Какая система счисления используется при представлении числа в памяти компьютера?

12 ответов на вопрос “Какая система счисления используется при представлении числа в памяти компьютера?”

  1. hacker_boy Ответить


    Двоичная система счисления 3. 1. Двоичная система счисления — это позиционная система счисления, состоящая только из двух цифр: 0 и 1. В компьютерах используется именно эта система счисления из=за своей простоты. Простота выполнения операций в двоичной системе счисления связана с двумя обстоятельствами: 1) простотой аппаратной реализации: 1 — есть сигнал, 0 — нет сигнала; 2) самое сложное действие таблицы умножения — это 12 ? 12 = 12, а таблицы сложения — 12 + 12 = 102. Почему в двоичной системе при сложении двух единиц счисления получается десять? Эта ситуация аналогична той, когда в десятичной системе к девяти прибавляется один: 910 + 110 = 1010. На девятке цифры десятичной системы заканчиваются, и затем следует наименьшее двузначное число десять 1010. В двоичной системе цифры заканчиваются на единице, и после нее идет наименьшее двузначное число десять 102. Двойка внизу в виде нижнего индекса означает, что числа записаны в двоичной системе. При записи чисел в разных позиционных системах счисления основание системы записывается в виде нижнего индекса. Этот индекс всегда записывается только в десятичной системе счисления.

  2. Anahelm Ответить

    1) модуль числа записать прямым кодом в n (n = 16) двоичных разрядах;
    2) получить обратный код числа (инвертировать все разряды числа, т. е. все единицы заменить на нули, а нули – на единицы);
    3) к полученному обратному коду прибавить единицу к младшему разряду.
    Например, для числа -53610 в таком формате модуль будет равен 00000010000110002, обратный код – 1111110111100111, а дополнительный код – 1111110111101000.
    Необходимо помнить, что дополнительный код положительного числа – само число.
    Для хранения целых чисел со знаком помимо 16-разрядного компьютерного представления, когда используются два регистра памяти (такой формат числа называется также форматом коротких целых чисел со знаком), применяются форматы средних и длинных целых чисел со знаком. Для представления чисел в формате средних чисел используется четыре регистра (4 х 8 = 32 бит), а для представления чисел в формате длинных чисел – восемь регистров (8 х 8 = 64 бита). Диапазоны значений для формата средних и длинных чисел будут соответственно равны: -(231 – 1) … + 231 – 1 и -(263-1) … + 263 – 1.
    Компьютерное представление чисел в формате с фиксированной запятой имеет свои преимущества и недостатки. К преимуществам относятся простота представления чисел и алгоритмов реализации арифметических операций, к недостаткам – конечный диапазон представления чисел, который может быть недостаточным для решения многих задач практического характера (математических, экономических, физических и т. д.).
    Вещественные числа (конечные и бесконечные десятичные дроби) обрабатываются и хранятся в компьютере в формате с плавающей запятой. При таком формате представления числа положение запятой в записи может изменяться. Любое вещественное число К в формате с плавающей запятой может быть представлено в виде:

    где А – мантисса числа; h – основание системы счисления; p – порядок числа.
    Выражение (2.7) для десятичной системы счисления примет вид:

    для двоичной —

    для восьмеричной —

    для шестнадцатеричной —

    и т. д.
    Такая форма представления числа также называется нормальной. С изменением порядка запятая в числе смещается, т. е. как бы плавает влево или вправо. Поэтому нормальную форму представления чисел называют формой с плавающей запятой. Десятичное число 15,5, например, в формате с плавающей запятой может быть представлено в виде: 0,155 · 102; 1,55 · 101; 15,5 · 100; 155,0 · 10-1; 1550,0 · 10-2 и т. д. Эта форма записи десятичного числа 15,5 с плавающей запятой не используется при написании компьютерных программ и вводе их в компьютер (устройства ввода компьютеров воспринимают только линейную запись данных). Исходя из этого выражение (2.7) для представления десятичных чисел и ввода их в компьютер преобразовывают к виду

    где Р – порядок числа,
    т. е. вместо основания системы счисления 10 пишут букву Е, вместо запятой – точку, и знак умножения не ставится. Таким образом, число 15,5 в формате с плавающей запятой и линейной записи (компьютерное представление) будет записано в виде: 0.155Е2; 1.55Е1; 15.5Е0; 155.0Е-1; 1550.0Е-2 и т.д.
    Независимо от системы счисления любое число в форме с плавающей запятой может быть представлено бесконечным множеством чисел. Такая форма записи называется ненормализованной. Для однозначного представления чисел с плавающей запятой используют нормализованную форму записи числа, при которой мантисса числа должна отвечать условию

    где |А| — абсолютное значение мантиссы числа.
    Условие (2.9) означает, что мантисса должна быть правильной дробью и иметь после запятой цифру, отличную от нуля, или, другими словами, если после запятой в мантиссе стоит не нуль, то число называется нормализованным. Так, число 15,5 в нормализованном виде (нормализованная мантисса) в форме с плавающей запятой будет выглядеть следующим образом: 0,155 · 102, т. е. нормализованная мантисса будет A = 0,155 и порядок Р = 2, или в компьютерном представлении числа 0.155Е2.
    Числа в форме с плавающей запятой имеют фиксированный формат и занимают в памяти компьютера четыре (32 бит) или восемь байт (64 бит). Если число занимает в памяти компьютера 32 разряда, то это число обычной точности, если 64 разряда, то это число двойной точности. При записи числа с плавающей запятой выделяются разряды для хранения знака мантиссы, знака порядка, мантиссы и порядка. Количество разрядов, которое отводится под порядок числа, определяет диапазон изменения чисел, а количество разрядов, отведенных для хранения мантиссы, – точность, с которой задается число.
    При выполнении арифметических операций (сложение и вычитание) над числами, представленными в формате с плавающей запятой, реализуется следующий порядок действий (алгоритм) :
    1) производится выравнивание порядков чисел, над которыми совершаются арифметические операции (порядок меньшего по модулю числа увеличивается до величины порядка большего по модулю числа, мантисса при этом уменьшается в такое же количество раз);
    2) выполняются арифметические операции над мантиссами чисел;
    3) производится нормализация полученного результата.
    Практическая часть

  3. Королева Ответить

    Тип урока: комбинированный урок.
    Цель урока: изучить представление чисел в
    памяти компьютера.

    Задачи урока:
    обучающие
    повторить основные понятия систем счисления;
    познакомить с основными типами числовых
    величин, которые могут храниться в памяти
    компьютера;
    сформировать представление у учащихся о форме
    представления чисел в памяти компьютера;
    познакомить с представлением числовых величин
    в памяти компьютера;
    научить записывать представление чисел в
    n-разрядном двоичном виде;
    познакомить с алгоритмом алгебраического
    сложения двоичных чисел в памяти компьютера.

    развивающие
    развивать познавательную активность и интерес
    к предмету;
    обучать приемам запоминания;
    развивать алгоритмическое мышление;
    развивать умение применять теоретические
    знания на практике.

    воспитательные
    воспитывать информационную культуру;
    воспитывать объективное отношение к
    результатам работы – критичность, способность
    адекватно оценивать ситуацию;
    воспитывать культуру общения, умение работать в
    группе.

    Планируемые результаты:
    предметные
    учащиеся должны знать
    что такое “двоичный код числа”;
    что такое “прямой”, “обратный” и
    “дополнительный” коды в памяти компьютера;
    алгоритм алгебраического сложения n-разрядных
    двоичных чисел.

    учащиеся должны уметь
    записывать “прямой”, “обратный” и
    “дополнительный” n-разрядные двоичные коды в
    памяти компьютера;
    применять алгоритм алгебраического сложения
    n-разрядных двоичных чисел для решения задач.

    метапредметные
    регулятивные УУД
    выбор путей достижения целей;
    оценка результатов собственной деятельности;

    познавательные УУД
    умение устанавливать причинно-следственные
    связи, строить логическое рассуждение и делать
    выводы;
    умение создавать, применять и преобразовывать
    модели и схемы для решения учебных и
    познавательных задач;

    коммуникативные УУД
    умение анализировать и согласовывать свои
    действия;
    умение осознанно использовать речевые средства
    в соответствии с задачей коммуникации для
    выражения своих мыслей.

    Оборудование:
    комплекс мультимедиа (ПК, проектор);
    презентация к уроку (Презентация);

    Программное обеспечение:
    Операционная система MS Windows;
    Пакет офисных программ MS Office.

    Структура урока:
    Организационный этап (1 мин).
    Актуализация знаний (5 мин).
    Постановка цели и задач урока (3 мин).
    Первичное усвоение новых знаний (15
    мин).
    Физкультминутка (1 мин).
    Первичная проверка понимания (3 мин).
    Первичное закрепление (5 мин).
    Контроль усвоения, обсуждение допущенных
    ошибок и их коррекция (10 мин).
    Итог урока. Рефлексия (2 мин).

    Ход урока
    I Организационный этап.
    В начале урока учитель приветствует учащихся,
    отмечает отсутствующих, проверяет готовность
    учащихся к уроку.

    II Актуализация знаний.
    Повторение понятий (фронтальный опрос
    учащихся) (Презентация, слайд 2):
    Что такое системы счисления?
    Что такое основание системы счисления?
    Какие системы счисления используются в ПК?
    Какой алфавит и основание имеет двоичная
    система счисления?
    Какой алфавит и основание имеет десятичная
    система счисления?
    Как перевести число из двоичной системы
    счисления в десятичную?
    Как перевести число из десятичной системы
    счисления в двоичную?
    Каковы правила сложения двоичных чисел.

    III Постановка цели и задач урока.
    Учащимся предлагается ответить на вопрос: “Как
    числа, записанные в различных системах
    счисления, хранятся и обрабатываются в памяти
    компьютера?” (Презентация, слайд 3)

    Учитель    :

    “Сегодня на уроке мы ответим на вопросы:
    Каковы главные правила представления данных в
    компьютере?
    Как в памяти компьютера хранятся целые и
    вещественные числа?
    Как в памяти компьютера выполняются
    алгебраические действия с двоичными числами?”
    IV Первичное усвоение новых знаний.
    Изложение учителем нового материала с
    демонстрацией презентации.

    Главные правила представления данных в
    компьютере.     (Презентация, слайды 4-8)
    Правило 1. Данные (и программы) в памяти
    компьютера хранятся в двоичном виде,     т. е. в
    виде цепочек единиц и нулей.
    Правило 2. Представление данных в компьютере
    дискретно.
    Правило 3. Множество представимых в памяти
    компьютера величин ограничено и конечно.
    Правило 4. В памяти компьютера числа хранятся в
    двоичной системе счисления.
    Типы числовых величин

    Целые     (формат с фиксированной запятой)

    Вещественные     (формат с плавающей запятой)
    Представление в памяти компьютера целых чисел
    без знака и со знаком.
    Представление в памяти компьютера вещественных
    чисел.

    V Физкультминутка.
    Учитель     предлагает учащимся выполнить
    несложные физические упражнения под ритмичную
    музыку.

    VI Первичная проверка понимания.
    Учитель     задает вопросы учащимся:
    Какие типы величин хранятся в памяти
    компьютера?
    Как записываются в памяти компьютера целые
    числа без знака? со знаком?
    Как записываются в памяти компьютера
    вещественные числа?

    Учитель     отвечает на вопросы учащихся (если
    они есть).

    VII Первичное закрепление.
    Учащиеся выполняют задания № 9 и №10 на странице
    204 учебника.
    VIII Контроль усвоения, обсуждение допущенных
    ошибок и их коррекция.
    Самостоятельная работа с взаимопроверкой. (Приложение 1).

    Учитель     проверяет выполнение
    самостоятельной работы, выставляет оценки.

    IX Итог урока. Рефлексия.
    Ученики высказывают свое мнение о прошедшем
    уроке.
    Домашнее задание (Презентация, слайд 21).

    Литература
    Учебник “Информатика и ИКТ” для 10 класса. Семакин
    И.Г., Залогова Л.А., Русаков С.В., Шестакова Л.В.     —
    М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2012 – 2014.
    Задачник-практикум (в 2 томах) под редакцией
    И.Г.Семакина, Е.К.Хеннера. Издательство БИНОМ.
    Лаборатория знаний. 2012 – 2014.
    Сборник дидактических материалов для текущего
    контроля результатов обучения по информатике и
    ИКТ в основной школе [электронный ресурс] / Овчинникова
    Г.Н., Перескокова О.И., Ромашкина Т.В., Семакин И.Г.
    – Режим доступа:
    http://metodist.lbz.ru/authors/informatika/2/files/semakin_did.pdf

  4. Jensen_Ackels Ответить

    Такая ситуация называется переполнением цифровой части (мантиссы) формата числа. Для обнаружения переполнения и оповещения о возникшей ошибке в компьютере используются специальные средства. Реакция на разные ошибки может быть разная. Так, в некоторых ЭВМ при делении на ноль вычисления прекращаются (фатальная ошибка), а при переполнении мантиссы устанавливается признак переполнения в так называемом регистре флагов и вычисления продолжаются.
    4. Представление вещественных чисел
    Вещественными числами ( в отличие от целых ) в компьютерной технике называются числа, имеющие дробную часть. При их изображении во многих языках программирования вместо запятой принято ставить точку. Так, например, число 5 — целое, а числа 5,1 и 5,0 — вещественные. Для удобства отображения чисел, принимающих значения из достаточно широкого диапазона (то есть, как очень маленьких, так и очень больших), используется форма записи чисел с порядком основания системы счисления. Например, десятичное число 1,75 можно в этой форме представить так:
    1,75•100 = 0,175•101 = 0,0175•102 = … ,
    или так:
    17,5•10?1 = 175,0•10?2 = 1750,0•10?3 = … .
    Любое число N в системе счисления с основанием q можно записать в виде N = M • q p, где M называется мантиссой числа, а p — порядком. Такой способ записи чисел называется представлением с плавающей точкой. Если «плавающая» точка расположена в мантиссе перед первой значащей цифрой, то при фиксированном количестве разрядов, отведённых под мантиссу, обеспечивается запись максимального количества значащих цифр числа, то есть максимальная точность представления числа в машине. Из этого следует, что мантисса должна быть правильной дробью, первая цифра которой отлична от нуля: M [0,1; 1). Такое, наиболее выгодное для компьютера, представление вещественных чисел называется нормализованным. Мантиссу и порядок q-ичного числа принято записывать в системе с основанием q, а само основание — в десятичной системе.
    4.1. Примеры нормализованного представления:
    Десятичная система
    Двоичная система
    752,15 = 0,75215•103;
    ?101,01 = ?0,10101•211 (порядок 112 = 310)
    ?0,000039 = ?0,39•10?4;
    ?0,000011 = 0,11•2?100 (порядок ?1002 = ?410)
    Вещественные числа в компьютерах различных типов записываются поразному. При этом компьютер обычно предоставляет программисту возможность выбора из нескольких числовых форматов наиболее подходящего для конкретной задачи — с использованием четырех, шести, восьми или десяти байтов.
    В качестве примера приведем характеристики форматов вещественных чисел, используемых IBM PC-совместимыми персональными компьютерами:
    Форматы
    Размер в
    Примерный диапазон
    Количество значащих
    вещественных чисел
    байтах
    абсолютных значений
    десятичных цифр
    Одинарный
    4
    10?45
    … 1038
    7
    или 8
    Вещественный
    6
    10?39
    … 1038
    11
    или 12
    Двойной
    8
    10?324
    … 10308
    15
    или 16
    Расширенный
    10
    10?4932
    … 104932
    19
    или 20

  5. Rainbourne Ответить

    Главная | Информатика и информационно-коммуникационные технологии | Планирование уроков и материалы к урокам | 8 классы | Планирование уроков на учебный год | Числа в памяти компьютера
    Урок 28
    Числа в памяти компьютера
    Основные темы параграфа:
    – представление целых чисел;
    – размер ячейки и диапазон значений чисел;
    – особенности работы компьютера с целыми числами;
    – представление вещественных чисел;
    – особенности работы компьютера с вещественными числами.

    Содержание урока

    Представление целых чисел
    Размер ячейки и диапазон значений чисел
    Представление вещественных чисел
    Вопросы и задания








    Любая информация в памяти компьютера представляется в двоичном виде: последовательностью нулей и единиц. Исторически первым типом данных, с которыми стали работать компьютеры, были числа. Теперь это и числа, и тексты, и изображение, и звук. Работа с данными любого типа в конечном итоге сводится к обработке двоичных чисел — чисел, записываемых с помощью двух цифр, — 0 и 1.
    Поэтому современные компьютерные технологии называют цифровыми технологиями.
    В компьютере различаются два типа числовых величин: целые числа и вещественные числа. Различаются способы их представления в памяти компьютера.

    Представление целых чисел

    Часть памяти, в которой хранится одно число, будем называть ячейкой. Минимальный размер ячейки, в которой может храниться целое число, — 8 битов, или 1 байт. Получим представление десятичного числа 25 в такой ячейке. Для этого нужно перевести число в двоичную систему счисления. Как это делается, вы уже знаете.
    Результат перевода:
    2510 = 110012.
    Теперь осталось «вписать» его в восьмиразрядную ячейку (записать так называемое внутреннее представление числа). Делается это так:
    00011001.
    Число записывается «прижатым» к правому краю ячейки (в младших разрядах). Оставшиеся слева разряды (старшие) заполняются нулями.
    Самый старший разряд — первый слева — хранит знак числа. Если число положительное, то в этом разряде ноль, если отрицательное — единица. Самому большому положительному целому числу соответствует следующий код:
    01111111
    Чему он равен в десятичной системе? Можно расписать это число в развернутой форме и вычислить выражение. Но можно решить задачу быстрее. Если к младшему разряду этого числа прибавить единицу, то получится число 10000000. В десятичной системе оно равно 27 = 128. Значит:
    011111112 = 128 – 1 = 127.
    Максимальное целое положительное число, помещающееся в 8-разрядную ячейку, равно 127.
    Теперь рассмотрим представление целых отрицательных чисел. Как, например, в 8-разрядной ячейке памяти будет представлено число -25? Казалось бы, очевидным ответом является следующий: нужно в представлении числа 25 заменить старший разряд с 0 на 1. Но в компьютере все несколько сложнее.
    Для представления отрицательных целых чисел используется дополнительный код.
    Получить дополнительный код некоторого отрицательного числа -X можно по следующему алгоритму:
    1) записать внутреннее представление соответствующего ему положительного числа +Х — это мы уже умеем;
    2) записать обратный код полученного числа заменой во всех разрядах 0 на 1 и 1 на 0;
    3) к полученному числу прибавить 1.
    Определим по этим правилам внутреннее представление числа -2510 в восьмиразрядной ячейке:
    1) 00011001
    2) 11100110
    3) +1
    11100111 — это и есть представление числа -25.
    В результате выполнении такого алгоритма единица в старшем разряде получается автоматически. Она и является признаком отрицательного значения.
    Проверим полученный результат. Очевидно, что при сложении чисел +25 и -25 должен получиться ноль.
    1
    1
    1
    +
    1
    1
    1
    1
    1
    1
    1
    Единица в старшем разряде, получаемая при сложении, выходит за границу ячейки и исчезает. В ячейке остается нолъ.
    Из этого примера теперь можно понять, почему представление отрицательного числа называется дополнительным кодом.
    Представление восьмиразрядного отрицательного числа -X дополняет представление соответствующего положительного числа +Х до значения 2 8.

  6. Artur_Volk Ответить

    Главная | Информатика и информационно-коммуникационные технологии | Планирование уроков и материалы к урокам | 10 классы | Планирование уроков на учебный год | Представление чисел в компьютере (§ 5
    Уроки 8 – 9
    Представление чисел в компьютере (§ 5)

    Содержание урока

    Введение
    Представление чисел
    Целые числа в компьютере
    Вещественные числа в компьютере
    Практическая работа № 1.3 “Представление чисел”

    Целые числа в компьютере

    Правило № 4: в памяти компьютера числа хранятся в двоичной системе счисления*. С двоичной системой счисления вы знакомы из курса информатики 7-9 классов. Например, если под целое число выделяется ячейка памяти размером в 16 битов, то самое большое целое положительное число будет таким:

    В десятичной системе счисления оно равно:
    215 – 1 = 32 767.
    * Конечно, и «внутри калькулятора» числа представляются в двоичном виде. Однако мы в это вдаваться не будем, рассмотрев лишь внешнее представление. Пример с калькулятором нам нужен был только для иллюстрации проблемы ограниченности.
    Здесь первый бит играет роль знака числа. Ноль — признак положительного числа. Самое большое по модулю отрицательное число равно -32 768. Напомним (это было в курсе информатики основной школы), как получить его внутреннее представление:
    1) перевести число 32 768 в двоичную систему счисления; это легко, поскольку 32 768 = 215:
    1000000000000000;
    2) инвертировать этот двоичный код, т. е. заменить нули на единицы, а единицы — на нули:
    0111111111111111;
    3) прибавить единицу к этому двоичному числу (складывать надо по правилам двоичной арифметики), в результате получим:

    Единица в первом бите обозначает знак «минус». Не нужно думать, что полученный код — это «минус ноль». Этот код представляет число -32 768. Таковы правила машинного представления целых чисел. Данное представление называется
    дополнительным кодом.
    Если под целое число в памяти компьютера отводится N битов, то диапазон значений целых чисел:
    [-2N-1, 2N~1 – 1],
    т. е. ограниченность целого числа в компьютере возникает из-за ограничений на размер ячейки памяти. Отсюда же следует и конечность множества целых чисел.
    Мы рассмотрели формат представления целых чисел со знаком, т. е. положительных и отрицательных. Бывает, что нужно работать только с положительными целыми числами. В таком случае используется формат представления целых чисел без знака. В этом формате самое маленькое число — ноль (все биты — нули), а самое большое число для 16-разрядной ячейки:

    В десятичной системе это 216 – 1 = 65 535, примерно в два раза больше по модулю, чем в представлении со знаком.
    Из всего сказанного делаем вывод: целые числа в памяти компьютера — это дискретное, ограниченное и конечное множество.
    Границы множества целых чисел зависят от размера выделяемой ячейки памяти под целое число, а также от формата: со знаком или без знака. Шаг в компьютерном представлении последовательности целых чисел, как и в математическом, остается равным единице.
    Рисунок 1.7 отражает то обстоятельство, что при переходе от математического представления множества целых чисел к представлению, используемому в информатике (компьютере), происходит переход к ограниченности и конечности.

    Следующая страница Вещественные числа в компьютере

  10. VideoAnswer Ответить

Добавить ответ

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *