Почему в вычислительной технике взята за основу двоичная система счисления?

4 ответов на вопрос “Почему в вычислительной технике взята за основу двоичная система счисления?”

  1. Cordador Ответить

    Системы счисления. Позиционная и непозиционная системы счисления
    Система счисления – это способ записи чисел. Обычно, числа записываются с помощью специальных знаков – цифр (хотя и не всегда). Если вы никогда не изучали данный вопрос, то, по крайней мере, вам должны быть известны две системы счисления – это арабская и римская. В первой используются цифры 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 и это позиционная система счисления. А во второй – I, V, X, L, C, D, M и это непозиционная система счисления.
    В позиционных системах счисления количество, обозначаемое цифрой в числе, зависит от ее позиции, а в непозиционных – нет. Например:
    11 – здесь первая единица обозначает десять, а вторая – 1.
    II – здесь обе единицы обозначают единицу.
    345, 259, 521 – здесь цифра 5 в первом случае обозначает 5, во втором – 50, а в третьем – 500.
    XXV, XVI, VII – здесь, где бы ни стояла цифра V, она везде обозначает пять единиц. Другими словами, величина, обозначаемая знаком V, не зависит от его позиции.
    Сложение, умножение и другие математические операции в позиционных системах счисления выполнить легче, чем в непозиционных, т.к. математические операции осуществляются по несложным алгоритмам (например, умножение в столбик, сравнение двух чисел).
    В мире наиболее распространены позиционные системы счисления. Помимо знакомой всем с детства десятичной (где используется десять цифр от 0 до 9), в технике широкое распространение нашли такие системы счисление как двоичная (используются цифры 0 и 1), восьмеричная и шестнадцатеричная.
    Следует отметить, важную роль нуля. «Открытие» этой цифры в истории человечества сыграло большую роль в формировании позиционных систем счисления.
    Основание системы счисления – это количество знаков, которое используется для записи цифр.
    Разряд – это позиция цифры в числе. Разрядность числа – количество цифр, из которых состоит число (например, 264 – трехразрядное число, 00010101 – восьмиразрядное число). Разряды нумеруются справа на лево (например, в числе 598 восьмерка занимает первый разряд, а пятерка – третий).

  2. Dalalore Ответить

    Есть и троичные ЭВМ. Точнее, существовали как экспериментальные модели (впрочем, “Сетунь” полвека назад даже выпускалась серийно). Только там цифры были не 0 и 1, а -1, 0 и +1.
    В чём прикол и в чём преимущества той или иной системы счисления: в учёте разных факторов и в том, каким из них отдать приоритет.
    В двоичной системе очень компактная таблица умножения – в неё всего два правила: 1х0 = 0, 1х1 = 1. ВСЁ. В десятичной таблице умножения таких элементарных правил куда больше – 50. Зато компактность записи чисел – ровно обратная: то, что в десятичной можно записать двумя знаками, в двоичной может потребовать аж семи.
    Ну и тогда естесственно должен возникнуть вопрос – а каким должно быть основание системы счисления, чтоб в ней более-менее компактной была и таблица умножения, и длина записи числа? Как оказалось, оптимум достигается при основании системы счисления, равным е (это минимум функции ln x / x). Тому самому, которое основание натуральных логарифмов. Ну и поскольку для основания системы счисления дробное число как-то не сильно годится, то разумно взять ближайшее целое. То есть 3.
    Между прочим, Фибоначии (которого ряд) ещё в самом начале 13 века доказал, что задача о взвешивании на симметричных весах (когда гири допускается класть на обе чашки весов или же не класть вовсе – это как раз полный эквивалент 0, -1 и +1: знак определяется тем, на какую чашку кладётся гиря) имеет своим минимальным решением по числу гирь именно троичную логику. Если же гири можно коасть только на одну чашку, то оптимальной оказывается двоичная система (именно так и работают все АЦП, это точная реализация того, что придумал Фибоначчи, страшно сказать, аж 900 лет назад!).
    Почему всё же победила именно двоичная логика: потому что она проще в реализации. Ограничения на ёмкость (разрядность регистров и ёмкость памяти) очень давно стали стали несущественными по сравнению с системной простотой двоичной логики и тем, что там надо всего одно напряжение питания, а не два.

  3. Nalune Ответить

    Министерство образования и науки
    Новые применения двоичной системы счисления
    Выполнила:
    ученица 8 класса
    школы №111
    Бубнова Елизавета
    Руководитель:
    Иванова Ю.Н.
    учитель математики
    Барнаул – 2013
    Содержание
    Введение……………………………………………………………………….3
    Понятие систем счисления……………………………………………………4
    Двоичная система счисления……………………………………………..….7
    Применение двоичной системы счисления……………………………..…..8
    Заключение…………………………………………………………………..12
    Список литературы………………………………………………………….13
    Введение
    Тема «Системы счисления» имеет прямое отношение к математической теории чисел. Однако в школьном курсе математике она, как правила, не изучается. Необходимость изучения этой темы в курсе информатики связана с тем фактом, что числа в памяти компьютера представлены в двоичной системе счисления, а для внешнего представления содержимого памяти, адресов памяти используют шестнадцатеричную или восьмеричную систему счисления. Являясь смежной с математикой, данная тема вносит вклад в фундаментальной математическое школьное образование. Различные системы счисления используются всегда, когда появляется потребность в числовых расчётах, начиная с вычислений младшеклассника, выполняемых карандашом на бумаге, кончая вычислениями, выполняемыми на суперкомпьютерах. В работе изложена и занимательно описана одна из наиболее популярных систем счисления – двоичная, а также ее применения, как старые, так и новые, как забавные, так и серьёзные.  Объект исследования – системы счисления. Главное достоинство двоичной системы — простота алгоритмов сложения, вычитания умножения и деления. Изучение двоичной системы счисления, которая используется в компьютерах, важно для понимания того, каким образом производится обработка числовых данных в ЭВМ. Поэтому данная тема является актуальной.
    Предметом исследования является двоичная система счисления.
    Целью исследования является – рассмотрение применений двоичной системы счисления в жизни.
    Задачи исследования:
    Рассмотреть понятие систем счисления и их виды
    Изучить двоичную систему счисления, выделить ее достоинства;
    Рассмотреть применение двоичной системы счисления в жизни человека и в компьютерной технике.
    Методы исследования:
    Анализ и синтез;
    Сравнение.
    Понятие систем счисления
    Понятие «число» является ключевым как для математики, так и для информатики. Люди всегда считали и записывали числа, даже 5 тысяч лет назад. Но записывали их по другим правилам, хотя в любом случае число изображалось с помощью любого или нескольких символов, которые назывались цифрами.
    Язык чисел, как и любой другой, имеет свой алфавит. В том языке чисел, которым мы обычно пользуемся, алфавитом служат десять цифр – от 0 до 9. Это десятичная система счисления.
    Системой счисления мы будем называть способ представления числа символами некоторого алфавита, которые называют цифрами.
    Системы счисления делятся на различные группы:
    – Анатомического происхождения:  десятеричная, пятеричная, двенадцатеричная, двадцатеричная.
    – Алфавитные: древнеармянская, древнегрузинская, древнегреческая, ионическая, славянская.
    – Машинные: двоичная, восьмеричная, шестнадцатеричная.
    – Прочие:  Римская, Вавилонская, Египетская нумерация, Китайская нумерация и другие.
    Также различают позиционные и непозиционные системы счисления.
    Непозиционные системы счисления. В непозиционных системах счисления значение числа определяется как сумма или разность цифр в числе. В непозиционных системах счисления считать трудно. Древние греки построили геометрию, которую сегодня изучают в школе, доказали важные теоремы теории чисел, но считать они не умели.
    Примеры непозиционных систем счисления:
    1. У многих народов использовалась система, алфавит которой состоял из одного символа –  палочки. Для изображения какого-то числа в этой системе нужно записать определенное множество палочек, равное данному числу: ||||| –  число пять.
    2. Египтяне применяли для записи чисел иероглифы. Единицу обозначали одной вертикальной чертой, а для обозначения чисел, меньших 10, нужно было поставить соответствующее число вертикальных штрихов. Если штрихов нужно изобразить несколько, то их объединяли в группы из трех или четырех черт и изображали в несколько рядов, причем в нижнем должно быть столько же штрихов сколько и в верхнем, или на одну больше.
    Для обозначения числа 10, основания системы, египтяне вместо десяти вертикальных черт ввели новый коллективный символ, напоминающий по своим очертаниям подкову или крокетную дужку.
    Если нужно изобразить несколько десятков, то иероглиф повторяли нужное количество раз. Тоже самое относится и к остальным иероглифам.
    Множество из десяти подковообразных символов, т.е. число 100, они заменили другим новым символом, напоминающим силки; десять силков, т.е. число 1 000, египтяне обозначили стилизованным изображением лотоса. Продолжая в том же духе, египтяне обозначили десять лотосов согнутым пальцем, десять согнутых пальцев – волнистой линией и десять волнистых линий – фигуркой удивленного человека. В итоге древние египтяне могли представлять числа до миллиона.







    10
    100
    1 000
    10 000
    100 000
    1 000 000
    10 000 000
    Рис 3. Египетская система счисления
    Самым распространенным примером непозиционной системы счисления является римская система счисления

    Рис 4. Римская система счисления
    Позиционные системы счисления. Позиционной называется такая система счисления, в которой величина, обозначаемая цифрой в записи числа, зависит от ее позиции.
    Французский математик Пьер Симон Лаплас (1749— 1827) такими словами оценил “открытие” позиционной системы счисления: “Мысль выражать все числа немногими знаками, придавая им, кроме значения но форме, еще значение по месту, настолько проста, что именно из-за этой простоты трудно оценить, насколько она удивительна”.
    Первая известная нам система, основанная на позиционном принципе – шестидесятeричная вавилонская. Например, число 59 в данной системе записывается следующим образом:
    , т.е. 59 = 5 · 10 + 9.
    Запись чисел в позиционных системах счисления осуществляется следующим образом: множество цифр, используемых для записи чисел в позиционных системах счисления, образует алфавит. Количество используемых цифр называется основанием системы счисления. Место каждой цифры в числе – позиция. Сущность позиционного представления чисел отражается в развернутой форме записи числа.
    Основание (n)
    Название
    Алфавит
    n=2
    двоичная
    0, 1
    n=3
    троичная
    0, 1, 2
    n=5
    пятеричная
    0, 1, 2, 3, 4
    n=8
    восьмеричная
    0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7
    n=10
    десятичная
    0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9
    n=16
    шестнадцатеричная
    0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F
    Основные достоинства любой позиционной системы счисления –  простота выполнения арифметических операций и ограниченное количество символов, необходимых для записи любого числа.
    Двоичная система счисления
    Двоичная система счисления – система счисления, построенная на позиционном принципе записи чисел, с использованием только двух знаков — цифр 0 и 1. Главное достоинство двоичной системы — простота алгоритмов сложения, вычитания умножения и деления. Таблица умножения в ней совсем не требует ничего запоминать: ведь любое число, умноженное на нуль равно нулю, а умноженное на единицу равно самому себе. И при этом никаких переносов в следующие разряды, а они есть даже в троичной системе. Таблица деления сводится к двум равенствам 0/1 = 0, 1/1 = 1, благодаря чему деление столбиком многозначных двоичных чисел делается гораздо проще, чем в десятичной системе, и по существу сводится к многократному вычитанию.
    Таблица сложения, как ни странно, чуть сложнее, потому что 1+1 = 10 и возникает перенос в следующий разряд. В общем виде операцию сложения однобитовых чисел можно записать в виде x+y = 2w+v, где w, v — биты результата. Внимательно посмотрев на таблицу сложения, можно заметить, что бит переноса w — это просто произведение xy, потому что он равен единице лишь когда x и y равны единице. А вот бит v равен x+y, за исключением случая x = y = 1, когда он равен не 2, а 0. Операцию, с помощью которой по битам x, y вычисляют бит v, называют по-разному. Мы будем использовать для неё название «сложение по модулю 2» и символ . Таким образом, сложение битов выполняется фактически не одной, а двумя операциями.
    Если отвлечься от технических деталей, то именно с помощью этих операций и выполняются все операции в компьютере.
    Для выполнения сложения однобитовых чисел делают обычно даже специальный логический элемент с двумя входами x, y и двумя выходами w, v, как бы составленный из элемента умножения (его часто называют конъюнкцией, чтобы не путать с умножением многозначных чисел) и элемента сложения по модулю 2. Этот элемент часто называют полусумматором.
    Применения двоичной системы счисления
    1. «Книга перемен»
    Двоичная система по существу была известна в Древнем Китае. В классической книге «И цзин» («Книга перемен») приведены так называемые «гексаграммы Фу-си», первая из которых имеет вид , а последняя (64-я) – вид , причем они расположены по кругу и занумерованы в точном соответствии с двоичной системой (нулями и единицами соответствуют сплошные и прерывистые линии). Китайцы не поленились придумать для этих диаграмм специальные иероглифы и названия (например, первая из них называлась «кунь», а последняя – «цянь», сплошной линии сопоставляется мужское начало янь, а прерывистой линии – женское начало инь).
    Каждая гексаграмма состоит из двух триграмм (верхней и нижней), им тоже соответствуют определенные иероглифы и названия. Например, триграмме из трех сплошных линий сопоставлен образ-атрибут «небо, творчество», а триграмме из трех прерывистых линий сопоставлен образ-атрибут «земля, податливость, восприимчивость».
    2. Азбука Морзе
    Сэмюель Морзе – изобретатель азбуки, но его самое главное достижение – изобретение телеграфа (а азбука Морзе понадобилась ему для использования телеграфа). Точка и тире оказались самыми элементарными символами, которые мог передавать его телеграф. Они соответствовали коротким и длинным импульсам электрического тока, передаваемым по телеграфным проводам. Длина импульса определялась нажатием руки телеграфиста на ключ телеграфа. Прием сигнала осуществляло реле, которое после появления в нем импульса тока включало электромагнит, который либо заставлял стучать молоточек, либо прижимал колесико с красящей лентой к бумажной ленте, на которой отпечатывались либо точка, либо тире в зависимости от длины импульса.
    Азбука Морзе сопоставляет каждой букве алфавита последовательность из точек и тире. Естественней всего использовать такие последовательности длины 6, их всего 64 и хватит даже на русский алфавит. Но Морзе понимал, что длину сообщения желательно уменьшить, насколько возможно, поэтому он решил использовать последовательности длины не более 4, их всего 2 + 4 + 8 + 16 = 30. в русском алфавите пришлось не использовать буквы «э» и «ё» и отождествить мягкий и твердый знаки. Кроме того, наиболее часто используемых буквами он предложил давать самые короткие коды, чтобы уменьшить среднюю длину передаваемого сообщения.
    3. Штрих-коды
    Примером применения двоичного кодирования в современной технике служат штрих-коды. В супермаркетах на упаковках товаров можно увидеть штрих-код. Для чего он нужен, и как его прочитать?
    Нужен он только для автоматического занесения информации в кассовый аппарат. Сам штрих-код состоит из тридцати черных полос переменой толщины, разделенной промежутками тоже переменой толщины. Толщина полос может принимать четыре значения – от самой тонкой до самой толстой. Такую же толщину могут иметь и промежутки. Когда по сканеру проводят штрих-кодом, он воспринимает каждую черную полоску как последовательность единиц длины от одной до четырех и также воспринимает промежутки между полосами, но при этом вместо единиц сканер видит нули. Полностью весь штрих-код сканер воспринимает как последовательность из 95 цифр 0 или 1 (их давно уже принято называть битами). Что же содержит этот код? Он кодирует 13-разрядное десятичное число, совершенно открыто написанное под самим штрих-кодом. Если сканер не смог распознать штрих-код, то это число кассир вводит в аппарат вручную. Штрих-код нужен лишь для облегчения распознавания сканером изображения. Распознавать цифры, к тому же повернутые боком, может только сложная программа распознавания на универсальном компьютере, да и то не очень надежно, а не кассовый аппарат.

    Рис 5. Расшифровка штрих-кода
    Какую же информацию содержит это 13-значное число? Этот вопрос к математике никакого отношения не имеет. Первые две цифры задают страну – производителя товара. Следующие пять цифр – это код производитель, а следующие пять цифр – код самого продукта в принятой этим производителем кодировке. Последняя цифра – это код проверки. Он однозначно вычисляется по предыдущим 12 цифрам, следующим образом. Нужно сложить все цифры с нечетными номерами, утроить сумму, к ней прибавить сумму оставшихся цифр, а полученный результат вычесть из ближайшего кратного 10 числа.
    4. Компьютерная техника и информационные технологии
    Столь привычная для нас десятичная система оказалась неудобной для ЭВМ. Если в механических вычислительных устройствах, использующих десятичную систему, достаточно просто применить элемент с множеством состояний (колесо с девятью зубьями), то в электронных машинах надо было бы иметь 10 различных потенциалов в цепях. Наиболее просто реализуется элементы с двумя состояниями – триггеры. Поэтому естественным был переход на двоичную систему. В этой системе всего две цифры – 0 и 1 . Каждая цифра называется двоичной (от английского binary digit – двоичная цифра). Сокращение от этого выражения привело к появлению термина бит, ставшего названием разряда двоичного числа.
    Бит – это минимальная единица измерения информации (0 mini). За битом следует байт, состоящий из восьми бит, затем килобайт (кбайт) – 1024 байта, мегабайт (мбайт) – 1024 кбайта, гигобайт (гбайт) – 1024мбайт.
    В компьютере для представления информации используется двоичное кодирование, так как удалось создать надежные работающие технические устройства, которые могут со стопроцентной надежностью сохранять и распознавать не более двух различных состояний (цифр). Все виды информации в компьютере кодируются на машинном языке, в виде логических последовательностей нулей и единиц.
    Целые числа в компьютере хранятся в ячейках памяти, в этом случае каждому разряду ячейки памяти соответствует всегда один и тот же разряд числа.
    Для хранения целых неотрицательных чисел отводится одна ячейка памяти, состоящая из восьми бит.
    Например, число 1910 будет выглядеть:
    1
    1
    1
    Для хранения целых чисел со знаком (отрицательных) отводиться две ячейки памяти (16 битов), причем старший (левый) разряд отводиться под знак числа (если число положительное, то в знаковый разряд записывается 0, если отрицательное – 1).
    Например, число -9810 будет выглядеть:
    1
    1
    1
    1
    Начиная с конца 60-х годов, компьютеры все больше использовать для обработки текстовой информации и в настоящее время большая часть компьютеров в мире занято именно обработкой текстовой информации.
    Традиционно для кодирования одного символа используется количество информации равное 1 байту, то есть 8 бит. Если рассматривать символы как возможные события, то получаем, что количество различных символов, которые можно закодировать, будет равно 256. Такое количество символов вполне достаточно для представления текстовой информации, включая прописные и строчные буквы русского и латинского алфавитов, а так же цифры, знаки препинания и математических операций, графические символы и так далее. Но способов построения таких кодов очень много, рассмотрим один из них:
    Алфавитное неравномерное двоичное кодирование
    При алфавитном способе двоичного кодирования символы некоторого первичного алфавита (например, русского) кодируются комбинациями символов двоичного алфавита (т.е. 0 и 1), причем, длина кодов и, соответственно, длительность передачи отдельного кода, могут различаться. Оптимизировать кодирование можно за счет суммарной длительности сообщения. Суммарная длительность сообщения будет меньше, если применить следующий подход: чем буква первичного алфавита, встречается чаще, то присваиваем ей более короткой по длине код. Следовательно, коды букв, вероятность появления которых в сообщении выше, следует строить из возможно меньшего числа элементарных сигналов.
    Возможны различные варианты двоичного кодирования, при этом важно, чтобы закодированное сообщение могло быть однозначно декодировано, т.е. чтобы в последовательности 0 и 1, которая представляет собой многобуквенное кодированное сообщение, всегда можно было бы различить обозначения отдельных букв.
    Рассмотрим пример построения двоичного кода для символов русского алфавита:

    Заключение
    В данной работе мы
    рассмотрели понятие систем счисления, выделили их виды,
    рассмотрели двоичную систему счисления;
    выделили применения двоичной системы счисления в жизни человека.
    Двоичная система счисления удобна в использовании, что доказывают разнообразные сферы ее применения. В данной работе рассмотрены не все сферы применения двоичной системы счисления и работа в данной области может быть продолжена.
    Список используемой литературы
    1. Занимательные материалы по математике. 7 – 8 классы. / Составитель Галаева Е.А. – Волгоград: Издательско-торговый дом «Корифей», 2006. – 80 с.
    2. Системы счисления и их применение. (Серия: «Библиотека «Математическое просвещение»») / Гашков С.Б. – Москва: Издательство Московского центра непрерывного математического образования, 2004. – 52 с., ил.
    3. Раздел информатика, 2001 – 2007. Теле – школа. Интернет – школа «Просвещение.ru»
    4. Биографический словарь деятелей в области математики. / Бородин А.И., Бугай А.С. – Киев: «Радянська школа», 1979.
    5. Системы счисления. – 5-е издание. / Фомин С.В. – Москва: «Наука». Главная редакция физико-математической литературы, 1987. – 48 с. – (Популярные лекции по математике).
    6. Сайт http://numeration.ru/bin.html

  4. Jekson Go Ответить

    Системой счисления называют систему приемов и правил, позволяющих устанавливать взаимнооднозначное соответствие между любым числом и его представлением в виде совокупности конечного числа символов. Множество символов, используемых для такого представления, называют цифрами.
    В зависимости от способа изображения чисел с помощью цифр системы счисления делятся на позиционные и непозиционные.
    В непозиционных системах любое число определяется как некоторая функция от численных значений совокупности цифр, представляющих это число. Цифры в непозиционных системах счисления соответствуют некоторым фиксированным числам. Исторически первыми системами счисления были именно непозиционные системы. Одним из основных недостатков является трудность записи больших чисел. Запись больших чисел в таких системах либо очень громоздка, либо алфавит системы чрезвычайно велик. В вычислительной технике непозиционные системы не применяются.
    Систему счисления называют позиционной, если одна и та же цифра может принимать различные численные значения в зависимости от номера разряда этой цифры в совокупности цифр, представляющих заданное число. Пример такой системы – арабская десятичная система счисления.
    Количества и количественные составляющие, существующие реально могут отображаться различными способами. Основание позиционной системы счисления определяет ее название. В вычислительной технике применяются двоичная, восьмеричная, десятичная и шестнадцатеричная системы. В дальнейшем, чтобы явно указать используемую систему счисления, будем заключать число в скобки и в нижнем индексе указывать основание системы счисления. Каждой позиции в числе соответствует позиционный (разрядный) коэффициент или вес./2/
    В настоящее время позиционные системы счисления более широко распространены, чем непозиционные. Это объясняется тем, что они позволяют записывать большие числа с помощью сравнительно небольшого числа знаков. Еще более важное преимущество позиционных систем – это простота и легкость выполнения арифметических операций над числами, записанными в этих системах.
    Перевод чисел в десятичную систему осуществляется путем составления степенного ряда с основанием той системы, из которой число переводится. Затем подсчитывается значение суммы.
    В целом вычислительные машины могут быть построены в любой системе счисления. Но столь привычная для нас десятичная система окажется крайне неудобной. Если в механических вычислительных устройствах, использующих десятичную систему, достаточно просто применить элемент со множеством состояний (колесо с десятью зубьями), то в электронных машинах надо было бы иметь 10 различных потенциалов в цепях./3/

Добавить ответ

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *