций П1. Возьмем любой отрезок на линии ската и с помощью способа прямоугольного треугольника определим этот угол. Для удобства построения используем отрезок ВК, так как в точке К уже построен прямой угол. Искомый угол – угол a.

    Для построения угла наклона плоскости Г к плоскости проекций П2 используем фронталь.

  2. -_ЛюБлЮ_-_ Ответить

    Углы наклона прямой общего положения по двум ее проекциям находятся попутно при определении действительной величины отрезка способом прямоугольного треугольника.
    В отличие от отрезков прямых частного положения, проецирующихся хотя бы на одну из плоскостей проекций в натуральную величину, отрезок прямой общего положения на плоскости проекций проецируется с искажением. Для того чтобы найти его натуральную величину, необходимо провести ряд преобразований.

    Углы наклона прямой
    \[
    tg ? = BB_1/AB_1 = (BB` – B`B_1)/AB_1 = (z_B – z_A)/A`B`
    \]
    Возьмем прямую общего положения АВ и спроецируем ее на горизонтальную плоскость проекций . Через точку А проведем линию, параллельную плоскости . Таким образом в пространстве получим прямоугольный треугольник , один из катетов которого (AB1) равен длине проекции отрезка, а угол между отрезком и этим катетом является углом наклона заданного отрезка к плоскости проекций (рис.).
    Для определения натуральной величины отрезка прямой общего положения и угла наклона ее к плоскости проекций на эпюре (КЧ) необходимо построить прямоугольный треугольник:
    – первый катет этого треугольника равен проекции отрезка на плоскости проекций (обычно прямоугольный треугольник пристраивают к проекции отрезка, однако в некоторых задачах целесообразно прямоугольный треугольник строить в стороне от проекций геометрических объектов);
    – из проекции любого конца отрезка под прямым углом к проекции отрезка проводится луч, на котором откладывается длина второго катета, равная разности расстояний от концов отрезка до данной плоскости проекций;
    – гипотенуза полученного таким образом прямоугольного треугольника равна действительной величине заданного отрезка;
    – угол наклона отрезка к той или иной плоскости проекций равен углу между гипотенузой – натуральной величиной и катетом – проекцией на эту плоскость проекций.
    Углы наклона прямой, отрезка общего положения всегда будут меньше их ортогональных проекций.

    Углы наклона прямой
    Для графического определения на эпюре Монжа действительной величины отрезка достаточно
    построить прямоугольный треугольник, взяв за один его катет горизонтальную (фронтальную, профильную)
    проекцию отрезка, а за другой катет – разность удаления концов отрезка от горизонтальной (или
    соответственно фронтальной, профильной) плоскости проекции.
    \[
    tg ? = BB_1/AB_1 = (BB` – B`B_1)/AB_1 = (z_B – z_A)/A`B`
    \]
    \[
    tg ? = AA_1/BA_1 = (AA” – A”A_1)/BA_1 = (y_A – y_B)/A”B”
    \]
    Графическое определение действительной величины отрезка [AB] путем построения прямоугольных треугольников
    ?A`B`B0 или ?A”B”A0 и попутно углов его наклона:
    – ? к горизонтальной плоскости проекции;
    – ? к фронтальной плоскости проекции.

    Углы наклона прямой
    Углы наклона прямой к плоскости проекций проецируется на эпюре без искажений, когда она занимает положение прямой уровня, это может быть:
    – Горизонтальная прямая;
    – Фронтальная прямая;
    – Профильная прямая
    Углы наклона прямой применяются в статье графическая работа 1: Графическая работа 1
    Определение углов наклона плоскости смотри также: Линия наибольшего наклона
    +

  3. Tojagar Ответить

    ВУЗ
    Для всех ВУЗов
    Семестр
    Задачи
    Предмет
    Черчение
    Категория
    Задачи из рабочей тетради (Начертательная геометрия)
    Дата
    12.08.2014 12:38:09
    Размер
    364,79 Kb
    Просмотров
    2432
    Скачиваний
    782
    Рейтинг
    Автор
    zzyxel
    Файл проверен администрацией в том числе на вирусы с помощью EsetNod32.

    Описание файла:
    30. Определить углы наклона плоскости ΔАВС к горизонтальной и фронтальной плоскостям проекций.
    На странице несколько задач, эту ищите под номером 30

    Теперь любой автор может добавить подпись ко всем своим файлам в настройках (картинку и/или текст)!
    Данный файл также доступен в разделе “курсовые/домашние работы”, в предмете “черчение” в общих файлах.

    Список файлов в архиве
    2-2809-1407832689-27-30.jpg 382,6 Kb

  4. Zulkigor Ответить

    Проекции плоскостей
    Лекция №3 (3-я неделя)
    Конспект лекций
    Лектор потока: Зелёв Александр Павлович (доцент кафедры начертательной геометрии и черчения).
    Постановка задачи. Дана плоскость общего положения Г. Требуется определить углы наклона плоскости Г к плоскостям проекций (отдельно к плоскости П1, к плоскости П2, к плоскости П3).
    Пусть плоскость задана треугольником Г(АВС):

    Для изучения алгоритма рассмотрим известный геометрический объект – плоскость крыши дома.
    В этой плоскости построим горизонталь (кромка крыши). Построим еще одну прямую – линию ската, по которой скатывается материальная точка. Линия ската – прямая, принадлежащая исследуемой плоскости общего положения и принадлежащая данной плоскости.
    Из школьной программы: углом между двумя плоскостями является угол между прямыми в данных плоскостях, перпендикулярными к линии пересечения.
    В рассматриваемом случае проведем через горизонталь плоскость уровня, параллельную П1. Тогда углом между плоскостью крыши и горизонтальной плоскостью будет угол между линией ската и ее горизонтальной проекцией.

    Возвращаемся к комплексному чертежу. По этому алгоритму через любую точку плоскости Г построим горизонталь в плоскости Г. Например, через точку А.
    Построение начинаем с фронтальной проекции (горизонталь параллельна П1)

    «Привязываем» ее к плоскости Г с помощью точки на ВС.

    Строим проекции линии ската. Таких линий – бесчисленное множество. Построим, например, через точку В. Используем проекционные свойства прямого угла.
    Так как линия ската перпендикулярна горизонтали, то на П1 линия ската m1 должна быть перпендикулярна h1.

    Линия ската принадлежит плоскости Г. Поэтому ее «привязываем» к плоскости Г с помощью точек этой плоскости. Здесь применили точки В и К.
    Таким образом, построили две проекции линии ската m.

    Далее, надо определить угол наклона линии ската m к плоскости проекций П1.
    Возьмем любой отрезок на линии ската и с помощью способа прямоугольного треугольника определим этот угол.
    Для удобства построения используем отрезок ВК, так как в точке К уже построен прямой угол.
    Искомый угол – угол a.

    Для построения угла наклона плоскости Г к плоскости проекций П2 используем фронталь.

  5. Whitebrew Ответить

    3. Определить натуральную величину отрезка [АС] методом прямоугольного треугольника, одним катетом которого является его фронтальная проекция.
    4. Искомым углом ? является угол между гипотенузой аос? треугольника a?c?ao и фронтальной проекцией a?c?.

    Рис. 77. Определение ?? плоскости ?EAD по линии наибольшего наклона
    Задача 3. Построить равнобедренный треугольник с вершиной в точке С и основанием, равным высоте треугольника по величине, лежащим на прямой (AD). Определить углы наклона плоскости треугольника к плоскостям проекций V и Н. А(10; 10;15); С(30; 40; 30); D(60; 30;15); (рис. 78–80).
    Данная задача состоит из нескольких небольших задач
    Решение
    1. Построение проекций треугольника.
    2. Определение углов наклона плоскости треугольника к плоскостям проекций V и Н.
    Порядок выполнения графической части задачи:
    1. Построение проекций треугольника.
    1.1. По заданным координатам строим фронтальные и горизонтальные проекции точек А, С и D. Через точки А и D проводим проекции прямой AD соответственно плоскостей проекций. Согласно исходных данных (АD) является горизонтальной прямой уровня (рис. 78).
    1.2. Ввиду того, что (AD)|| Н, построение проекций высоты треугольника начинаем с горизонтальной проекции (на основании теоремы о прямом угле), проводим [с)?(а d). Луч [c) при пересечении с (аd) дает точку k. Фронтальная проекция высоты c?k? выстраивается по проекционной зависимости. Определяем длину |CK|.
    1.3. Методом прямоугольного треугольника, за один катет принимая горизонтальную проекцию (сk) определяем длину |CK|. Она равна гипотенузе kco,|CK| = |kco| = н.в.
    1.4. Строим горизонтальную проекцию основания треугольника op = |CK| на проекции отрезка AD, откладывая его без искажения и учитывая, что основание треугольника в точке К делится пополам. Получаем точки о и р. Фронтальная проекция основания треугольника выстраивается по проекционной зависимости.
    1.5. Строим проекции искомого треугольника cop и с?о?р?.
    2. Определение углов наклона плоскости треугольника к плоскостям проекций V и Н.
    2.1. Определяем угол наклона плоскости ?РОС к плоскости проекций Н.
    Анализируя данные (рис. 78), отмечаем, что высота ?РОС – отрезок СК – является линией ската плоскости треугольника к плоскости проекций Н, т. к. ck ? ad, а основание ОР || H, т. е. является горизонталью плоскости треугольника. Следовательно, угол между cok и [ck] является углом наклона ? данной плоскости к плоскости проекций Н.

    Рис. 78. Определение ?? плоскости ?ОРС по линии ската
    2.2. Определяем угол наклона плоскости ?РОС к плоскости проекций V по линии наибольшего наклона.
    Угол наклона плоскости ?РОС к плоскости проекций V определяется при помощи линии наибольшего наклона MN, перпендикулярной к фронтали треугольника, [MN] ? F.
    Ход решения (рис. 79):
    2.2.1.Через вершину треугольника Р проводим фронталь F.

    Рис. 79. Определение ?? плоскости ?ОРС по линии наибольшего наклона
    2.2.2. В плоскости ?РОС строим прямую MN – линию наибольшего наклона, где фронтальная проекция m?n? ? f?, а горизонтальная проекция mn строится по проекционной зависимости.
    2.2.3. Определяем длину отрезка [MN] методом прямоугольного треугольника, построенного на фронтальной проекции, m?n? – является его натуральной величиной.
    2.2.4. В прямоугольном треугольнике угол между m?n? и n?mo является углом наибольшего наклона ?РОС к плоскости проекций V, т. е. ??.
    Итак, возвращаемся к условию задачи и на основе вышерассмотренного материала решаем эту задачу на одном чертеже.
    Задача 4. Построить равнобедренный треугольник с вершиной в точке С и основанием, равным высоте треугольника и лежащим на прямой AD. Определить углы наклона плоскости треугольника к плоскостям проекций V и Н.
    Решение. Порядок выполнения графической части задачи:
    1. Строим проекции прямой AD, (AD) || V (рис. 80).
    2. Строим проекции высоты треугольника, начиная с фронтальной – c?k?? a?d?, горизонтальная проекция высоты выстраивается по проекционной принадлежности.
    3. Строим основание треугольника OP: o?p? = c?k?, достраиваем горизонтальную и фронтальную проекции искомого ?СОР.
    4. ?СОР ^ V = ??, СК – линия наибольшего наклона к плоскости V.
    5. ?СОР ^ Н = ??, PE – линия ската к плоскости Н.

    Рис. 80. Полное решение задачи
    Определение углов наклона плоскости общего положения
    к плоскостям проекций методом замены плоскостей проекций
    1. Определение угла наклона плоскости общего положения
    к горизонтальной плоскости проекций
    Задача. Дана плоскость угла ? заданной плоскости. Необходимопреобразовать комплексный чертеж так, чтобы плоскость ?ABC стал фронтально проецирующей плоскостью в новой системе плоскостей.
    Порядок выполнения графической части задачи:
    1. Вводим новую плоскость проекции V1: V1 ? H1, V1 ? ?ABC.
    2. Проводим в плоскости ?ABC горизонталь DC.
    3. Ось проекции X1 – горизонтальный след плоскости V1 – проводим перпендикулярно прямой cd на любом расстоянии от точки d.
    4. Проводим из точек a, b и d линии связи к новой оси X1.
    5. Откладываем от оси X1 по линиям связи ZС, ZА, ZВ. Поскольку a’ принадлежит оси X, следовательно, a’1 принадлежит OX1.
    На новую плоскость проекций V1 плоскость ?ABC отобразилась в впрямую линию, т. е.стала фронтально проецирующей плоскостью. На новой плоскости проекций V1 угол наклона плоскости ?ABC к горизонтальной плоскости проекций ?отображен без искажения (рис. 81).

    Рис. 81. Определение угла ?? плоскости ?АВС
    2. Определение угла наклона плоскости общего положения к фронтальной плоскости проекций методом замены плоскостей проекций
    Задача. Дано: плоскость ?ABC – плоскость общего положения.
    Решение
    Для определения угла ? заданной плоскости необходимо преобразовать комплексный чертеж так, чтобы плоскость ?ABC стал горизонтально проецирующей плоскостью в новой системе плоскостей.
    Порядок выполнения графической части задачи:
    1. Вводим новую плоскость проекции Н1: H1? V, Н1 ? ?ABC.
    2. Проводим в плоскости ?ABC фронталь DC.
    3. Ось проекции X1 – фронтальный след плоскости Н1,проводим перпендикулярно прямой c?d? на любом расстоянии от точки с?.
    4. Проводим из точек а?, b?, и d? линии связи к новой оси X1.
    5. Откладываем от оси X1 по линиям связи УС, УА, УВ. Поскольку a? принадлежит оси X, a1 принадлежит OX1.
    На новую плоскость проекций Н1 плоскость ?ABC отобразилась в прямую линию, т. е. стала горизонтально проецирующей плоскостью. На новой плоскости проекций Н1 угол наклона плоскости треугольника АВС к фронтальной плоскости проекций ?отображен без искажения (рис. 82).

    Рис. 82. Определение ?? плоскости ?АВС

  6. Thordithris Ответить

    Задача. Дано: плоскость AВС и прямая а.
    Требуется найти точку пересечения прямой с плоскостью и определить видимость прямой по отношению к плоскости.
    Для решения задачи:
    Через горизонтальную проекцию прямой а1 проведем вспомогательную горизонтально проецирующую плоскость  (таким образом а).
    Горизонтальный след плоскости 1 пересекает проекцию плоскости A1В1С1 в точках D1 и F1, которые определяют положение горизонтальной проекции п1- линии пересечения плоскостей  и AВС. Для нахождения фронтальной и профильной проекции пспроецируем точки D и F на фронтальную и профильную плоскости проекций.
    На фронтальной и профильной проекциях линия пересечения плоскостей п пересекает проекции а в точке К, которая и является проекцией точки пересечения прямой а с плоскостью AВС, по линии связи находим горизонтальную проекцию К1.
    Методом конкурирующих точек определяем видимость прямой а по отношению к плоскости AВС.



    а) модель

    б) эпюр
    Рисунок 5.21. Нахождение точки пересечения прямой и плоскости
    Таким образом алгоритм решения задачи состоит из следующей последовательности действий (рис.5.21):
    1. Построение вспомогательной секущей плоскости  ( горизонтально – проецирующая плоскость ), которую проводят через прямую аа;
    2. Построение линии пересечения вспомогательной плоскости  и заданной плоскости  п;
    3. Определение искомой точки К, как точки пересечения двух прямых, заданной – а и полученной в результате пересечения плоскостей – п Ка  п. В качестве вспомогательной плоскости  рекомендуется брать одну из проецирующих плоскостей.
    4. Определение видимости прямой а относительно плоскости 
    Прямая линия перпендикулярная плоскости.
    Докажем следующую теорему о перпендикуляре к плоскости: Если прямая перпендикулярна плоскости, то горизонтальная проекция этой прямой перпендикулярна горизонтальной проекции горизонтали плоскости, а фронтальная проекция – фронтальной проекции фронтали плоскости.
    Пусть прямая n, перпендикулярная плоскости, пересекает плоскость BCD в точке N, тогда по условию n перпендикулярна любой прямой плоскости. Проведем в плоскости BCD горизонталь h, а на основании теоремы о проецировании прямого угла можно утверждать, что на горизонтальную плоскость проекций они проецируются под прямым углом, т.е. n1 h1. Аналогично для фронтали – f  n  f2  n2.
    Справедлива и обратная теорема: Если проекции прямой перпендикулярны одноименным проекциям соответствующих главных линий плоскости (горизонтали и фронтали), то такая прямая перпендикулярна плоскости.
    Доказательство следует из теоремы о проецировании прямого угла.
    Исходя из рассмотренных теорем, можно решить задачу о построении перпендикуляра к плоскости из точки А (рис.5.22).
    Задача. Дано: плоскость ВСD и точка А.
    Требуется построить прямую линию n проходящую через точку А и перпендикулярную плоскости ВСD.
    В плоскости ВСD построим фронталь f и горизонталь h. В горизонтальной плоскости проекций проведем через точку А1 прямую n1перпендикулярно горизонтальной проекции горизонтали h1, а на фронтальной плоскости проекций через точку А2 прямую n2перпендикулярно фронтальной проекции фронтали f2, согласно выше сказанному полученная прямая n будет перпендикулярна плоскостиВСD.

    а) модель б) эпюр
    Рисунок 5.22. Построение прямой, перпендикулярной плоскости

  7. Peririel Ответить

    Прямая, принадлежащая плоскости и перпендикулярная к горизонтали (фронтали или профильной
    прямой) – второй вид главных линий плоскости, получила название линия наибольшего наклона плоскости
    к плоскости проекции H (V или W). Иногда линию наибольшего наклона к плоскости
    H называют линией наибольшего ската.
    Отличительным признаком для проекции линии наибольшего ската является перпендикулярность ее горизонтальной проекции, горизонтальной проекции горизонтали и горизонтальному следу плоскости ?H см. рисунок. Следует иметь ввиду, что линия наибольшего наклона будет использоваться в дальнейшем для определения угла наклона плоскости к плоскостям проекции.

    Линия наибольшего наклона
    Действительно, линия наибольшего наклона k и ее горизонтальная проекция k` образуют линейный угол NMN` (NM⊥?H и N`M⊥?H), который служит мерой двугранного угла, составленного плоскостями ? и H.
    Для линии наибольшего наклона плоскости к V характерно, что ее фронтальная проекция, перпендикулярна к фронтальной проекции фронтали (или ?V) и, наконец, профильная проекция линии наибольшего наклона плоскости к W займет положение, перпендикулярное к профильной проекции профильной прямой (или ?W).
    Линия наибольшего наклона k к плоскости H строится начиная с ее горизонтальной проекции k`.

    Линия наибольшего наклона
    На рисунке показана линия наибольшего наклона плоскости ?(a ¦ b) к плоскости H – прямая k.
    Прежде чем провести горизонтальную проекцию k`, определяем направление горизонтальной
    проекции горизонтали h`:
    – проводим произвольную фронтальную проекцию h”(h”¦x);
    – отмечаем точки A”=h”?a” и B”=h”?b”;
    – по A” и B” находим A` и B`, которые определяют положение h`.
    Далее:
    – через произвольную точку плоскости ? A1 проводим k` (k`⊥h`);
    – отмечаем M` = k`? h`;
    – по A`1 и M` находим A”1 и M”;
    – соединив эти две точки, определим положение фронтальной проекции прямой k” – линии наибольшего наклона плоскости ? к H.
    Линия наибольшего наклона должна быть построена дважды в задаче на определение углов наклона плоскости или грани a//b к горизонтальной и фронтальной плоскостям проекции

    Линия наибольшего наклона
    Построенные линия наибольшего наклона k и линия наибольшего наклона n представляют собой прямые общего положения, смотри:
    Прямая общего положения;
    Углы наклона прямой.
    Угол ? – это угол наклона прямой k к горизонтальной плоскости проекций H. Он соответствует углу наклона плоскости a//b к той же плоскости проекций H.
    Угол ? – это угол наклона прямой n к фронтальной плоскости проекций V. Он соответствует углу наклона плоскости a//b к той же плоскости проекций V.
    +

  8. VineLood Ответить

    Дано: Решение:

    Рис.4.6
    На прямой а зададимся произвольным отрезком АВ. С помощью прямоугольного треугольника А1В1В0 определим истинную величину отрезка АВ. Далее от точки А1 откладываем вдоль гипотенузы заданный отрезок 30 мм. Определяем искомую точку С(С1,С2), используя положение о пропорциональности деления отрезка, при этом С0С1||В0В1.
    Задача 5. (Задача на профильные прямые). Достроить прямую NM, параллельную прямой КL (рис.4.7).
    Замечание. Задачи на профильные прямые могут быть решены различными методами, в частности, с помощью построения третьей проекции этих прямых, либо с помощью методов косоугольного параллельного проецирования путем построения, так называемых, вспомогательных прямых. К этому типу задач следует отнести задача по определению взаимного положения профильных прямых, построения точки пересечения профильных прямых, а также ряд позиционных задач, связанных с построением точек пересечения профильной прямой и плоскости. Приведем решение задачи на профильные прямые методом построения вспомогательных прямых.

    Дано: Решение:
    Рис.4.7
    Для того, чтобы построить недостающую фронтальную проекцию N2 точки N, воспользуемся методом вспомогательных прямых. Суть его заключается в следующем. Для исходных профильных прямых методом косоугольного проектирования строятся вспомогательные прямые. По взаимному положению вспомогательных прямых судят о взаимном положении соответствующих им профильных прямых: если вспомогательные прямые параллельны, то параллельны соответствующие профильные прямые, если вспомогательные пересекаются, то исходные прямые или пересекаются или скрещиваются. Построим вспомогательную прямую для прямой KL. Для этого из точек K1 и K2 проведем лучи произвольного направления до пересечения в точке K0. Точка К0 – является вспомогательной для точки К. Аналогично строим точку L0 – вспомогательную для точки L. При этом [L1L0)|| [K1K0), [L2L0)|| [K2K0). Прямая К0L0 является вспомогательной для прямой KL. Так как точка M, принадлежащая второй профильной прямой определена однозначно (известны обе ее проекции), построим вспомогательную ей точку М0, при построении которой должна быть соблюдена параллельность проецирующих лучей на соответствующих проекциях: [М1М0)|| [K1K0)|| [L1L0) и [М2М0)|| [K2K0)|| [L2L0). Так как исходные прямые должны быть параллельны, поэтому через построенную точку М0 зададим направление вспомогательной прямой М0N0, параллельно прямой K0L0. Для нахождения точки L0 проведем проецирующий луч из точки L1, параллельно лучам на горизонтальной проекции до пересечения с прямой, проведенной из точки M0. Точка пересечения L0будет являться вспомогательной для точки L, с помощью которой отыскивается неизвестная фронтальная проекция L2 точки L.

  9. меня окружили ну им неуйти от нас Ответить

    Прямая общего положения на плоскости проекций отображается с искажением (рис.4.6). Для того чтобы найти её натуральную величину, необходимо воспользоваться правилом прямоугольного треугольника, согласно которому на комплексном чертеже натуральной величиной прямой является гипотенуза прямоугольного треугольника, построенного на двух катетах. Один из этих двух катетов – это проекция рассматриваемой прямой, а вторым катетом является разность координат начала и конца этой прямой или разность координат z точек А и В (Δz = zA – zB).
    Углы наклона прямой общего положения к плоскостям проекций по двум ее проекциям находят при определении действительной величины этой прямой способом прямоугольного треугольника. Если взять прямую общего положения АВ и спроецировать ее на горизонтальную плоскость проекций, а через точку А провести линию, параллельную плоскости, то в пространстве получится прямоугольный треугольник, один из катетов которого (AB’) равен длине проекции прямой АВ, а угол между прямой и этим катетом будет углом наклона заданной прямой к горизонтальной плоскости проекций (рис. 4.6), что можно подтвердить известным математическим соотношением:
    tg α = BB’ / AB’ = (BB1 – B’B1) / AB’ = (zB – zA) / A1 B1.
    Прямая А1В0 представляет натуральную величину прямой общего положения АВ.
    Для определения натуральной величины прямой общего положения АВ и угла наклона её к плоскости проекций на эпюре (комплексном чертеже) необходимо построить прямоугольный треугольник:
    – первый катет этого треугольника равен проекции прямой, на плоскости проекций;
    – для построения второго катета необходимо из проекции любого конца проекции прямой линии под прямым углом к проекции провести луч, на котором отложить длину второго катета, равную разности расстояний от концов прямой до данной плоскости проекций;
    – гипотенуза полученного прямоугольного треугольника будет равна действительной величине заданной прямой;
    – угол наклона прямой линии к той или иной плоскости проекций равен углу между гипотенузой – натуральной величиной и катетом – проекцией прямой на эту плоскость проекций.
    Углы наклона прямой линии общего положения к плоскости, всегда меньше их ортогональных проекций.

    Рис. 4.6. Определение угла наклона и натуральной величины отрезка
    Учитывая сказанное выше и рассмотрев рис. 4.7, можно утверждать, что длина отрезка АВ равна гипотенузе треугольника, катетами которого являются фронтальная проекция отрезка А2В2 и разность координат Y точек А и В (ΔY = YB – YA). Угол этого треугольника, лежащий против катета ΔY, равен углу наклона отрезка АВ к фронтальной плоскости проекций π2 (угол β°).
    По аналогии длина отрезка АВ может быть определена и как гипотенуза треугольника, катеты которого профильная проекция отрезка А3В3 и разность координат Х (Δ Х = ХА – ХВ) точек А и В. Угол γ° этого треугольника, лежащий против катета Δ Х, определяет угол наклона отрезка АВ к профильной плоскости проекций π3.
    На рис. 4.8 показан пример определения натуральной (действительной) длины прямой АВ и углов её наклона к плоскостям проекций.

    Рис. 4.7. Определение угла наклона и натуральной величины отрезка

    Рис. 4.8. Определение длины отрезка и углов наклона к плоскостям проекций на комплексном чертеже
    Угол αº, получен при построении прямоугольного треугольника на горизонтальной проекции прямой. Углы β и γ определены с использованием фронтальной и профильной проекций прямой соответственно. Натуральная величина, указанной прямой, обозначена гипотенузами прямоугольных треугольников, построенных на трёх плоскостях проекций.

  10. Tholen Ответить

    Линией наибольшего ската плоскости γ называется прямая g, принадлежащая этой плоскости и перпендикулярная ее линиям уровня: горизонтали h и фронтали f (рис.4.9).
    .
    Рис. 4.8. Определение длины отрезка и углов наклона к плоскостям проекций
    .
    Рис. 4.9. Пример построения линии наибольшего наклона
    На комплексном чертеже горизонтальная проекция линии наибольшего наклона перпендикулярна горизонтальной проекции горизонтали этой плоскости, а фронтальная − фронтальной проекции фронтали.
    Главным свойством этой линии наибольшего ската является то, что она образует с горизонтальной плоскостью проекций π1 угол α°, равный углу наклона плоскости γ к плоскости π1.
    Это свойство линии наибольшего наклона (ската) используется для определения углов наклона плоскостей к плоскостям проекций.
    Вопросы для самоконтроля
    1. Назовите условия перпендикулярности прямых линий на комплексном чертеже.
    2. Назовите условия перпендикулярности прямой к плоскости на комплексном чертеже.
    3. Какова сущность способа прямоугольного треугольника?
    4. Какое свойство линии наибольшего наклона является основным?
    5. Как можно определить действительную величину отрезка, находящегося в общем положении по отношению к плоскостям проекций?
    6. Как определяется угол наклона плоскости к плоскостям проекций?

  11. Nightbringer Ответить


    Для изучения алгоритма рассмотрим известный геометрический объект – плоскость крыши дома.
    В этой плоскости построим горизонталь (кромка крыши). Построим еще одну прямую – линию ската, по которой скатывается материальная точка. Линия ската – прямая, принадлежащая исследуемой плоскости общего положения и принадлежащая данной плоскости.
    Из школьной программы: углом между двумя плоскостями является угол между прямыми в данных плоскостях, перпендикулярными к линии пересечения.
    В рассматриваемом случае проведем через горизонталь плоскость уровня, параллельную П1. Тогда углом между плоскостью крыши и горизонтальной плоскостью будет угол между линией ската и ее горизонтальной проекцией.

    Возвращаемся к комплексному чертежу. По этому алгоритму через любую точку плоскости Г построим горизонталь в плоскости Г. Например, через точку А.
    Построение начинаем с фронтальной проекции (горизонталь параллельна П1)

    «Привязываем» ее к плоскости Г с помощью точки на ВС.

    Строим проекции линии ската. Таких линий – бесчисленное множество. Построим, например, через точку В. Используем проекционные свойства прямого угла.
    Так как линия ската перпендикулярна горизонтали, то на П1 линия ската m1 должна быть перпендикулярна h1.

    Линия ската принадлежит плоскости Г. Поэтому ее «привязываем» к плоскости Г с помощью точек этой плоскости. Здесь применили точки В и К.
    Таким образом, построили две проекции линии ската m.

    Далее, надо определить угол наклона линии ската m к плоскости проекций П1.
    Возьмем любой отрезок на линии ската и с помощью способа прямоугольного треугольника определим этот угол.
    Для удобства построения используем отрезок ВК, так как в точке К уже построен прямой угол.
    Искомый угол – угол a.

    Для построения угла наклона плоскости Г к плоскости проекций П2 используем фронталь.

  12. alximik Ответить

    Построение следов плоскости

    Для построения следов плоскости достаточно определить следы двух прямых линий (отрезков), принадлежащих этой плоскости. Рассмотрим построение следов прямой g на эпюре Монжа (смотри рисунок 2.1). Для решения этой задачи пользуемся следующим алгоритмом: чтобы найти горизонтальный след М прямой g сначала необходимо найти его фронтальную проекцию М2 как точку пересечения фронтальной проекции g2 прямой g с осью; недостающая горизонтальная проекция М1 совпадает с горизонтальным следом прямой g, то есть М?М1; для нахождения фронтального следа N прямой сначала находим его горизонтальную проекцию N1, как точку пересечения горизонтальной проекции прямой g с осью; недостающая фронтальная проекция N2 совпадает с фронтальным следом N, то есть N ? N2
    Рисунок 2.1

    Определение угла наклона плоскости к плоскостям П1 и П2

    Прямые линии наибольшего наклона плоскости к плоскостям проекций П1 и П2 перпендикулярны соответственно горизонталям или фронталям этой плоскости. Рассмотрим случай определения угла наклона плоскости У, заданной прямой а и точкой С к горизонтальной плоскости проекций. Прямой угол, составленный линией наибольшего ската плоскости с ее горизонталью проецируется на горизонтальную плоскость проекций П1 без искажений. Для решения данной задачи (смотри рисунок 2.2):
    проведем через точку С горизонталь h (h1, h2);
    из любой точки, принадлежащей прямой а, восстанавливаем перпендикуляр к горизонтали h. Получаем А1К1 и А2К2 проекции перпендикуляра (А1К1 + h);
    натуральную величину отрезка АК и угол его наклона к плоскости П1 находим по методу треугольника (смотри рисунок 2.2).
    Рисунок 2.2
    Как найти угол наклона плоскости к фронтальной плоскости проекций смотри на рисунке 2.3
    Рисунок 2.3

    Определение натуральной величины треугольника методом вращения

    При решении метрических задач связанных с определением истинных размеров изображенных на эпюре (комплексном чертеже) фигур, могут встретиться значительные трудности, если заданные проекции не подвергнуть специальным преобразованиям. Для этой цели обычно применяют один из двух способов: вращения или замены плоскостей проекций. Для решения задачи по определению натуральной величины треугольника воспользуемся способом вращения его вокруг одной оси. Если задаться целью: одним поворотом расположить треугольник параллельно плоскости П1, то за ось вращения следует принимать такую в плоскости треугольника, которая еще до вращения была бы параллельна горизонтальной плоскости проекций, то есть одну из ее горизонталей (смотри рисунок 2.4).
    через полученную точку и неподвижную D1 проводим прямую до пересечения с прямой, по которой перемещается горизонтальная проекция вершины В и на их пересечении отмечаем точку ;
    соединяя найденные точки и друг с другом и с неподвижной вершиной С1, получаем горизонтальную проекцию треугольника. Эта проекция определяет натуральную величину треугольника АВС;
    фронтальная проекция треугольника окажется преобразованной в прямую линию, совпадающую с С2D2.
    Указания к выполнению задания
    Указания к выполнению задания по координатам точек А, В и С, взятым с таблицы 2.1 по вариантам, изображаем комплексный чертеж плоскости У (АВС), при этом выбираем ось х, начало координат и масштаб так, чтобы изображение заняло большую часть поля чертежа (смотри приложение Е);
    для построения следов плоскости У (АВС) находим горизонтальные и фронтальные следы двух прямых (отрезков) плоскости У. В нашем примере выбираем отрезки СВ и СА. Как определить следы прямых смотри теоретический раздел 2.2.1;
    найдя горизонтальные и фронтальные следы двух прямых, соединяем одноименные прямой и получаем следы плоскости;
    определяем углы наклона плоскости У (АВС) к плоскостям П1 и П2 (смотри раздел 2.2.2). В нашем примере горизонталь и фронталь проведены через точку А.

  13. Moonfist Ответить

    Третья линия уровня называется профильной прямой. Она параллельна профильной плоскости проекций, и, значит, координата X для всех ее точек будет одной и той же. На рисунке 26 построена профильная линия уровня в трех проекциях и указаны углы наклона ее к плоскостям проекций – ? и ?.

    Рисунок 26 Рисунок 27
    Прямые, параллельные двум плоскостям проекций, называются проеци-рующими. На рисунке 27 изображена горизонтально-проецирующая прямая, которая параллельна фронтальной и профильной плоскостям проекций и, соответственно, перпендикулярна горизонтальной плоскости проекций. Отсюда и название – горизонтально-проецирующая, она совпадает с направлением проецирования на горизонтальную плоскость проекций, и поэтому имеет на П1 вырожденную проекцию прямой – точку. Натуральная величина отрезка может быть определена по фронтальной или профильной проекциям.
    Прямая, параллельная горизонтальной и профильной плоскостям проекций называется фронтально-проецирующей, она перпендикулярна П2 и проецируется на нее в точку. На рисунке 28 изображена такая прямая, отрезок проецируется в натуральную величину на П1 и П3.
    Прямая, параллельная горизонтальной и фронтальной плоскостям проекций называется профильно-проецирующей прямой, она перпендикулярна профильной плоскости проекций П3, рисунок Отрезок проецируется в натуральную величину на фронтальную и горизонтальную плоскости проекций.

    Рисунок 28 Рисунок 29
    7 Принадлежность точки прямой линии
    Выражение “точка В инцидентна прямой а” означает, что точка В принадлежит прямой а, или что прямая проходит через точку В, или, что тоже самое, точка В лежит на прямой а. Запомните: если точка принадлежит прямой, то ее проекции принадлежат одноименным проекциям этой прямой. Обратное заключение справедливо для всех прямых, кроме профильных уровня. Рассмотрите внимательно рисунок 30 : какая точка принадлежит прямой АВ, а какая нет?

    Рисунок 30 Рисунок 31
    Проекции точки D лежат на одноименных проекциях прямой АВ, следовательно, точка D принадлежит прямой АВ; Фронтальная проекция точки С принадлежит фронтальной проекции прямой АВ, а горизонтальная проекция С1 не лежит на горизонтальной проекции прямой АВ, следовательно, точка С не принадлежит прямой АВ.
    На рисунке 31 изображена профильная прямая CD. Точка К расположена таким образом, что ее горизонтальная проекция К1 принадлежит горизонтальной проекции прямой C1D1, а фронтальная проекция К2 принадлежит фронтальной проекции прямой. Тем не менее, чтобы сделать вывод о принадлежности точки К прямой CD, необходимо построить их третьи проекции – профильные. По чертежу видно, что профильная проекция точки К3 не лежит на профильной проекции прямой, следовательно, и сама точка не принадлежит прямой CD. Для всех других прямых, кроме профильной уровня, достаточно проверить принадлежность двух проекций точки одноименным проекциям прямой.
    Взаимное положение прямых
    Как известно из программы средней школы, прямые могут пересекаться, быть параллельными (лежать в одной плоскости и не иметь общей точки) и скрещиваться (лежать в разных плоскостях и не иметь общей точки).
    Наша задача состоит в том, чтобы разобраться, как изображаются на эпюре параллельные, пересекающиеся и скрещивающиеся прямые. На рисунке 32 изображен эпюр параллельных прямых – одноименные проекции двух параллельных прямых параллельны между собой.
    Справедливо и обратное заключение, кроме случая с профильными прямыми. Если даны профильные прямые, то их параллельность проверяется по профильным проекциям.

    Рисунок 32 Рисунок 33
    На рисунке 33 изображены пересекающиеся прямые t (t1, t2) и n (n1, n2). Чертеж пересекающихся прямых показывает, что если прямые пересекаются, то их одноименные проекции пересекаются между собой, а проекции точки пересечения лежат на одной линии связи.
    Скрещивающиеся прямые – прямые, которые не пересекаются и не параллельны между собой. На эпюре скрещивающиеся прямые будут напоминать пересекающиеся с той лишь разницей, что точки пересечения фронтальных и горизонтальных проекций не будут лежать на одной линии связи (перпендикуляре к оси ОХ), рисунок 34. В связи с этим вводится понятие конкурирующие точки.

    Рисунок 34 Рисунок 35
    Точки, лежащие на одном проецирующем луче, называются конкурирующими.
    На рисунке 35 обозначены конкурирующие точки и определена их видимость на П1 П2, невидимые точки берутся в скобки. Давайте рассмотрим подробно. На фронтальной проекции пересекаются фронтальные проекции прямых t2 и b2. Обозначим эту точку 1 с индексом 2 и 2 с индексом 2. Допустим, что в пространстве точка 1 лежит на прямой b, а точка 2 на прямой t. Обозначим в соответствии с этим горизонтальные проекции точек 1 и 2. Для определения видимости точек на фронтальной плоскости проекций нужно сравнить координаты Y точек 1 и 2. Координата Y (.) 2 > Y (.) 1, следовательно на фронтальной плоскости проекций точка 2 будет видимой, а точка 1 будет лежать на одном проецирующем луче с точкой 2 и окажется “прикрытой” точкой 2, т. е. невидимой глазу наблюдателя. Такие точки берутся в круглые скобки. На горизонтальной плоскости проекций пересекаются горизонтальные проекции прямых в точке, которую обозначим цифрой 3 с индексом 1 и цифрой 4 с индексом 1. Эти две точки в пространстве лежат на разных прямых, допустим точка 3 на прямой t, а точка 4 на прямой b. Обозначим соответственно этому допущению фронтальные проекции точек. Чтобы определить видимость точек на горизонтальной плоскости проекций нужно сравнить координаты Z этих точек. Координата Z (.) 4 > Z (.) 3, следовательно, на горизонтальной плоскости проекций будет видна точка 4, а точка 3 будет находиться под ней, и ее нужно взять в скобки. Попробуйте по рисунку 35 проговорить этот текст и объяснить себе это несколько раз. Определение видимости по конкурирующим точкам в течение учебного курса пригодится неоднократно.
    Плоскости
    Из программы средней школы известно, что плоскость в пространстве определяется тремя точками, не лежащими на одной прямой ( прямой и точкой не принадлежащей ей, двумя параллельными прямыми, двумя пересекающимися прямыми, отсеком плоской фигуры – треугольником, четырехугольником и т. д.). В соответствии с этим, на комплексном чертеже плоскость может быть изображена проекциями этих геометрических элементов. На рисунке 36 плоскость задана тремя точками А, В, С. На рисунке 32 – параллельными прямыми а и b, на рисунке 33 плоскость задана пересекающимися прямыми t и n. На рисунке 37 плоскость задана треугольником АВС. Это все известные Вам способы задания плоскостей.

    Рисунок 36 Рисунок 37
    В начертательной геометрии пользуются еще одним способом задания плоскостей – следами. Следом плоскости называют линию пересечения плоскости с плоскостью проекций. На рисунке 38 дано наглядное изображение плоскости Q, которая пересекается с плоскостями проекций по прямым, называемым следами плоскости. Q1 – горизонтальный след плоскости, Q2- фронтальный след плоскости, Q3 – профильный след плоскости.
    Qx, Qy, Qz – точки схода следов на осях проекций. Обычно плоскость на эпюре изображается двумя следами (Q1, Q2), см рисунок 39, которые как две пересекающиеся прямые вполне определяют плоскость. Фронтальный след плоскости расположен во фронтальной плоскости проекций, поэтому его горизонтальная проекция лежит на оси ОХ. Горизонтальный след плоскости расположен в горизонтальной плоскости проекций, поэтому его фронтальная проекция лежит на оси ОХ.
    Плоскость, не перпендикулярная ни одной из плоскостей проекций, называется плоскостью общего положения.

    Рисунок 38 Рисунок 39
    Плоскость Q – плоскость общего положения, она пересекается со всеми плоскостями проекций, т. к. не параллельна ни одной из них.
    Плоскости, перпендикулярные одной какой-нибудь плоскости проекций называются проецирующими.
    Плоскость, перпендикулярная горизонтальной плоскости проекций называется горизонтально-проецирующей. Если эта плоскость задана следами, рисунок 40, то ее фронтальный след всегда перпендикулярен оси ОХ, а горизонтальный след составляет с осью ОХ угол ?, который является углом наклона данной плоскости к фронтальной плоскости проекций П2.

    Рисунок 40 Рисунок 41
    На рисунке 41 показан эпюр горизонтально-проецирующей плоскости, заданнной треугольником АВС. Так как плоскость перпендикулярна П1, горизонтальная проекция треугольника вырождается в прямую линию.
    Плоскость, перпендикулярная фронтальной плоскости проекций, называется фронтально-проецирующей. Если такая плоскость задана следами рисунок 42, то ее горизонтальный след всегда перпендикулярен оси ОХ, а фронтальный составляет с осью ОХ угол ?, который является углом наклона данной плоскости к горизонтальной плоскости проекций.

    Рисунок 42 Рисунок 43
    На рисунке 43 фронтально-проецирующая плоскость задана прямой t и точкой D, не лежащей на этой прямой.
    Плоскость, перпендикулярная профильной плоскости проекций, называется профильно-проецирующей.

    Рисунок 44 Рисунок 45
    На рисунке 44 дано наглядное изображение такой плоскости, а на рисунке 45 выполнен эпюр профильно-проецирующей плоскости. Оба следа плоскости, и горизонтальный, и фронтальный, расположены параллельно оси ОХ.
    Плоскости, параллельные какой-либо плоскости проекций, называются плоскостями уровня.
    Плоскость, параллельная горизонтальной плоскости проекций называется горизонтальной плоскостью уровня. Фронтальный след этой плоскости проходит параллельно оси ОХ, а профильный след – параллельно оси OY. Горизонтального следа у этой плоскости нет, так как она параллельна П1 по определению. На рисунке 46 дано наглядное изображение такой плоскости, а на рисунке 47 ее эпюр. Если плоскость задана треугольником, то он проецируется на горизонтальную плоскость проекций в натуральную величину, см. рисунок 48.

    Рисунок 46 Рисунок 47
    Плоскость, параллельная фронтальной плоскости проекций называется фронтальной плоскостью уровня. Она не имеет фронтального следа, и все, что в ней лежит, проецируется в натуральную величину на П2. На рисунке 49 фронтальная уровня плоскость задана следами.

    Рисунок 48 Рисунок 49
    Плоскость, параллельная профильной плоскости проекций называется профильной уровня. Такая плоскость не имеет профильного следа, а ее горизонтальный и фронтальный следы перпендикулярны оси ОХ, рисунок 50. Если плоскость задана геометрической фигурой, то она проецируется в натуральную величину на П3, рисунок 51.

    Рисунок 50 Рисунок 51
    Прямая и точка в плоскости
    Давайте вспомним, когда прямая принадлежит плоскости:
    1) прямая принадлежит плоскости, если она проходит через две точки, принадлежащие плоскости;
    2) прямая принадлежит плоскости, если она проходит через точку, принадлежащую данной плоскости и параллельна какой-нибудь прямой этой плоскости.
    Из этих двух известных Вам признаков принадлежности прямой плоскости можно сделать следующие выводы:
    1) если плоскость задана следами, то прямая принадлежит плоскости, если следы прямой лежат на одноименных следах плоскости;
    2) прямая принадлежит плоскости, если она с одним следом плоскости имеет общую точку, а другому следу параллельна.
    Рассмотрим плоскость Q, общего положения, задана следами, рисунок 52. Прямая NM принадлежит этой плоскости, поскольку ее следы лежат на одноименных следах плоскостей. На рисунке 53 показан эпюр плоскости, заданной пересекающимися прямыми t и n. Чтобы построить прямую, лежащую в этой плоскости, достаточно провести произвольно одну из проекций, например, горизонтальную c1, а затем спроецировть точки пересечения этой прямой с прямыми плоскости на фронтальную плоскость. Фронтальная проекция прямой c2 пройдет через полученные точки.

    Рисунок 52 Рисунок 53
    Согласно второму положению на рисунке 54 построена прямая h, принадлежащая плоскости Р, – она имеет точку N (N1, N2) общую с плоскостью Р и параллельна прямой, лежащей в плоскости – горизонтальному следу Р1.

    Рисунок 54 Рисунок 55
    Рассмотрим плоскости частного положения. Если прямая или фигура принадлежит горизонтально-проецирующей плоскости, то горизонтальные проекции этих геометрических элементов совпадают с горизонтальным следом плоскости.
    Если прямая или плоская фигура принадлежит фронтально-проецирующей плоскости, то фронтальные проекции этих геометрических элементов совпадают с фронтальным следом плоскости.
    Точка принадлежит плоскости, если она принадлежит прямой, лежащей в этой плоскости.
    ЗАДАЧА 1. Дана плоскость Р (a || b). Известна горизонтальная проекция точки В, принадлежащей плоскости Р. Постройте фронтальную проекцию точки В, рисунок 56. На рисунках 57, 58, 59 показано фрагментарно решение этой задачи: 1) Проведем через В1 (известную проекцию точки В) любую прямую,
    лежащую в плоскости Р, – для этого прямая должна иметь с плоскостью две общие точки. Отметим их на чертеже – М1 и K1.
    2) Построим фронтальные проекции этих точек по принадлежности точек прямым, т. е. М2 на прямой а, K2 на прямой b. Проведем через фронтальные проекции точек фронтальную проекцию прямой.

    Рисунок 56 Рисунок 57
    3) По признаку принадлежности точки плоскости, построим фронтальную проекцию точки В на прямой М2K2.
    Т. о. точка В принадлежит плоскости Р так как она лежит на прямой, принадлежащей этой плоскости.

    Рисунок 58 Рисунок 59
    Особые прямые в плоскости

  15. VideoAnswer Ответить

Добавить ответ

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *